23.2 第4课时坡度与解直角三角形-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(沪科版)安徽专版

第23章 解直角三角形 23.2 解直角三角形及其应用 第4课时 坡度与解直角三角形 学习目标 学习重难点 重点 难点 1..加强对坡度、坡角、坡面概念的理解和认识，了解坡度与坡面陡峭程度间的关系. 2.能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题. 3.能解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力. 坡度、坡角、坡面的概念，了解坡度与坡面陡峭程度间的关系. 利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题． 回顾复习 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α . 2. 坡度 (或坡比) 如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i， 即 i = h : l .坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6. 3. 坡度与坡角的关系 . 即坡度等于坡角的正切值. 创设情境 如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？ A B C 如何用数量来刻画哪条路陡呢？ 例题示范 例1 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240 m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米(角度精确到0.01°，长度精确到0.1 m)？ i=1:2 A C B 解：用α表示坡角的大小，由题意可得 , ∴ α≈26.57°. 在Rt△ABC中，∠B=90°， ∠A=26.57°，AC=240m， ∴ , 答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m． 例2 某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道.若点E、F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且 ，BF=3米，BC=1米，CD=6米. 求：（1）∠D的读度数；（2）线段AD的长. (1)∠D的度数; 解：∵四边形BCEF是矩形， ∴∠BFE＝∠CEF＝90°， ∴∠BFA＝∠CED＝90°，CE＝BF＝3 m， ∵CD＝6 m, ∴ , ∴∠D＝30°. (2)线段AD的长． 解：∵ , ∴ , ∵BF＝3 m，∴ m, ∴ , ∵CD＝6米，∠CED＝90°， ∠D＝30°， ∴ ,∴ . ∴AD =AF＋FE＋ED= . 例3 铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基宽BC=9.8 m，高BE=5.8 m，斜坡AB的坡度i=1∶1.6，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：底宽AB和斜坡的坡角α和β (精确到 1°). 解： 过C作CF⊥AD于点F， 得CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠B=β. , ∴AE=1.6×5.8=9.28 m, DF=2.5×5.8=14.5 m. ∴AD=AE+EF+DF =9.28+9.8+14.5≈33.6 m. , α≈32°，β≈21°. 答：铁路路基下底宽为33.6 m，斜坡的坡角分别为32°和21°. 思考 与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？ 我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角α1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sinα1. 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h. 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容． 随堂练习 1.如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12 m，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为(　　) B. C. D.24 m 2.如图，某铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC,已知路基高AE为5米，左侧坡面AB长10米，则左侧坡面AB的坡度为(　　) A.1:2 B.1: C.1: D.1: 第1题图 第2题图 B C 3.如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为(　　) A. 米 B. 米 C.5sinα 米 D. 米 4.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上．如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为(　　) A. 米 B.12米 C. 米 D.10米 第3题图 第4题图 B A 5．水库拦水坝的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，背水坡CD的坡比i＝1∶1，已知背水坡的坡长CD＝24 m，则背水坡的坡角α为____，拦水坝的高度为_______ m. 6．如图，在坡比为i＝1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是______米． 45° 拓展提升 1.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6 m．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长(精确到0.1 m)． 解：如图，过点A作AE⊥BC于点E， 过点D作DF⊥BC于点F， 在Rt△ABE中， , ∴AE=ABsin∠ABE=6sin74°≈5.77. , ∴BE=ABcos∠ABE=6cos74°≈1.65. ∵AH∥BC，∴DF=AE≈5.77. 在Rt△BDF中， , ， ∴AD=EF=BF－BE≈4.04－1.65≈2.4 m. 2.如图，一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45︒和30︒，求路基下底的宽（精确到0.1米， ， ）. 解：作DE⊥AB， CF⊥AB，垂足分别为E,F． 由题意可知DE＝CF＝4 m，CD＝EF＝12 m． 在Rt△ADE中， ∵ ，∴ . 在Rt△BCF中，同理可得 . ∴ AB＝AE＋EF＋BF ≈4＋12＋6.93≈22.93 m． 答： 路基下底的宽约为22.93米. 归纳小结 化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$