21.4 第1课时二次函数在面积最值中的应用-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(沪科版)安徽专版

第21章 二次函数与反比例函数 21.4 二次函数的应用 第1课时 利用二次函数求几何图形面积的最值 学习目标 学习重难点 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 2.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题. 重点 应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题. 难点 分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 回顾复习 创设情境 用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各为多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？ 8米 4米 x米 x米 4米 （4 － x）米 （4 － x）米 解：设窗框的一边长为x米，窗框的透光面积为y平方米.则另一边的长为(4－x)米，那么 y = x（4－ x ）且0 ＜ x ＜ 4. 即 y = ﹣ x 2＋ 4x = -（x -2）2 +4. 又有：a=﹣1 ＜ 0，该函数的图象开口向下，故函数有最大值. 当x = 2时，该函数达到最大值为4. 答：该窗框的宽和高相等，都为2米时透光面积达到最大的4平方米. 例题示范 例1 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米. （1）求S与x的函数表达式及自变量的取值范围. （2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少? （3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积. A B C D 解： (1)∵ AB为x米、篱笆长为24米, ∴花圃宽为（24－4x）米, ∴ S ＝ x （24 － 4 x ） ＝ ﹣4 x 2 ＋ 24 x (0 ＜ x ＜ 6). (2)当x＝ 时，S最大值＝ ＝36(平方米). (3)∵墙的可用长度为8米, ∴0<24-4x≤8;4≤x<6, ∴当x=4m时，S最大值＝ 36(平方米). 归纳小结 二次函数解决几何面积最值问题的方法： 1.求出函数解析式和自变量的取值范围; 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值; 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内. 随堂练习 1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是 . 2.如图2，在△ABC中，∠B=90 °, AB=12cm, BC=24cm，动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P,Q分别从A,B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小. 3 3.如图，四边形的两条对角线AC,BD互相垂直，AC+BD=10，当AC,BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？ 解：设AC=x,四边形ABCD面积为y,则BD=(10-x). 形ABCD面积为y,则BD=(10-x). 即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD面积最大 绿卡图书—走向成功的通行证 $$