24.4.2 切线的性质与判定-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(沪科版)安徽专版

第24章 圆 24.4 直线与圆的位置关系 24.4.2 切线的性质与判定 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.理解并掌握圆的切线的性质定理和判定定理，并能运用它们解决与圆的切线有关的计算或证明问题； 2.判断一条直线是否为切线. 理解并掌握圆的切线的性质定理和判定定理，并能运用它们解决与圆的切线有关的计算或证明问题. 理解并掌握圆的切线的性质定理和判定定理，并能运用它们解决与圆的切线有关的计算或证明问题. 回顾复习 你还记得直线和圆有哪几种位置关系吗？ 图形 公共点个数 2个 1个 0个 位置关系 相交 相切 相离 圆心到直线的距离d与半径r的关系 d＜r d=r d＞r 切线的定义是什么？ 直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点. 切线 切点 切线又有什么性质呢？ 回顾复习 创设情境 如图，在⊙O中，如果直线l是⊙O的切线，切点为 A，那么半径OA与直线l有什么位置关系呢？ O A l 解： OA⊥l．证明如下： 在直线l上任取一个不同于点A的点P， 连接OP， 因为点P在⊙O外， 所以OP＞OA. 这就是说，OA是点O到直线l上任一点的 连线中最短的，故OA⊥l． P 垂线段最短 新知引入 知识点1 切线的性质 文字语言 符号语言 圆的切线垂直于经过切点的半径. ∵直线l 是⊙O的切线， 且A是切点， ∴ l⊥OA. 切线性质定理 如图，经过圆上一点P，作直线与已知圆相切，如何作？能够作几条？ 作法： (1)连接OP； (2)过点P作直线l⊥OP， 则直线l即为所作. 作直线垂直于经过切点的半径 o P l Q o P l 分析： 由图可知，直线l与⊙O有一个公共 点P，若取直线l上除点P之外任一点Q， 连接OQ ，则OQ＞OP(斜线大于垂线)， 所以点Q在圆外.因此，直线l与⊙O只有 一个公共点，故直线l为⊙O的切线. 为什么直线l即为所作呢？ Q 过圆上的点作已知圆的切线有且只有一条. 由垂线的唯一性可知，过点P作OP的垂线有且只有一条. 如图，经过圆外一点P，作直线与已知圆相切，如何作？能够作几条？ (画出切线即可) O. P B A 过圆外一点作已知圆的切线有两条. 这属于下一课时内容，此处可以提及，对比学习， 最好在空白处标注“下一课时学习详细作法”. 知识点2 切线的判定 新知引入 文字语言 符号语言 经过 并 且 的 直线是圆的切线. ∵OA是⊙O的半径， 且l⊥OA于A， ∴ l是⊙O的切线. 半径外端点 垂直于这条半径 切线判定定理 圆的切线的判定方法 ∟ o d r 1 定义法：直线和圆只有一个公共点. 2 数量关系法：圆心到直线的距离等于半径，即d=r. 3 判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 例题示范 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ O A O A B A O (1) (2) (3) 没有与半径垂直 没有经过半径的外端点 不是 不是 不是 经过半径外端点 1 2 垂直于这条半径 缺一不可 例题示范 如图，∠ABC=45°，AB是⊙O的直径，AB=AC ． 求证： AC是⊙O的切线. O A B C 分析 经过半径外端点 1 2 垂直于这条半径 圆的切线必须满足两个条件： 只需证∠BAC=90°即可 例3 证明：∵ AB=AC，∠ABC=45°， ∴ ∠ACB=∠ABC=45°. ∴ ∠BAC=180°∠ABC∠ACB=90°. ∵ AB是⊙O的直径， ∴ AC是⊙O的切线. O A B C 45° 45° 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 随堂练习 练习1 如图，AB与⊙O相切于点C， OA=OB，⊙O的直径为8 cm，AB=6 cm，求OA的长. O A B C 见切线连半径 解：连接OC. ∵ AB与⊙O相切于点C， ∴ OC⊥AB. 又∵ OA=OB ，AB=6 cm， ∴ AC=CB=3 cm. 又∵ ⊙O的直径为8 cm，即OC=4 cm， ∴ 在Rt△ACO中，OA= =5 (cm). O A B C 练习2 已知：如图，直线AB过⊙O上的点C， 且OA=OB， CA=CB. 求证：直线AB是⊙O的切线. O A B C 证明：连接OC， ∵ OA=OB， CA=CB， ∴ OC⊥AB. 又∵ 点C在⊙O上， ∴ AB是⊙O的切线. 已知公共点，连半径，证垂直 练习3 如图，点P在∠BAC的平分线上， PD⊥AB，垂足为D. 求证：以点P为圆心、PD为半径的圆与∠BAC两边相切. 不知公共点，作垂直，证半径 P D A B C E 证明：过点P作PE⊥AC，垂足为E. ∵ 点P在∠BAC的平分线上， 且PD⊥AB， ∴ PD=PE， 即PD、PE为⊙P的半径. ∴ 以点P为圆心、PD为半径的圆与∠BAC两边相切. P D A B C E 归纳小结 切线性质定理： 切线的性质与判定 切线判定定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径. 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 1 2 缺一不可 绿卡图书—走向成功的通行证 $$