21.3 二次函数与一元二次方程-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(沪科版)安徽专版

第21章 二次函数与反比例函数 21.3 二次函数与一元二次方程 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系. 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解. 3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法. 二次函数图象、性质确定方程的解. 二次函数与一元二次方程(不等式)的关系. 回顾复习 一元一次方程与一次函数的关系： 1．一次函数 y＝kx＋b 的图象经过(0，3),(4，0)，则方程 kx＋b＝0 的解是_______． 2．如下图，一次函数 y＝kx＋b 的图象如图所示，则方程kx＋b＝1的解是_________． 可以看出当y取一个确定的值时， 一次函数就变成了一元一次方程. x=4 x=-2 问题引入 类似地，通过观察对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取一个确定值时，它就变成了一个一元二次方程，由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系．那么它们之间到底有怎样的关系呢？ 探索新知 思 考： 观察二次函数y＝x2＋3x＋2的图象，并回答下列问题. (1)函数图象与x轴有几个交点？ (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？ 5 解：(1)函数图象与x轴有两个交点． (2)从以上观察可以得出，求函数 y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点坐标即是求当y＝0时，自变量x的值，也就是求方程ax2＋bx＋c＝0的根． 可以发现 二次函数与一元二次方程关系密切． 例如，已知二次函数 y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）． 反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值． 想一想： 观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗? (1) y＝x2＋x－2. (2)y＝x2－6x＋9. (3)y＝x2－x＋1. 解：根据题意可列如下表格： 知识归纳： 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系： 思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解. 例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 解：画出函数 y=x²+2x-1 的图象（如图所示），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-3与-2之间，另一个在0与1之间. 先求位于-3到-2之间的根，由图象可估计这个根是-2.5或-2.4，利用计算器进行探索，见下表： x … －2.5 －2.4 … y … 0.25 －0.04 … 观察上表可以发现，当x分别取-2.5和-2.4时，对应的y由负变正，可见在-2.5和-2.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-2.5和x=-2.4都符合要求.但当x=-2.4时更为接近0.故x1≈-2.4. 同理可得另一近似值为x2≈0.4. 思 考： 如何利用函数图象解一元二次不等式呢？ 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系: 例题：函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=2的根是 ______________; 不等式ax2+bx+c>2的解集是___________; 不等式ax2+bx+c<2的解集是________. x1=-2， x2=4 x<-2或x>4 -2<x<4 随堂练习 1.若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1＝1，x2＝2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标分别为________________. 2.二次函数y＝x2－6x＋n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2－6x＋n＝0的一个解为 x1＝1，则另一个解x2＝ ____ . (1，0)，(2，0) 5 3.已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． 求证：此抛物线与x轴总有两个交点. 证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有两个交点. 拓展提升 1.不与x轴相交的抛物线是 ( ) A．y＝2x2－3 B．y＝－2x2＋3 C．y＝－x2－3x D．y＝－2(x＋1)2－3 2.若抛物线y＝ax2＋bx＋c，当a＞0，c＜0时，图象与x轴交点情况是 ( ) A．无交点 B．只有一个交点 C．有两个交点 D．不能确定 D C 3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围． 解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数． ∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点， ∴k＝3; 当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数． ∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点， ∴Δ＝b2－4ac≥0. ∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16， ∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3. 综上所述，k的取值范围是k≤4. 4.已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点; (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1,x2的平方和为3，求a的值． (1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， ∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点. (2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， ∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3， ∴a＝1. 归纳小结 1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标. 2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题. 在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$