24.2.2 垂径分弦-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(沪科版)安徽专版

该初中数学课件聚焦“垂径定理及其推论”核心知识点，课堂导入通过回顾轴对称图形，结合折叠圆的实验操作，以轴对称图形为前导知识支架，从圆的对称性自然过渡到定理探究，构建连贯知识脉络。 其亮点在于通过折叠实验培养数学眼光中的几何直观，严谨证明过程发展数学思维中的推理意识，结合赵州桥实例用数学语言建立模型解决实际问题。采用实验探究与例题示范结合的教学方法，小结系统归纳，助力学生提升探究与应用能力，为教师提供清晰教学流程。

第24章 圆 24.2 圆的基本性质 24.2.2 垂径分弦 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.探索圆的对称性，进而得到垂径定理及其推论； 2.能利用垂径定理及其推论解决相关证明、计算及实际问题. 探索圆的对称性，进而得到垂径定理及其推论. 能利用垂径定理及其推论解决相关证明、计算及实际问题. 回顾复习 什么是轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线 ，直线两旁的部分能够互相 ，那么这个图形叫轴对称图形. 对折 重合 线段 角 矩形 等腰三角形 等腰梯形 菱形 正方形 我们学过哪些轴对称图形？ … … 圆是轴对称图形吗？ 创设情境 在纸上任意画一个⊙O，以⊙O的一条直径为折痕，把⊙O折叠，你发现了什么？ O ①圆是轴对称图形， ②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 你能证明上面的结论吗？ 证明：过点A作AA'CD，交⊙O于点A'， 垂足为M，连接OA，OA' 在△OAA'中，∵OAOA' ∴△OAA'是等腰三角形 又∵AA'CD ∴AM=MA'，即CD是AA'的垂直平分线. F F' E E' B B' 如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.证明点A关于直线CD的对称点仍在⊙O上. C D A A' M O ⊙O关于直线CD对称 新知引入 知识点1 圆的对称性 圆的对称性 ①圆是轴对称图形， ②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 新知引入 如图，在折叠⊙O后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点A，B，把折叠的圆摊平，那么折痕CD是直径，点A，B是关于直线CD的一对对应点，连接AB，得弦AB，这时直径CD与弦AB有怎样的位置关系？ O C D A B E 猜想 CDAB △AOB是等腰三角形 AEEB 三线合一 直径CD平分 ， . CDAB AEEB O C D A B E 直径CD把劣弧 分成 与 两部分，把优弧 分成 与 两部分，这时 与 、 与 各有怎样的关系？ 与 重合； 与 重合. 通过上面的探究，你能用语言描述你的发现吗？ 交流 知识点2 垂径定理及其逆定理 新知引入 题设： ①CD是⊙O直径 ②CDAB E C O A B D 垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 结论： ①AEBE ② ， 想一想 下列图形是否具备垂径定理的条件？ E C O A B D E C O A B D C O A B （1） （2） （3） （4） 没有垂直 AB、CD都不是直径 D O A B C 垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 过圆心 新知引入 当直径CD平分一条弦AB(不是直径)时，能否得出CDAB? O A B C D E 垂径定理的推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 为什么？ 圆的任意两条直径都互相平分，但它们不一定互相垂直. 例题示范 判断下列说法是否正确： 1.垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.平分弦的直径垂直于弦. C O A B D E C O A B D 3.平分一条直径的弦必垂直于这条直径. 过圆心 不是直径 新知引入 知识点3 垂径定理的应用 如图，⊙O的半径为5 cm，弦AB为6 cm，求圆心O到弦AB的距离. O A B E 解：连接OA，过圆心O做OEAB，垂足为E. AEEB  AB  6 3 (cm). 又∵OA5 cm ∴在Rt△OEA中，有 OE  4 (cm). 即圆心O到弦AB的距离是4 cm. 圆心到弦的距离叫做弦心距. 例2 例题示范 赵州桥建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度(弧所对的弦长)为37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m，求赵州桥桥拱所在圆的半径(精确到0.1 m). 例3 B A O D C R 37.4 m 7.2 m 解：过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，交 于点C，交AB于点D，则CD7.2 m. 由垂径定理，得 设⊙O的半径为R m，在Rt△AOD中，AOR，ODR7.2，AD18.7. 由勾股定理得：AO2OD2AD2， ∴R2 (R7.2)218.72 ， 解得：R27.9. 答：赵州桥的桥拱所在圆的半径约为27.9m. AD  AB  37.4 18.7 (m). 随堂练习 在⊙O中，若CDAB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是( ) A. B. C. AMOM D. CMDM M A O C D B C 练习1 练习2 在半径为4 cm的⊙O中，有长为4 cm的弦AB.计算： (1)点O与AB的距离； (2)AOB的度数. O A B C 解：(1)过点O作AB的垂线，垂足为C，连接OA. 由垂径定理得： 在Rt△AOC中，AO4. 由勾股定理得：AO2OC2AC2， ∴42OC222 (2)连接OB，OAOBAB4 cm 易得：△AOB是等边三角形. ∴AOB60°. AC  AB  4 2 (cm). 解得：OC . 解决有关弦的问题时，半径是常用的一种辅助线的添法．往往结合勾股定理计算. 练习3 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点. 求证：ACBD. O A B C D E 证明：过O作OEAB，垂足为E， 则AEBE，CEDE. AECEBEDE. ∴ACBD. 归纳小结 简单计算 通常添加半径做辅助线，构造直角三角形，结合勾股定理进行计算或证明. 垂径定理的推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理 绿卡图书—走向成功的通行证 $$