21.2 第1课时二次函数y=ax²的图象和性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(沪科版)安徽专版

第21章　二次函数与反比例函数 21.2 二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数y=ax2的图象与性质 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.能正确画出二次函数的图象，知道二次函数的图象是抛物线. 2.根据图象总结二次函数图象的性质. 3.初步应用二次函数的图象和性质解决问题. 用描点法画二次函数的图象，总结性质，并解决问题. 理解二次函数的性质，应用其解决问题. 回顾复习 1.二次函数的一般形式：y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 2.画一次函数图象的步骤是什么？ 　列表、描点、连线. 3.一次函数图象的形状是？ 　一条直线. 　 二次函数的图象是什么形状的呢？ 下面我们一起探究这个问题！ 下面我们先来研究最简单的二次函数 . 例1　画出二次函数 的图象. 　　解：列表.由于自变量x可以取任意实数，因此以0为中心选取x的一些值. 　　描点.根据上表中各列x，y的数值在平面直角坐标系中描点 (x，y). 　 探索新知 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x² … 9 4 1 0 1 4 9 … 连线：用平滑曲线顺次连接各点，得二次函数 的图象，如下图: 议一议 (1)描述这个图象的形状： 　　二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线y=x2. (2)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么? 　　是，对称轴是y轴. (3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么? 　　有最低点，最低点坐标是(0,0). (4)当x<0时,随着x的增大,函数y如何变化?当x>0时呢? 　　当x<0时，随着x的减小，函数y增大;当x>0时，随着x的减小,函数y减小. 由图可知， ①函数 的开口向上. ②y轴是它的对称轴. ③对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，也是最低点，坐标为（0,0）. ④当x<0时，随着x的增大，函数y减小，抛物线下降;当x>0时，随着x的增大，函数y增大，抛物线上升. 　 小结1 例2 在同一平面直角坐标系中，画出函数 , y=2x2 的图象. 解:列表. x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 描点、连线，即可得到这两个函数的图象，如下图： 观察二次函数 和 的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标;再指出图象有没有最高点还是最低点?图象何时上升、下降? 它们的开口方向是向上的，对称轴为y轴，顶点坐标是(0,0) 图象有最低点;在x<0时，抛物线下降;在x>0时，抛物线上升. 你能根据函数 ， 和 的图象的共同特点，总结出二次函数 (a>0)的性质吗？ 小结2 (a>0)的图象： 图象的特点 函数的性质 1. 向x轴左右方向无限延伸 自变量x的取值范围是全体实数 2. 是轴对称图形，对称轴是y轴 对于x和-x可能得到相同的函数y 3. 在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的 当x<0时，函数y随x的增大而减小； 当x>0时，函数y随x的增大而增大 4. 顶点就是原点（0,0），顶点是图象的最低点，开口向上，图象向上无限延伸 当x=0时，函数取得最小值，最小值是0，且y没有最大值，即y≥0 仿例1、例2在同一平面直角坐标系中，画出函数 , 和 的图象； 解：列表. 例题示范 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 … x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … x … -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 … … -8 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -8 … 描点、连线，得到三个函数的图象，如下图： 根据函数 , 和 的图象特点，总结出 (a<0)的性质. 小结3 (a<0)图象： 图象的特点 函数的性质 1. 向x轴左右方向无限延伸 自变量x的取值范围是全体实 2. 是轴对称图形，对称轴是y轴 对于x和-x可能得到相同的函数y 3. 在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的 当x<0时，函数y随x的增大而增大； 当x>0时，函数y随x的增大而减小 4. 顶点就是原点（0,0），顶点是图象的最高点；开口向下，图像向下无限延伸 当x=0时，函数取得最大值，最大值是0，且y没有最小值，即y≤0 归纳小结 y＝ax2 a＞0 a＜0 图象 开口 开口向上 开口向下 |a|越大，开口越小 对称性 关于y轴对称 顶点 顶点坐标是原点(0，0) 顶点是最低点 顶点是最高点 增减性 在对称轴左侧递减; 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增; 在对称轴右侧递减 O O 17 随堂练习 1.a>0与a<0时,函数y =ax²的图象有什么不同? 开口方向不同;性质不同. 2.|a|的大小对函数y = ax²的图象的开口大小有什么影响? 开口大小由|a|的大小决定，|a|大，则抛物线的开口小;|a|小，则抛物线的开口大. 3.已知下列二次函数： ;② ;③ ;④ ;⑤ . (1)其中开口向上的是________.(填序号); (2)其中开口向下且开口最大的是_____.(填序号)； (3)有最高点的是______.(填序号). ②③⑤ ① ①④ 拓展提升 1.已知一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2，其中a≠0，b＜0，则下面选项中，图象可能正确的是( ) 分析：因为b＜0，所以直线y=ax+b与y轴的交点在y轴的负半轴，因此B，D错误； 选项A，C中，抛物线y=ax2都是开口向下，得到a＜0， 所以直线y=ax+b是下降的.因此选项C正确. C 2.按要求完成下列各题. (1)在同一坐标系中画出函数 ; ; ; 的图象. (2)观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴. (3)说出各图象中的最高点或最高点坐标. (4)说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y随x增大而变化的情况. 顶点坐标都是(0,0); 和 开口向上， 和 开口向下. 对称轴都是y轴; 和 开口向上，所以都有最低点(0,0). 和 开口向上，所以都有最高点(0,0). 和 ，在对称轴的左侧，函数y随x增大而减小; 在右侧，函数y随x增大而减小. 和 ，在对称轴的左侧，函数y随x的增大而增大; 在右侧，函数y随x的增大而减小. 23 课后作业 1.从课后习题中选取. 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$