23.2 第3课时方位角与解直角三角形-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(沪科版)安徽专版

该初中数学课件聚焦“方位角与解直角三角形”，通过轮船航行情境导入，结合回顾复习的实际问题转化四步骤作为学习支架，衔接已学解直角三角形知识与新授方位角概念及应用。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，如货船运输、灯塔导航实例引导观察现实。例题分层设计，例4分情况讨论发展推理意识，作辅助线构建直角三角形强化几何直观与模型意识。助力学生提升问题转化能力，教师可借结构化内容高效实施探究教学。

第23章 解直角三角形 23.2 解直角三角形及其应用 第3课时 方位角与解直角三角形 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.理解并掌握方向角的概念. 2.把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决． 方向角的概念;方向角的辨别与使用. 运用解直角三角形知识解决方向角问题. 回顾复习 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程： (1)将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题) (2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 创设情境 如图，一艘轮船从A点出发，航行路线为AC,CB. 你知道如何准确描述此过程轮船航行的方向吗？ 思考： 探究新知 知识点1 方向角 方位角：指北或指南方向与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫_______． 如下图中的目标方向OA,OB,OC,OD的方向角分别表示________60°，________45°(或__________)，_________80°及_________30°. 方位角 北偏东 南偏东 东南方向 南偏西 北偏西 例1 如图一般以20n mile/h的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°的方向上，继续航行1h到达B处，再测得灯塔C在北偏东30°的方向上。已知灯塔C四周10n mile内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？ 分析：这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于10n mile. A C B 30° 60° 北 东 例题示范 解：过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x n mile, 在Rt△ACD中， , 在Rt△BCD中， , 由AB=AD-BD得, , 即 , 解方程得 , 答：这船继续向东航行时安全的. 例2 如图所示，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°方向上，已知在岛C周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由． 60° 30° C B A M 北 北 解：过C作CD⊥AB于点D. 由题意可知， , ∠CAB＝90°－60°＝30°， ∴ ∠CBD＝90°－30°＝60°. ∴ 在Rt△BDC中， , ∴若继续向正东方向 ∴ , 航行，该货船没有触 在Rt△ADC中， , 礁风险. ∴AD= CD. 又AD＝AB＋BD， ∴AD=AB+BD, 例3 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)? A C B P 65° 34° 80 解：如图，在Rt△APC中， PC＝PA·cos(90°－65°)＝80×cos25°≈72.505. 在Rt△BPC中，∠B＝34°， ∴ , ∴ ， 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.66海里． 例4 一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30 km，B，C间的距离是60 km，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离(结果保留根号)． 分析：此题针对点P的位置分两种情况讨论，即点P可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上． 解：分两种情况： (1)如图①，在Rt△BDC中，CD＝30 km，BC＝60 km， ∴∠B＝30°. ∵PB＝PC，∴∠BCP＝∠B＝30°. ∴在Rt△CDP中， ∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60°. km, 在Rt△ADC中，∵∠A＝45°， ∴AD＝DC＝30 km. km. B C D P A 图① 60km 45° 30km (2)如图②，同理可求得 , . C D P A B 图② 60km 45° 30km 随堂练习 1.如图，小红从A地向北偏东30°方向走100 m到B地，再从B地向西走200 m到C地，这时小红距A地(　 　) A.150m B. m C.100m D. m B 2.如右图，C,D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端A和B的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，CD＝6 km，则AB＝_________km. 6km 北 东 A B D C 30° 3.如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B处，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中，距灯塔S的最近距离是______海里． 拓展提升 4. 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600 km远了多少？ 解：过点C作CD⊥AB于点D， , ∵AD＋BD＝AB， , 在Rt△BCD中， , 在Rt△ACD中， , , 747－600＝147 km. 答：飞机的飞行路程比原来的路程600 km远了147 km. 5. 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l(如图)．救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝40米，B在C的北偏东35°方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒，则谁先到达B处？请说明理由. (参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43). 海岸线 B D C 北 35° A 瞭望台 l 40米 解：由题意得∠BCD=55°，∠BDC=90°, ∵ , ∴ BD=CD·tan∠BCD=40×tan55°≈57.2 米, ∴ , ∴ 米, ∴ ， , ∴ . 答：乙先到达B处. 海岸线 B D C 北 35° A 瞭望台 l 40米 归纳小结 方向角：指北方向或指南方向与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方向角. 解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）;当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$