21.6 综合与实践-获取最大利润-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(沪科版)安徽专版

第21章 二次函数与反比例函数 21.6 综合与实践 获取最大利润 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.根据已知数据求出二次函数的具体表达式. 2.依据二次函数模型解决最大利润问题. 二次函数在最优化问题中的应用. 从现实问题中建立二次函数模型. 回顾复习 二次函数的一般形式： y=ax²+bx+c(a≠0) = 当x= 时，y取得最值 创设情境 日常生活中存在着许多与数学知识有关的问题．比如在商品买卖的过程中，如果将商品定价过高，可能会导致无人购买；如果商品定价过低，可能会导致无利图．那么如何定价才能使商场获得最大的利润呢？ 探索新知 思 考： 如何定价利润最大？ 一个制造商制造一种产品，它的成本可以分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、 建造厂房、购置设备、培训工人等费用，如果没有更换产品，我们将它看为常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用。 例1.生产一种收音机的成本（单位：元）可以近似的表述为 C成本＝120t＋1000 ① 其中C表示生产t台收音机的总成本, 当t＝0时, C成本＝120×0＋1000＝1000 1000元是固定成本，由此可知①式中120t表示可变成本. 例2.制造商出售产品得到的年总收入等于出售产品的年销售量t和产品的销售单价x的乘积，设R表示年总收入，则 R年总收入＝t · x ② 制造商的年利润是出售产品的年收入和生产这些产品的总成本之间的差额，通常设为p表示年利润： P利润＝R年总收入－C成本 ∴ P利润＝R－C＝t · x－C ③ 例题示范 1.当一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往往向市场分析专家咨询该产品的销路，一种产品的销售量通常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量就下降。假设某市场分析专家提供了下列数据： 设生产t件该产品的成本为 C＝50t＋1000. 销售单价 x /元 50 100 150 300 年销售量 t /件 5000 4000 3000 0 (1)在图中描出上述表格中各组数据对应的点. (2) 描出的这些点在一条直线吗？求t和x之间的函数关系式. 解：由右图可知，这些点在一条直线上，设函数的表达式为： t=kx+b. 任意选取两点代入求得： k=-20, b=6000, ∴t=-20x+6000. (3) 销售单价x和年销售量t各为多少时，年利润P最大？ 解：∵R年总收入=t · x, ∴R年总收入=(-20x+6000) · x, ∴P利润=R年总收入-C成本=t · x-C, ∴P利润=(-20x+6000) · x-(50t+1000) =-20x²+6000x-50t-1000 =-20x²+6000x-50(-20x+6000)-1000 =-20x²+7000x-301000. 由公式可得：当 x=- 时，即x=175，P最大= . ∴t=-20x+6000=2500, ∴ P=311500 元. 随堂练习 1．进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件)与衬衣售价x(元)之间的函数关系为________________. 每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 . (以上关系式只列式不化简). y=2000-5(x-100) w＝[2000－5(x－100)](x－80) 2．某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元，商品每天的利润y与x的函数关系式是 y＝(10－x－8)(100＋100x)， 即 y＝－100x2＋100x＋200， 配方得 y＝－100(x－0.5)2＋225， ∵x＝0.5时，满足0≤x≤2， ∴当x＝0.5时，函数取得最大值，最大值y＝225. ∴将这种商品的售价降低0.5元时，能使销售利润最大． 3．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价在不亏本的情况下不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天能卖出90箱，价格每提高1元，平均每天少卖3箱，当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润，最大利润是多少？ 解：设每箱苹果的销售价为x元，所获利润为w元， 则w＝(x－40)[90－3(x－50)]＝－3(x－60)2＋1200. ∵a＝－3＜0，∴该抛物线开口向下， 由题意可知，当x＝55元/箱时， w最大＝－3×(55－60)2＋1200＝1125(元)． 4．某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间 满足关系：y＝ax2＋bx－75.其图象如图所示． (1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？ 最大利润为多少元？ (2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？ 解：(1)y＝ax2＋bx－75图象过点(5，0)，(7，16)． y＝－x2＋20x－75的顶点坐标是(10，25)． 当x＝10时，y最大＝25. 答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元． 25a＋5b－75＝0， 49a＋7b－75＝16， ∴ a＝－1， b＝20， 解得 (2)∵函数y＝－x2＋20x－75图象的对称轴为直线x＝10， 可知点(7，16)关于对称轴的对称点是(13，16)． ∵函数y＝－x2＋20x－75图象开口向下， ∴当7≤x≤13时，y≥16. 答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元． 归纳小结 绿卡图书—走向成功的通行证 $$