24.1.4 平面直角坐标系下的旋转变换-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(沪科版)安徽专版

第24章 圆 24.1 旋 转 24.1.4 平面直角坐标系下的旋转变换 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.理解并掌握旋转变化的特点，能够解决坐标平面内的旋转变换问题； 2.能够运用旋转、轴对称或平移进行简单的图案设计. 理解并掌握旋转变化的特点，能够解决坐标平面内的旋转变换问题. 能够运用旋转、轴对称或平移进行简单的图案设计. 回顾复习 点P(x，y)关于x轴对称点P'(x，y)， 点P(x，y)关于y轴对称点P''(x，y). 若A(3，2)，你能直接说出点A分别关于x轴，y轴对称的点的坐标吗？ 点A(3，2)关于x轴对称点A'(3，2)， 点A(3，2)关于y轴对称点A''(3，2). 创设情境 x y O 如图，△ABC的顶点坐标分别是A(2，1)，B(0，0)，C(2，0). A B C (1)分别画出△ABC以点O(0，0)为旋转中心，在图①中旋转90°、在图②中旋转180°、在图③中旋转270°、在图④中旋转360°而得到的△A′B′C′；(按逆时针方向旋转) ① x y O A B C ② A' (B') C' A' (B') C' x y O 如图，△ABC的顶点坐标分别是A(2，1)，B(0，0)，C(2，0). A B C (1)分别画出△ABC以点O(0，0)为旋转中心，在图①中旋转90°、在图②中旋转180°、在图③中旋转270°、在图④中旋转360°而得到的△A′B′C′；(按逆时针方向旋转) ③ x y O A B C ④ A' (B') C' (A') (B') (C') (2) 给出点A′，B′，C′的坐标（填在下表中）： 原图形上点的坐标 A ( 2 , 1 ) B ( 0 , 0 ) C ( 2 , 0 ) 按逆时针方向旋转后对应点坐标 以点O为旋转中心旋转 90° A′ ( -1 , 2 ) B′ ( 0 , 0 ) C′ ( 0 , 2 ) 以点O为旋转中心旋转180° A′ ( -2 , -1 ) B′ ( 0 , 0 ) C′ ( -2 , 0 ) 以点O为旋转中心旋转270° A′ ( 1 , -2 ) B′ ( 0 , 0 ) C′ ( 0 , -2 ) 以点O为旋转中心旋转360° A′ ( 2 , 1 ) B′ ( 0 , 0 ) C′ ( 2 , 0 ) (3)分别比较点A′与点A、点B′与点B、点C′与点C的坐标，能得到怎样的结论？ 原图形上任一点坐标 以点O为旋转中心按逆时针方向旋转后对应点坐标 旋转90° 旋转180° 旋转270° 旋转360° ( x , y ) ( - y , x ) ( - x , - y ) ( y , - x ) ( x , y ) 新知引入 知识点1 直角坐标系下的旋转变换 证明 x y O P(x，y) 90° B A x y P1(y，x) P1 x y 已知：如图，平面直角坐标系内任一点P(x，y)，点P以点O为旋转中心按逆时针方向旋转90°后得到P1. 求证：P1(y，x) 证明：过点P，P1分别向x轴作垂线，垂足分别为A，B. 由题意知：POAP1OB90°， 又∵POAP90°， ∴P1OBP. 在Rt△POA和Rt△P1OB中 P1OBP，PAOP1BO90°，POP1O， ∴△POA≌△P1OB. ∴P1BOAx，OBAPy. 结合图形，可得：P1(y，x). DELL (D) - 用“作” 已知：如图，平面直角坐标系内任一点 P(x，y)，点 P 以点O为旋转中心按逆时针方向旋转180°后得到P2. 求证：P2(x，y) 证明 180° x y O P(x，y) P3(y，x) 270° 360° (或P4) C A x y P1(y，x) x y P2(x，y) P2 证明：过点P，P2分别向x轴作垂线，垂足分别为A，C. 在Rt△POA和Rt△P2OC中， POAP2OC， PAOP2CO90°， POP2O， ∴△POA≌△P2OC. ∴OCOAx， P2CPAy. 结合图形，可得：P2(x，y). 知识点2 恒等变换 新知引入 x y O P(x，y) 360° (或P4) x y O A B C (A') (B') (C') 这里，把(x，y)变换成(x，y)的变换叫做恒等变换， 即在平面直角坐标系中，一个图形绕点O作360°旋转是一个恒等变换. x y O P(x，y) 180° x y O A B C (B') P(x，y) A' C' P'(x，y) P'(x，y) 关于原点O中心对称 例题示范 已知点A的坐标为(2，1)，将点A绕着原点逆时针旋转， 直接写出下列情况下点A的对应点的坐标： (1)绕着原点逆时针旋转90°，则点A的对应点A1的坐标是(_______)； (2)绕着原点逆时针旋转180°，则点A的对应点A2的坐标是(______)； (3)绕着原点逆时针旋转270°，则点A的对应点A3的坐标是(______)； (4)绕着原点逆时针旋转360°，则点A的对应点A4的坐标是(______)． 1，2 2，1 1，2 2，1 新知引入 知识点3 利用平移、轴对称、旋转设计图案 图形变换的基本方式有哪些？ 平移 轴对称 旋转 你能利用上述方式的一种或几种设计出美丽的图案吗？ 说出下列图案是由基本图形怎样变换得到的？ 平移 平移 旋转 例1 如图，△ABC与△DEF关于原点O成中心对称，A(1，2)，C(1，1)，E(4，3)，请你直接写出点B，D，F的坐标. x y O A C B F D E P(x，y) P'(x，y) 关于原点O中心对称 解：由题意知： B(4，3)， D(1，2)， F(1，1). 例题解读 例2 如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作： (1)作出关于AB所在直线的轴对称图形； (2)将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转90°； B A O B A O 利用平移、轴对称、旋转等变换设计图案，一般都是先找“关键点”，再作关键点的对应点，然后顺次连接起来即可． B A O (3)发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽． 随堂练习 如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A(2，5)的对应点A′的坐标是( ) A.(2，5) B.(5，2) C.(2，5) D.(5，2) x y O B A B' A' B 练习1 练习2 如图，已知▱ABCD的中心在原点O，顶点A(3，2)，D(2，2)，求顶点B、C的坐标． 解：∵平行四边形是中心对称图形， ∴点A和点C关于原点O对称， 点B和点D关于原点O对称. ∵A(3，2)，D(2，2)， ∴B(2，2)，C(3，2). x y O B C D A 练习3 下面四个图案，不能由基本图形旋转得到的是( 　) D A. B. C. D. 练习4 如图，在平面直角坐标系中有点A(a，b)，作出点A关于x轴对称的对应点A1，点A关于y轴对称的对应点A2.连接OA1和OA2 ，观察点A1，A2与点O有什么关系？ x y O A(a，b) A1(a，b) A2(a，b) A1，A2关于原点O中心对称 如图, 将△ABC绕点 C (0, -1) 旋转 180°后得到△A'B'C, 设点 A 的坐标为 (a , b) , 则点A'的坐标为 ( ) 练习5 A . ( - a , - b ) B . ( - a , - b - 1 ) C . ( - a , - b + 2 ) D . ( - a , - b + 1 ) D 归纳小结 恒等变换 在平面直角坐标系中，一个图形绕点O作360°旋转是一个恒等变换. 平面直角坐标系下的旋转变换 利用平移、轴对称、旋转设计图案 利用平移、轴对称、旋转等变换设计图案，一般是先找“关键点”，再作关键点的对应点，然后顺次连接起来即可． 平面直角坐标系内图形的旋转变换 绿卡图书—走向成功的通行证 $$