24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(沪科版)安徽专版

该初中数学课件围绕圆心角概念及圆心角、弧、弦、弦心距间关系展开，通过回顾圆的旋转对称性实验（旋转180°及任意角度）引出圆的旋转不变性，自然过渡到圆心角概念，帮助学生在已有知识基础上构建新知脉络。 其亮点在于注重实验探究与直观感知，通过旋转圆的动手操作培养学生几何直观和空间观念，例题设计从辨析到证明再到拓展提升，发展推理能力，小结系统归纳四者关系及弧的度数，强化模型意识。学生能深化知识理解，教师可借助分层例题和清晰脉络提高教学效率。

第24章 圆 24.2 圆的基本性质 24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角； 2.掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弧、弦、弦心距之间的关系，并能运用此关系进行相关的证明和计算. 理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角. 掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弧、弦、弦心距之间的关系，并能运用此关系进行相关的证明和计算. 回顾复习 圆的对称性 ①圆是轴对称图形， ②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 圆是中心对称图形吗？ O 在两张透明纸上，分别作半径相等的⊙O和⊙O'，把两张纸叠在一起，使⊙O和⊙O'重合，用图钉钉住圆心.将上面一个圆旋转180°，两个圆还能重合吗？ O' 对称中心为圆心. 圆是中心对称图形， 完全重合 180° 在两张透明纸上，分别作半径相等的⊙O和⊙O'，把两张纸叠在一起，使⊙O和⊙O'重合，用图钉钉住圆心.将上面一个圆旋转任意一个角度，两个圆还能重合吗？ (O') O 30° 60° 120° 210° 圆不仅是中心对称图形，还是旋转对称图形，旋转中心为圆心. 把圆绕圆心旋转任意一个角度，两个圆仍然完全重合. 观察下面几个角的顶点，有什么共同特征？ O A B O C D O E F 我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. 新知引入 知识点1 圆心角 例题示范 下列各角中，是圆心角的是( ) D A B C D 创设情境 在⊙O中，当圆心角∠AOB∠A'OB'时，它们所对的弧 和 ，弦AB和弦A'B'、弦心距OM和弦心距OM'之间有怎样的关系？ O A' B' B A M M' α 解：根据圆的旋转对称性，把AOB连同 绕圆心O旋转，使线段OA与OA'重合，设A'OAa. ∵AOBA'OB'， ∴BOB'A'OB'A'OB， AOBA'OBα. ∴线段OB与线段OB'重合. 又∵OAOA'， OBOB'， ∴旋转后点A与点A'重合，点B与点B'重合. O A' B' B A M M' α O A' B' B A M M' α 与 重合； AB与A'B'重合； 弦心距OM与OM'重合. 点A与点A'重合；点B与点B'重合 AB=A'B' OM=OM' 通过上面的探究，你能用语言描述所得的结论吗？ 交流 新知引入 知识点2 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. O A' B' B A M M' ∠AOB∠A'OB' AB=A'B' OM=OM' 思考 “在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.”可否把“在同圆或等圆中”去掉？ B' A' O B A AB=A'B' ∠AOB∠A'OB' 前提条件“在同圆或等圆中”一定不能丢！ OM=OM' M' M 新知引入 1.在⊙O中，如果  ，那么圆心角∠AOB与∠A'OB'、弦AB和A'B'、弦心距OM和OM'有怎样的数量关系？ 思考 O A' B' A B M M' α 2.在⊙O中，如果ABA'B'，那么圆心角∠AOB与∠A'OB'、弧 和 、弦心距OM和OM'有怎样的数量关系？ 3.在⊙O中，如果OMOM'，那么圆心角∠AOB与∠A'OB'、弧 和 、弦AB和A'B'有怎样的数量关系？ 相等 相等 相等 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等. 推论 圆心角相等 弧相等 弦相等 弦心距相等 新知引入 例题示范 如图，等边三角形 ABC 的三个顶点都在☉O上. 求证：AOBBOCCOA120°. A B C O 证明：连接OA，OB，OC. ∵ABBCCA， ∴AOBBOCCOA  360°120°. 圆心角相等 弦相等 分析： 圆心角、弧、弦、弦心距的灵活转化是解决圆相关问题的重要法宝. 例4 K K' 已知：如图，点O是∠FAD平分线上的一点，☉O分 别交∠FAD的两边于点C，D和点E，F. 求证：CD=EF. 证明：过点O作OKCD，OK'EF，垂足分别为K，K'. ∵OKOK'，(角平分线性质) ∴CDEF. O A D E F C 弦相等 弦心距相等 分析： 例5 如图，AB，CD是☉O的两条直径，CE为☉O的弦，且CE//AB， 为40°，求BOD的度数. O C E B A D 什么是弧的度数 把顶点在圆心的周角等分360份，每一份的圆心角是1°. 1°的圆心角所对的弧就是1°的弧. 一般地，n°的圆心角对着n°的弧， n°的弧对着n°的圆心角. 也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. O 1°的角 1°的弧 例6 例题示范 如图，AB，CD是☉O的两条直径，CE为☉O的弦，且CE//AB， 为40°，求BOD的度数. O C E B A D 解：连接OE. ∵ 为40°， ∴COE40°， ∵OCOE， ∴C 70°. ∵CE//AB， ∴AODC70°. ∴BOD180°70°110°. 例6 随堂练习 如果两个圆心角相等，那么( ) A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对 D 练习1 练习2 如图，在☉O中，ABAC，B70°，则A____． 40° A B C O 弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 . 60° B A O 第2题图 第3题图 练习3 练习4 圆的一条弦把圆周分成度数比为1  2的两条弧，如果该圆的半径为5，求这条弦的弦长及劣弧所对的圆心角. B A O C 解：由题意知：劣弧 的度数为120°. 即AOB120°； 过点O作OCAB于点C， ∴AOC AOB 60°. 在Rt△AOC中，sinAOC  . ∴AC  . 又∵AB2AC， ∴AB  . B A O C 在☉O中，2AOBCOD，那么  成立吗？CD2AB呢？如成立，请说明理由；如不成立，那它们之间的关系又是什么？ 练习5 A B C D E O 拓展提升 A B C D E O 解：  成立，CD2AB 不成立.理由如下： 取 的中点E，连接OE，CE，DE ， 易得AOBCOEDOE， 所以   ，从而  . ABCEDE， 在△CDE中，CE+DECD， 即CD2AB. 归纳小结 圆的对称性 圆不仅是中心对称图形，还是旋转对称图形，旋转中心是圆心. 弧的度数 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. 圆心角 、弧 、弦 、弦心距间关系 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$