23.1 第3课时特殊角的三角函数值-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(沪科版)安徽专版

第23章 解直角三角形 23.1 锐角的三角函数 第3课时 30︒,45︒,60︒角的三角函数值 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.探索30°,45°,60°角的三角函数值的过程，熟练进行计算，理解正、余弦相互关系式及推导过程. 2.能够进行含30°,45°,60°角的三角函数值的计算． 熟记30°，45°，60°角的三角函数值的计算． 计算含有30°，45°，60°角的三角函数的式子. 回顾复习 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°, (1)sin A＝ ，cos A＝ ，tan A＝ ， sin B＝ ，cos B＝ ，tan B＝ ． (2)若∠A＝30°，则 ＝____． A B C c a b 对边 斜边 邻边 两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 30° 60° 45° 45° 问题引入 思考 问题1：设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a， 另一条直角边长 = ∴sin30°= = , ∴sin60°= = , cos30°= = , cos60°= = , tan30°= = , tan60°= = 30° 60° 探索新知 问题2：设两条直角边长为 a，则斜边长 = . 45° 45° 归纳 30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 对于sin α与tan α，角度越大，函数值也越大； 对于cos α，角度越大，函数值越小. 例1 求下列各式的值： 1.cos260°+sin260°; 解：cos260°+sin260°=（ ）2+（ ）2=1. 2. . 解： cos260°表示(cos 60°)2， 即(cos 60°)×(cos 60°). 例题示范 1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系） 2.观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？ 锐角三角函数的增减性： 当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 增大（或减小）; 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大). 逆向思维:填一填 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB= ,BC= ，求∠A的度数． 解：在图中，AB= ,BC= ， ∴ , ∴∠A=45°. A B C 例题示范 正弦和余弦的关系 从上面的探究中我们不难发现： sin30°=cos60° sin60°=cos30° sin45°=cos45° 你还能从中发现什么规律呢？ 规律：这些角的正（余）弦的值，分别等于它们余角的余（正）弦值. 例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,求证sinA=cosB. ∵sinA＝ ，cosA＝ ，sinB＝ ，cosB＝ ， ∴sinA＝cosB，cosA＝sinB. ∵∠A＋∠B＝90°， ∴∠B＝90°－∠A， cosA＝sin B＝sin(90°－∠A) 即sinA＝cos B＝cos(90°－∠A)， A B C c a b 对边 斜边 邻边 任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值. 例题示范 例4 如图，在△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝ ，求cos B的值. 解 ∵∠A+∠B=90°， ∴cos B=cos(90°-∠A) =sin A = . 解析：利用互余两角的正弦和余弦之间的关系可快速帮助我们解决问题，但要注意的是该结果只对互余的两个角成立． A B C c a b 例5 已知α、β为锐角，且sin(90°－α)＝ ，sinβ＝ ， 求 的值． 解：∵sin(90°－α)＝cosα＝ ， cos(90°－β)＝sinβ＝ ， ∴ 在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边和邻边之间的比值也随之确定. ∵tanA＝ ，tanB＝ ， ∴tanA＝ 结论：互余两个锐角的正切值互为倒数. 例5 在△ABC中，∠A，∠B是锐角，tanA，tanB是方程 3x2－tx＋3＝0的两个根，则∠C＝________． 解析：∵tanA，tanB为方程3x2－tx＋3＝0的两根， ∠A，∠B是锐角． ∴tanA·tanB＝1. ∴∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°. 【方法总结】利用tan A·tan(90°－∠A)＝1，可得∠A与∠B之间的关系，从而求出∠C的大小． 90° 例题示范 随堂练习 1.tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是(　　) A．40° B．30° C．20° D．10° 2.在△ABC中，若| sin A－ | ＋ (cos B－ )2 ＝0，则∠C=(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° D D 3.求下列各式的值： （1）1－2 sin 30°cos 30°;（2）3tan 30°－tan 45°+2sin 60° 解：(1)1－2 sin 30°cos 30° (2) 3tan 30°－tan 45°+2sin 60° 4. 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tan A)2 ＋|sin B－ |＝0，试判断 △ABC 的形状． 解：∵(1－tan A)2 ＋|sin B－ |＝0， ∴ tan A＝1，sin B＝ ， ∴ ∠A＝45°，∠B＝60°， ∠C＝180°－45°－60°＝75°， ∴ △ABC 是锐角三角形． 拓展提升 1.如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB= ,AC=2 , 求AB. 解：过点C作CD⊥AB于点D， ∠A=30°，AC= . ∵sinA ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ AB=AD+BD=3+2=5. ∵tan A= 2.已知α为锐角，且tan α是方程x2+2x-3=0的一个根，求2sin2α＋cos2α－ tan(α+15°)的值． 解：解方程x2+2x-3=0，得x1=1，x2=-3， ∵tan α＞0，∴tan α=1，∴α=45°. ∴2sin2α+cos2α- 3tan(α+15°) =2sin245°+cos245°- 3tan 60° =2×（ ）2+（ ）2－3× . = (1－ ) . 归纳小结 30°，45°，60°角的三角函数值 30° 45° 60° 绿卡图书—走向成功的通行证 $$