23.1 第1课时正切-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(沪科版)安徽专版

该初中数学课件围绕“正切”概念及应用展开，以“比较梯子陡度”为情境导入，通过问题链引导学生从直观比较（倾斜角、铅直与水平宽度比）到抽象出正切定义，搭建“现实情境—数学抽象—应用拓展”的学习支架，衔接生活经验与三角函数知识。 其亮点在于以核心素养为导向，用梯子陡度问题链培养数学眼光，通过相似三角形推理正切值不变性发展数学思维，结合坡度坡角实例（如梯形护坡石坝计算）强化数学语言表达。例题与练习分层设计，助力学生理解概念本质，教师可直接用于探究式教学，提升课堂效率。

第23章 解直角三角形 23.1 锐角的三角函数 第1课时 正 切 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.理解锐角三角形函数中正切的概念及其与现实生活的联系. 2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算. 3.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的问题. 正切的意义，正切值表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等． 从现实情境中理解正切的意义. 创设情境 想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 探索新知 相关概念 从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度， 从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度， 梯子与地面的夹角∠ABC称为倾斜角. 问题1：你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 倾斜角越大——梯子越陡 问题2：如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡 问题3：如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡 问题4：如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. 倾斜角越大，梯子越陡. A B C 2 m 5 m E D F 6 m 3 m 1．探究：(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2； 和 有什么关系？ B3 B2 C2 C3 A C1 B1 归纳： 在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即 tanA= ∠A的对边 ∠A的邻边 A B C ∠A的对边 ∠A的邻边 ┌ 斜边∠C 结论:tanA的值越大，梯子越陡. 定义中的几点说明： 1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐角. 2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1. 3.tanA>0且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序： ）. 4.tanA不表示“tan”乘以“A ”. 5.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 对 邻 锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？ A B C 解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大. 对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应. 例题示范 例1 如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗？ 1.5 A B C D 3 解：∵△ABC是等腰直角三角形， BD⊥AC， ∴CD＝1.5， ∴ 例2 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? 解：甲梯中， ， 乙梯中， ∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡. 提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度. 正切通常也用来描述山坡的坡度. 坡度越大，坡角越大，坡面就越陡. 坡角：坡面与水平面的夹角α称为坡角； 坡度（坡比）：坡面的高度h和水平长度l的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切. i＝(坡度通常写成h∶l的形式)． i＝=tan α 归纳：坡度越大，坡角越大，坡面就越陡． 例题示范 例1 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是(　　) B. C. D.6 解析：∵∠ACB＝90°，i＝1∶3， ∴ . ∵BC＝2米， ∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)． ∴ . 【方法总结】理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键． A B C i＝1∶3 2米 B 随堂练习 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则tan A=_____，tanB =______． 下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边. . . A B C D 互余两锐角的正切值互为倒数. 3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值( ) A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 4.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比 是1： ，堤坝高BC=50 m，则迎水坡面AB的 长度是( ) A.100 m B.100 m C.150 m D.50 m C A 拓展提升 1.在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB. 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D， ∴在Rt△ABD中， ∵BD=5，AD=12. ∴ . 提示:过点A作AD垂直于BC于点D.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的. 2.如图,正方形ABCD的边长为4,点M在BC上,M,N两点关于对角线AC对称, 若DM=1，求tan∠ADN的值. 解：由正方形的性质可知， ∠ADN=∠DNC，BC=DC=4， ∵ M、N两点关于对角线AC对称, ∴ DM=1BN=DM=1. tan∠AND=tan∠DNC= . 归纳小结 正切 定义 与梯子倾斜 程度的关系 坡度 ∠A越大，tan A越大,梯子越陡 tanA= ∠A的对边 ∠A的邻边 i=tanα= 铅直距离 水平距离 绿卡图书—走向成功的通行证 $$