21.4 第2课时利用二次函数解决建筑模型问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(沪科版)安徽专版

第21章 二次函数与反比例函数 21.4 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决实物型抛物线问题 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题. 2.利用二次函数解决拱桥的有关问题. 3.能运用二次函数的图象与性质进行决策． 建立二次函数模型，会把实际问题转化为二次函数问题. 利用二次函数解决拱桥的有关问题. 创设情境 这些建筑有什么相似？ 探索新知 如图,悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索,其形状可近似地看作抛物线,水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. (1)若以桥面所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如所示右图，求这条抛物线对应的函数表达式; (2)计算距离桥两端主塔分别为100 m,50 m处垂直钢索的长. 解: (1)根据题意,得抛物线的顶点坐标为(0，0.5),对称轴为y轴,设抛物线对应的函数表达式为y = ax2+0.5. 抛物线经过点(450，81.5),代入上式,得81.5 = a· 4502+0.5. 解方程,得 . 答:所求抛物线对应的函数表达式为 (2)当x = 450-100=350(m)时,得y= ×3502+0.5=49.5(m). 当x = 450-50=400(m)时,得 y = ×4002+0.5 =64.5 (m). 答:距离桥两端主塔分别为100 m,50 m处垂直钢索的长分别为49.5 m,64.5 m. 例题示范 例1 某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m加设不锈钢做成的立柱（如图），试计算所需不锈钢立柱的总长度. 解：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的函数表达式为 . 由B(0,0.5),A(-1,0)可知 解得 ∴抛物线的函数表达式为 由题意知 ，故点 的横坐标分别为 ，分别代入 ， 得点 的纵坐标分别为 ， ∴ ∴所需不锈钢立柱的总长度为(0.32+0.48)×2×50=80(m). 答：所需不锈钢立柱的总长度为80 m. 例2 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20 m，拱顶距离水面4 m. 如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数表达式. 解：设该拱桥形成的抛物线的表达式为y=ax². ∵该抛物线过(10，-4)， ∴-4=100a，a=-0.04， ∴y=-0.04x². 归纳小结 解决建筑模型问题的一般步骤： (1)建立合适的平面直角坐标系; (2)将已知条件转化为点的坐标; (3)合理地设出所求的函数表达式; (4)代入已知条件或点的坐标，求出函数表达式; (5)利用已知函数表达式解决问题. 随堂练习 1.如图所示是一个抛物线形拱桥的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为AB=10 m， 水面宽度为AB=10 m，此时水面到拱桥顶部O的距离是4 m，则抛物线的函数关系式为( ) A. B. C. D. C 2.有一个抛物线形的拱桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为10 m，如图，把它的截面放在平面直角坐标系中. (1)求这条抛物线对应的函数表达式. (2)在对称轴右边1 m处，桥洞离水面的高是多少？ 解：(1)这条抛物线对应的函数表达式为 . (2)在对称轴右边1 m处，即x=6， 此时 答：桥洞离水面的高是3.84 m. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$