23.1 第2课时正弦和余弦-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(沪科版)安徽专版

第23章 解直角三角形 23.1 锐角的三角函数 第2课时 正弦和余弦 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.理解锐角正弦、余弦的定义． 2.会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值． 理解锐角正弦、余弦的意义． 用正弦值、余弦值表示直角三角形中两边的比. 回顾复习 什么叫锐角的正切？什么叫坡度？如何表示？ 在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，坡面的垂直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度； 记作：i，即i= . 问题引入 问题1：在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？ 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值． 探索新知 知识点1 ∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sin A ， 即 在图中， ∠A的对边记作a， ∠B的对边记作b， ∠C的对边记作c. 例题示范 例1 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC的长. 解： 在Rt△ABC中， ∵ 即 ∴ BC=200×0.6=120. A B C 200 例2 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=20,sinA= .求:△ABC的周长和面积. 解: 在Rt△ABC中, ∵ BC=20, ∴ ∴AB=25 , ∴AC= =15 , ∴C△ABC=25+20+15=60. ∴S△ABC=150. 20 ┐ A B C 问题2：在图中，由于∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？ 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值． 知识点2 ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即 在图中, ∠A的对边记作a, ∠B的对边记作b, ∠C的对边记作c. 例题示范 例3 如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求:sinB,cosB,tanB. 解：过A作AD⊥BC于D，则在Rt△ABD中, AB=5，已知BD=3,AD=4. 问题3：如图，梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？ sinA的值越大,梯子越陡; cosA的值越小,梯子越陡. 例题示范 例4 sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是( D ) A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70° C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70° 解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.故选D. 【方法总结】当角度在0°<∠A<90°间变化时，0<sinA<1，1>cosA>0.当角度在45°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞1. 知识点3 在Rt △ABC中，∠C＝90°， sinA=cosB 定义中应该注意的几个问题: 1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). 2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦,正切 (习惯省去“∠”号). 3.sinA,cosA,tanA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均﹥0,无单位. 4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关. 5.角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 随堂练习 1．△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝ ，则AC的长 是______． 2．已知A为锐角，tanA＝ ，则sinA＝___ ,cosA=_____ ． 3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且 cosα＝ ，AB＝4，则AD的长为_____． 6 4．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sin∠ECM. 解：设正方形ABCD的边长为4x， 由勾股定理可知， ∵M是AD的中点，BE=3AE， ∴AM＝DM＝2x,AE＝x,BE＝3x． ∴EM2=AM2+AE2=(2x)2+x2=5x2 ∴CM2=DM2+DC2=(2x)2+(4x)2=20x2 ∴EC2=BC2+BE2=(4x)2+(3x)2=25x2 ∴EC2=EM2+CM2 由勾股定理逆定理可知， △EMC为直角三角形. ∴sin∠ECM= = = . A M E D B C 拓展提升 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ ，求sinA,cosB的值． 解：∵tanA= = ,AC=8, ∴BC= AC= ×8=6, ∴AB = = =10, ∴sinA= = = , cosB= = = . A B C 8 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB =10，BC＝6，求sinA、cosA、tanA的值． 解：∵sinA= , ∴sinA= = = , 又∵AC = = =8 , ∴cosA= = , ∴tanA= = . A B C 6 10 归纳小结 绿卡图书—走向成功的通行证 $$