专题04 函数的概念及其表示（竞赛培优专项训练）高一数学人教A版2019全国通用

专题04函数的概念及其表示 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 相等函数的判断 5 考点二 求函数的定义域 7 考点三 求函数的值域 8 考点四 由函数定义域求参 11 考点五 由函数值域求参 12 考点六 求函数的解析式 16 考点七 分段函数问题 19 考点八 函数的求值问题 23 考点九 函数的图象问题 29 考点十 函数的新定义问题 33 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题16道） 【归纳重点知识】 知识点01 函数的概念 1.函数的定义 设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，称为从集合到集合的一个函数 2．函数的有关概念 （1）函数的定义域、值域：在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集． （2）函数的三要素：定义域、值域和对应关系． （3）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． 知识点02 函数的表示法 1.三种表示方法 （1）详解法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：（1）简明、全面概括了变量间的关系；（2）利用详解式可求任意函数值． 缺点：不够形象、只管，而且并不是所有函数都有详解式． （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值； 缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系． （3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：能形象直观地表示函数的变化情况； 缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大． 2.函数图象的变换 （1）函数图象的平移变换 左加右减：函数的图象沿轴方向向左()或向右()平移个单位长度得到函数; 上加下减：函数的图象沿轴方向向上()或向下()平移个单位长度得到函数 （2）函数图象的对称变换 ① ② ③ （3）函数图象的翻折变换 ① ② 知识点03 分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． （1）确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发． （2）如果函数用表格给出，则表格中的集合即为定义域． （3）如果函数用图象给出，则图象在轴上的投影所覆盖的的集合即为定义域．0 值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定． （1）分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数． （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． （3）各段函数的定义域不可以相交． 知识点03 函数的对称性(拓展) 1．函数图象本身的对称性(自身对称) 若,则具有周期性;若,则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”. ⑴图象关于直线对称. 推论1: 的图象关于直线对称. 推论2、的图象关于直线对称. 推论3、)的图象关于直线对称. ⑵的图象关于点对称. 推论1、的图象关于点对称. 推论2、的图象关于点对称. 推论3、的图象关于点对称. 2．两个函数的图象对称性(相互对称) ⑴与图象关于y轴对称. ⑵与图象关于原点对称函数. ⑶函数与图象关于轴对称. ⑷函数与其反函数图象关于直线对称. ⑸函数与图象关于直线对称. 推论1:函数与图象关于直线对称. 推论2:函数与图象关于直线对称. 推论3:函数与图象关于直线对称. 3.函数的对称性常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. 知识点04 函数的周期性（拓展） 1．周期性的定义 一般地，对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期 2．函数周期性的判定 （1）的一个周期T=. （2）的一个周期T=. （3）的一个周期. （4）（为常数）的一个周期T=. 提示：，两式相减可得： （5）（为常数）的一个周期T=. （6）的一个周期T=. 提示：，相加，得，则T=. 【熟记重要结论】 1．常见函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于0． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0． (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)零次幂的底数不能为0. 2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为． (3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}． (4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R. 3.求抽象函数的定义域的策略 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 4．与二次函数有关的恒成立问题 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 (1)f(x)＞0恒成立的充要条件是； (2)f(x)＜0恒成立的充要条件是； (3)f(x)＞0(a＜0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是； (4)f(x)＜0(a＞0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是. 考点一 相等函数的判断 1．下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同一函数定义可知两函数定义域相同、化简后的解析式相同，逐个选项判断即可. 【详解】函数的定义域为，对应关系为 的定义域为，但对应关系不同，A错误； ，且定义域为，因为定义域与对应关系均相同，所以为同一函数，B正确； 的定义域为，C错误； 的定义域为，即或，D错误． 故选：B. 2．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】AB定义域不同；C选项两函数定义域和对应法则均相同，D选项对应法则不同. 【详解】A选项，的定义域为R，的定义域为， 定义域不同，故不是同一函数，A错误； B选项，的定义域为，的定义域为R， 定义域不同，B错误； C选项，由，解得，故的定义域为， 由，解得，的定义域为， 且，故为同一函数，C正确； D选项，，的对应法则不同，D错误. 故选：C 3．下列函数中与是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据各组函数的定义域和对应关系是否相同即可判断. 【详解】A，定义域是，定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，错误； B，与定义域都是，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是同一函数，正确； C，与对应法则不同，不是同一函数，错误； D，定义域是，定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，错误.故选B. 考点二 求函数的定义域 4．函数的定义域是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】利用根式和分式有意义列式求解即可. 【详解】由题意可得解得且， 故的定义域为且， 故选：C 5．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数有意义，列出不等式组即可. 【详解】由题可得且，则且， 故函数的定义域为. 故选：B. 6．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求． 【详解】在中，，∴， ∴的定义域是， 故在中，解得， ∴的定义域是. 故选：A. 7．若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域求法，建立不等式组，解之即得. 【详解】依题意，函数有意义，等价于， 解得，即函数的定义域为. 故选：D 8．函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抽象函数定义域法则求出，再结合具体函数定义域法则求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以， 则，即函数的定义域为， 令，解得，因为，所以解得， 因为，解得，则的定义域为，故C正确. 故选：C 考点三 求函数的值域 9．已知函数的定义域，值域，则满足条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据函数的定义，结合函数的定义域和值域进行求解即可. 【详解】令，则，则满足条件的有，，共3个． 故选：C 10．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程，用表示，解得的范围，即为值域. 【详解】设，则， 两边同时平方得，即， 当时，不成立，所以，所以， 所以即整理得，即， 解得或， 故选：B． 11．下列函数中，值域是的是（    ）． A． B．（） C．（） D． 【答案】D 【分析】分别求出各函数的值域即可. 【详解】因为，所以函数值域为，故A错误； 因为时，，故B错误； 因为时，函数的值域为集合，不是区间．故C错误； 因为，所以函数的值域为，故D正确. 故选：D． 12．已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】令，求得，得到的定义域为，再结合函数图象变换，得到与函数的值域相同，即可得到答案. 【详解】由函数的定义域和值域分别为和，可得和， 令，解得，所以函数的定义域为， 又由函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 所以函数与函数的值域相同，即. 故选：D. 13．若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解. 【详解】因为函数的值域是， 所以函数的值域是， 令，则， 由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，， 则，即函数的值域是. 故选：B. 14．(多选)已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D．的值域为 【答案】BC 【分析】法一：利用配凑法求得的解析式，法二，利用换元法求得的解析式判断A；利用解析式求值域判断B；求复合函数的定义域和值域判断选项CD. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则，，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以，，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，显然，，于是， 因此的值域为，故D错误． 故选：BC. 考点四 由函数定义域求参 15．若的定义域为，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由函数特征得到不等式，得到，结合函数的定义域得到方程，求出. 【详解】由题得，解得， 函数的定义域为，故，. 故选：B 16．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义域为的条件，结合二次函数性质来确定实数的取值范围． 【详解】由题意可知，关于的方程无解，此时进行分类讨论． ①当，即时，不成立，分母不为零，所以符合题意； ②当，即时，应满足，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：C． 17．“函数的定义域为R”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据函数定义域得到，结合与的关系得到答案. 【详解】定义域为R，即恒成立，故， 由于时一定满足，但时不能得到， 所以“函数的定义域为R”是“”的必要不充分条件. 故选：B 18．“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由题意得到在R上恒成立，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出，由集合真包含关系得到答案. 【详解】由题意得在R上恒成立， 若，则，满足要求， 若，则只需，解得， 综上，， 由于为的真子集， 故“”是“函数的定义域为R”的充分不必要条件. 故选：A 考点五 由函数值域求参 19．若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别讨论在不同取值时得单调性；当时，，不合题意；当时，讨论的最小值即可；当时，由分析可知要求的最小值为0，先确定的范围，再根据的范围确定时函数的单调性，从而求得其最小值即为符合题意. 【详解】当．则， 此时在，单调递增，在单调递减. 当时，若，当，，不合题意； 当时，，，则值域为符合题意； 当时，要使的值域是，则要求的最小值为． 则必定先有，得，即， 此时在上单调性为上单调递减，单调递增， 有最小值符合题意．故 故选：A. 20．已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值范围，再与值域对比求实数的取值范围. 【详解】当时，在上单调递减， 此时； 当时，． ①若，则在上单调递增，此时， 又函数的值域，不合题意； ②若，则，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域，则， 解得．综上所述：． 故选：C. 21．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围. 【详解】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，又，解得，则； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 22．已知定义在上的函数满足，若函数（）在上的值域与函数的值域相同，则=（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先构造函数方程组求出，再求出的值域，得的值域，得，即可求解. 【详解】因为，所以. 又①， ②， 由①②得，， ， 故函数的值域为，函数的值域也是， 因为即，函数（）在上单调递减， 所以，即，所以. 故选：B. 23．已知函数的定义域与值域都为，则实数的值为 【答案】 【分析】利用二次函数的定义域即为满足条件的解集，即可判断开口方向和二次函数的零点，从而得到参数的两个关系式，再利用值域中的最大值，即为二次函数的最大值开方，则再得到一个相等关系，从而利用消元法，即可解得参数. 【详解】由于的值域为，所以， 的定义域为，则方程的两根为， 所以， 则抛物线的对称轴为 ， 24．若函数的定义域与值域都是，则实数 ． 【答案】5 【分析】由题意得，解方程组可得的值. 【详解】函数的对称轴方程为， 所以函数在上为减函数， 又函数在上的值域也为， 则，即， 由①得：，代入②得：，解得：（舍），． 把代入得：． 考点六 求函数的解析式 25．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由配凑法结合基本不等式求出的范围即可得解. 【详解】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. 26.函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法将设为，反求出，再代入原式，并将改为即得. 【解析】设，则，即， 代入，可得，故. 故选：A. 27.已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 【答案】 【分析】设，结合已知条件利用待定系数法即可求解. 【解析】由已知设， 因为，所以， 因为， ， 所以，解得， 所以. 28.已知函数满足，则 . 【答案】 【解析】由①， 得②， 由①②得，则， 令，则， 所以， 故. 29.已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据，令，得，依次可得，，，累加可得函数解析式. 【解析】函数的定义域为，且满足， 取，得，所以， ，，， 以上各式相加得． 30．设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 【答案】 【分析】运用赋值法可求解. 【详解】由①， 在①中，令可得②， 在②中，令，则③， 由②可得，④， 由①可得，⑤， 由②可得，⑥， 则由③④⑤⑥可得，，即， 因，则. 31．函数满足：对任意、，都有，则所有满足条件的函数的解析式为 或 ． 【答案】, 【分析】令可得出，令，可求出的值，代入等式可求得函数的解析式. 【详解】令可得， 再令，可得， 解得或， 若，可得，可得， 若，可得，可得. 经检验，、均满足题意. 32.（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式. 【分析】（1）首先设出函数的解析式，然后根据求出参数，进而得到函数的解析式. （2）将函数进行化简，然后利用换元法求出函数的解析式. 【详解】（1）因为函数是一次函数，则设. 由于，所以 所以.化简得： 这是一个恒等式，所以，且. 所以. 所以函数的解析式为. （2）， 令，. 所以. 所以函数的解析式为. 考点七 分段函数问题 33.设函数，使得的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况解不等式即可得解. 【详解】当时，，即显然恒成立，所以； 当时，，解得； 综上，的取值范围是． 故选：A. 34．已知函数则的最小值是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】数形结合，画出函数的图象即可求解. 【详解】根据题意，画出函数的图象如下：    由图可知，的最小值是. 故选：C 35．已知函数，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式结合已知条件，求得参数，再求函数值即可. 【详解】由，是减函数，可知当时，， 所以，则， 由，得，解得， 所以. 故选：B. 36．设函数，使得的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况解不等式即可得解. 【详解】当时，，即显然恒成立，所以； 当时，，解得； 综上，的取值范围是． 故选：A. 37．(多选)设若实数且满足，则（    ） A． B． C． D．的取值范围是 【答案】CD 【分析】由题意知直线与的图象有三个交点，且，根据图象可得并求出与的关系，整理可得，结合二次函数分析求解即得正确选项. 【详解】∵，且， ∴直线与的图象有三个交点， 作出的图象，如图所示， 由图可知 且解得 则 因为，则， 所以 所以的取值范围是． 故选：CD. 38.(多选)已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（   ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 【答案】AC 【分析】对A：由分段函数的性质代入计算即可得；对B：分及进行计算即可得；对C：分别求出当时，时，的取值范围即可得；对D：分及解不等式即可得. 【详解】对A：因为，则，故A正确； 对B：当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B错误； 对C：当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故C正确； 对D：当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为；故D错误 故选：AC. 39．已知函数，若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】按照从内到外的顺序求，并根据的取值分类讨论函数的解析式，求解即得. 【详解】①当，即时，，由解得（舍）， ②当，即时，， （Ⅰ）若，即时，有，解得； （Ⅱ）若时，即时，有方程无解. 综上，． 40．已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的图像特征，然后根据知道的图像是图像左移个单位长度，要使恒成立，通过分析图像找到相切时的情况，从而确定的取值范围. 【详解】易知函数图象如图所示，因为， 所以函数图象即为函数图象左移个单位长度，    当曲线与直线相切时， 令，即， 则，解得：， 故，恒成立时，由图像可知，. 考点八 函数的求值问题 41．已知函数满足，则（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】分别令联立方程组，求得答案. 【详解】因为，分别令， 联立得，解得， 故选：C. 42．若函数，满足，且，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】应用赋值法及方程组法计算求解. 【详解】令可得，所以； 令可得； 令可得， 所以， 所以， 令可得，所以， 所以. 故选：D. 43．已知定义在上的函数满足，对任意，有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由赋值法可令，求得，再令，求得的解析式，运用数列的裂项相消法求和，计算可得所求和. 【详解】在中，令，得； 令，得，所以． 所以， 所以. 故选：A． 44．已知函数的定义域均为，且．若的图象关于直线对称，，则（    ）附注：． A．－21 B．－22 C．－23 D．－24 【答案】D 【分析】方法一：根据的图象关于直线对称得到，然后通过替换得到为周期为4 的周期函数，最后通过赋值和周期性求函数值即可；方法二：根据，，证明是以4为周期的周期函数，，通过赋值和周期性求函数值即可. 【详解】方法一：因为的图象关于直线对称，所以． 由，得，所以． 因为，所以． 由，得，于是，即是以4为周期的周期函数． 由和，得，故． 由和，得，故． 由，得－2，故． 由，得，故． 于是． 方法二：因为的图象关于直线对称，所以，则． 因为①，所以，则． 因为，所以②，则． 因此，即是以4为周期的周期函数． 由①②得． 于是 ， 故选：D. 45．函数的定义域为，若，则（    ） A．－2 B．－4 C．2 D．4 【答案】C 【分析】方法一，利用赋值法来证明函数的周期性和特殊函数值，即可判断， 方法二，是利用特例函数来满足条件，即可得结论. 【详解】方法一：利用赋值法， 令，则，所以． 令，，则，所以． 令，则． 令，则． 所以， 若恒成立，则与题设条件矛盾，所以不恒为0， 所以，所以， 所以，所以4为的一个周期， 所以．令，得， 又，所以，，所以， 故选：C． 方法二：举满足条件的特例函数，即令， 检验得，且，符合题意， 所以， 故选：C． 46．已知函数（为实常数的图象经过三点，，，则的值等于（    ） A．0 B．1 C． D．25 【答案】D 【分析】根据点的特征得到必有零点2，3，4．设，推出，并得到，，求出的值. 【详解】由已知三点，，的特征， 将的图象下移，则必有零点2，3，4． 设， 则， 所以， ，， 所以. 故选：D． 47．设函数的定义域为，若，则 ． 【答案】 【分析】令得，再令得，最后令，利用赋值法即可求解. 【详解】令，则，即，可得； 令，则，即，可得； 令，可得. 48．已知函数，且，则 【答案】 【分析】根据条件，令，得到，再通过累加法，即可求解. 【详解】令，得到， 所以，，，，， 累加得到， 即， 49．已知对于任意实数，，函数满足，且，则 ． 【答案】 【分析】利用赋值法，分别令；；得到；；；再利用累加法得到即可求解. 【详解】对于， 令，得，解得， 令，得，又，解得， 令，得，即， 所以，，，， 故， 所以． 50．已知定义在R上的函数满足且，则 ． 【答案】 【分析】令，可得，由累加法求出，即可求出. 【详解】令，所以， 所以， 即，，……， 所以，以上式子相加可得：， 所以， 所以. 51．已知函数的定义域为R，，，则 ， ． 【答案】 0 【分析】通过赋值，，可求第一空，通过赋值，得到，进而得到，确定周期，进而可求解. 【详解】令，，得，∵，∴． 令，得， ∴（*）， ， ∴， ∴， ∴是一个周期为6的周期函数， 由（*），可得， ， ， ， ∴， 考点九 函数的图象问题 52．函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象的对称变换和平移变换可得结果. 【详解】先将函数的图象关于原点对称，可得出函数的图象，如下图所示： 再把所得函数图象向左平移个单位长度，即可得出图②所示图象， 故图②所示图象对应的函数为. 故选：D. 53．下列可以作为方程的图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】借助排除法，得到，不可能同时成立，即可排除A，B，C. 【详解】当时，， 若，则，即，不符合， 故，不可能同时成立，故A，B，C，选项错误. 故选：D 54．将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图象，即可判断平移之后的函数图象. 【详解】，可得函数的大致图象如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象. 故选：C. 55．中，，正方形的顶点分别在边上．的长度为，与正方形重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与之间的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，直接求出与之间的函数关系式，根据关系式，利用基本函数图象，结合各个选项，即可求解. 【详解】易知当时，， 当时，交于，交于，如图， 因为，则，在中，， 所以为等腰直角三角形，所以，得到， 所以，故 所以， 故选：C. 56．某市一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的图象确定的变化趋势，确定正确选项． 【详解】由题意，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大， 从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变， 是常数，该常数为2，只有D满足， 故选：D． 57.（多选）已知函数的定义域是，且满足，作的图象关于轴的对称图象，并右移一个单位，再将横坐标变为原来的得到函数的图象，下列说法正确的有（    ） A． B．与有相同的值域 C．的最小正周期是6 D． 【答案】ABD 【分析】由函数图像的变换即可判断AB，由函数周期性的定义即可判断C，结合函数周期的性质代入计算，即可判断D. 【详解】由图象的变换知A项正确； 因为图象变换中没有上下平移，所以值域不变，可知B项正确； 由得①， 在中用代替得②， 由①②得，所以3是的周期，C项错误， 由知的周期， 则， 在中令得，所以，D项正确. 故选：ABD 考点十 函数的新定义问题 58．函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据取整函数的定义求函数的值域. 【详解】设，其中，为的小数部分，则， 则， 所以函数的值域为：. 故选：A 59．设已知函数，则（   ） A． B．0 C．6 D．9 【答案】D 【分析】依题意得，再根据分段函数求值即可. 【详解】令，解得，则 因此8，故． 故选：D. 60．任意作一条直线分别与定义域均为的函数，，的图象交于点A，B，C，若点B始终为线段AC的中点，则称，是关于的“对称函数”．已知定义域为的函数，，且，是关于的“对称函数”．若，，成立，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称函数定义，确定的表达式；再通过给定条件分析的取值范围. 【详解】因为，是关于的“对称函数”， 所以，定义域为， . 令，， 在时取得最大值，在或时取得最小值. 则，，， 又，所以，那么. 由在上单调递增，可得的值域为， 因为，，成立， 所以. 则，解得. 故选：D． 61．定义域为的函数同时满足条件：①常数满足，区间，②使在上的值域为，那么我们把叫做上的“级矩形”函数．函数是上的“级矩形”函数，则满足条件的常数对共有（   ） A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】利用函数是上的单调递增函数，结合题设条件可得，进而求得满足条件的常数对. 【详解】由题意，函数是上的“1级矩阵”函数， 即满足条件①常数满足，区间，②使在上的值域为， 因为函数是上的单调递增函数，所以，解得或，或 又，所以满足条件的常数对为，，. 故选：C. 62．已知函数（），若存在，使，则称点是函数的一个“H点”.则函数 “H点”的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据“H点”的特征，利用数形结合判断存在的个数. 【详解】由，若是函数的一个“H点”，则其关于原点的对称点为，即，所以“H点”关于原点的对称点也在函数图像上， 所以要判断函数 “H点”的个数，需要知道函数图像上关于原点的对称点有多少个，作函数在上的部分图像关于原点对称的图像，如图所示，与在上的部分图像有两个交点， 所以函数 “H点”的个数为4. 故选：C 63．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（    ） A．区间，上的值域为， B．区间，上的值域为， C．区间，上的值域为， D．区间，上的值域为 【答案】A 【分析】根据高斯函数的定义，可得函数的图象，即可的解. 【详解】由高斯函数的定义可得： 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示， 由图象可知，在，的值域也为，. 故选：A 64.（多选）Riemann函数是近代分析学中重要的研究对象，在微积分中有着广泛的应用，已知Riemann函数的定义为则（    ） A．存在无数个使 B．最大值与最小值之和为 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数定义，对各选项进行逐一判断：选项A，通过设为上的有理数，表示为，则.令，得出（，因，且互质），所以时，存在无数个满足；选项B，根据选项A推导，当最小时，即时取最大值，根据定义最小值为0；选项C：举反例证明即可；选项D：根据定义设集合A，B，分别推导证明结论. 【详解】设为上的有理数，表示为，则. 令，即，得. 因此（，因，且互质）. 所以时，存在，使得，有无数个，A正确； 最大值：当最小时，即，对应，为最大值. 最小值：根据定义，0，1或上的无理数时，； 有理数中时，，故最小值为0， 故最大值与最小值之和为，B正确； 取，，则， ， 故，不满足题意，C错误； 设集合，， ①若x，，令，，则， 当与互质时，； 当与不互质时，， 故； ②若x，y中至少有一个属于B，则， 而， 故， 综上可知，D正确． 故选：ABD. 65．世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如． (1)若，求的值； (2)已知，求函数的值域． 【分析】（1）根据题意，由取整函数定义即可得到的值； （2）将变形，分析其取值范围，结合取整函数定义，即可得到结果． 【详解】（1）由取整函数定义可知，所以． 故的值为0． （2）设，则． 当时，，； 当时，． 所以，所以， 故函数的值域为． 66．定义：对于定义在区间上的函数和正数，若存在正数，使不等式对任意恒成立，则称函数在区间上满足阶李普希兹条件． (1)判断函数在上是否满足1阶李普希兹条件，并说明理由； (2)证明函数在区间上满足阶李普希兹条件，并求出的取值范围． 【分析】（1）结合题意根据1阶李普希兹条件的含义即可求解；（2）结合已知条件以及题干定义即可求解. 【详解】（1）满足1阶李普希兹条件，不满足1阶李普希兹条件． 理由如下：对于， ，只需， 所以存在正数，使对任意恒成立， 所以满足1阶李普希兹条件． 对于， ，不妨设，则， ，即不存在正数，使不等式对任意恒成立， 所以不满足1阶李普希兹条件． （2）不妨设，则时，， 所以 ， 故时，对任意，均有 故函数在区间上满足阶李普希兹条件， 的取值范围为． 67．若函数满足：对于任意是一个三角形的三边长，都有，，也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”. (1)判断，是否为“保三角形函数”，并说明理由； (2)如果是定义在上的周期函数，且值域为，判断是否为“保三角形函数”，并进行证明. 【分析】（1）给定的大小关系可得的大小关系，即可判断；取特值验证可判断； （2）取使得，取，取验证即可得证. 【详解】（1）为“保三角形函数”，不是“保三角形函数”，理由如下： 不妨设，则，即 因为是一个三角形的三边长，所以， 所以，即， 又，所以，，也是某个三角形的三边长， 所以为“保三角形函数”. 易知是一个三角形的三边长， 因为，且， 所以不满足定义，即不是“保三角形函数”. （2）不是“保三角形函数”，证明如下： 因为函数的值域为，所以不是常数函数， 所以函数的最小正周期，存在使得， 取正整数，则， 易知可以是一个三角形的三边长， 因为，， 所以不是任何三角形的三边， 即不是“保三角形函数”. 1.（2024·湖南邵阳高一数学竞赛）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可列出，可求出. 【详解】的定义域是， 在中，，解得， 故的定义域为. 故选：C. 2．(2023·“枫叶新希望杯”高一数学竞赛)若函数的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图象，利用函数的定义域以及特殊点进行求解即可． 【详解】由图象可知，，分母必定可以分解为， 在时有，， ， 故选：D． 3．（2024·全国第四届章鱼杯联赛）若三次函数满足，则（    ） A．38 B．171 C．460 D．965 【答案】B 【分析】设，求导，结合题意列式求，即可得结果. 【详解】设，则， 由题意可得：，解得， 则，所以. 故选：B. 4．(2024·“枫叶新希望杯”高二数学竞赛)设集合，，函数，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】时，根据解析式求出，再由求解不等式即可. 【详解】当时，则， 由，解得， 又，所以. 故选：C 5．(2024·“枫叶新希望杯”高一数学竞赛)已知，则的值为（　　）. A．16 B．18 C．32 D．24 【答案】A 【详解】因为， 所以原式. 故选：A. 6．（2023·山东师大附中数学竞赛选拨赛）已知二次函数，满足：对任意实数，都有，且当时，有成立，又，则为（ ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】对恒成立问题，可以任取自变量的值，式子均成立．围绕已知条件，通过，得到方程组求解即可． 【详解】由条件对任意实数，都有，知成立 当时，有成立， 成立， ， ① , ② 由①②可得， . 故选：B． 7．（2024·湖南邵阳高一竞赛）定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 可得在，上单调递减，在上单调递增， 在，上的值域为，， 在上的值域为，， 在上的值域为，， ， ， 在上的值域为，， 当时，为增函数， 在，上的值域为，， ，解得； 当时，为减函数， 在，上的值域为，， ，解得； 当时，为常数函数，值域为，不符合题意； 综上，的范围是或． 故选：． 【方法总结】本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 8．(2024·全国第四届英才杯竞赛)当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别作出，，的图象，找到取得最小值时所对应的点，建立方程求解即可． 【详解】分别作出，，的图象， 根据，如下图： 由图象可得取得最小值时，点为，即为和的交点， ，解得：， 由图可知点在第二象限，， 故选：A． 9．（2024湖南邵阳高一竞赛初赛）如图，中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理可得，然后分两段：当点在边上时，，当点在边上时，，分别求出函数关系式，即可求解． 【详解】∵，，， ∴， 根据题意得：点到达点的时间是，到达点的时间为，点到达点的时间为， 当点在边上时（不含端点），，， 如图，过点作于点，则， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴， 当点在边上时，，，，如图， ∴，， ∴， 即, 综上所述，与的函数关系式为 ， ∴函数图象第一段为过原点的开口向上的抛物线的一部分，第二段为自左向右逐渐下降的抛物线的一部分． 故选：C 10．（2024·““枫叶新希望杯”高一联赛）函数满足：，且，则 ． 【答案】 【分析】结合题意可得、与的关系，即可得，即可得，结合与的关系计算即可得. 【详解】， 则， 所以． 故答案为：. 11．（2024·四川宜宾高中数学联赛初赛）定义域是一个函数的三要素之一.已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】应用抽象函数定义域定义计算即可. 【详解】已知函数的定义域为, 则函数，得， 则，则函数定义域为. 故答案为：. 12．（2024·全国高中数学联赛模拟练习）设，函数满足对任意都成立，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】由题设有， 故， 当且仅当或时取最大值， 故的最大值为. 13．（2024·南京大学强基计划）满足的非零有理系数多项式的最低次数为 . 【答案】 【分析】先对进行变形，构造出满足条件，然后证明如果非零有理系数多项式满足，则一定拥有个不同的零点，从而说明的次数至少为，即可得到答案. 【详解】设. 一方面，有. 所以，故. 从而，故有. 即. 移项，合并同类项，得. 这表明非零有理系数多项式满足条件； 另一方面，若非零有理系数多项式满足，即是的一个零点. 不妨设是非零整系数多项式，否则将乘以其系数的公分母，再替换即可. 设，则据假设有 . 再设，则. 设多项式展开后是. 根据的结构可以看出，每个都可以表示为的有理系数多项式形式. 从而每个都能表示为. 由于，故. 由于一定是整数或整数的倍，结合的形式，知一定存在，使得 . 从而，即. 比对每个根式的系数，即得. 所以亦有，故，即. 所以，这说明也是的零点. 采用相同的方法，可以证明，，，，，，，均为的零点. 所以非零多项式至少有个零点，从而的次数至少为. 综合以上两方面，可知的最低次数为. 14．（2025·北京强基计划）已知，且，求 【分析】根据已知条件化简得出，最后计算求值即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以 . 15.（2025东南大学强基计划）设是定义在上的单调函数，满足，求的值． 【答案】 【分析】设，构造函数赋值法计算得出或，结合函数值排除求解即可. 【详解】设，所以，所以， 所以，所以或， 当时，，在定义域内单调递增，所以，符合题意； 当时，，，不符合题意； 所以. 16．（2025·北京大学强基计划）求的值域. 【答案】 【分析】设，问题化为求的范围，数形结合确定值域即可. 【详解】令， 设，如下图示， 则，当且仅当在线段的延长线上时取等号， 当时，直线可近似看作平行关系，此时， 综上，目标式的范围是. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04函数的概念及其表示 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 相等函数的判断 5 考点二 求函数的定义域 6 考点三 求函数的值域 6 考点四 由函数定义域求参 7 考点五 由函数值域求参 7 考点六 求函数的解析式 8 考点七 分段函数问题 9 考点八 函数的求值问题 10 考点九 函数的图象问题 11 考点十 函数的新定义问题 13 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题16道） 【归纳重点知识】 知识点01 函数的概念 1.函数的定义 设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，称为从集合到集合的一个函数 2．函数的有关概念 （1）函数的定义域、值域：在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集． （2）函数的三要素：定义域、值域和对应关系． （3）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． 知识点02 函数的表示法 1.三种表示方法 （1）详解法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：（1）简明、全面概括了变量间的关系；（2）利用详解式可求任意函数值． 缺点：不够形象、只管，而且并不是所有函数都有详解式． （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值； 缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系． （3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：能形象直观地表示函数的变化情况； 缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大． 2.函数图象的变换 （1）函数图象的平移变换 左加右减：函数的图象沿轴方向向左()或向右()平移个单位长度得到函数; 上加下减：函数的图象沿轴方向向上()或向下()平移个单位长度得到函数 （2）函数图象的对称变换 ① ② ③ （3）函数图象的翻折变换 ① ② 知识点03 分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． （1）确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发． （2）如果函数用表格给出，则表格中的集合即为定义域． （3）如果函数用图象给出，则图象在轴上的投影所覆盖的的集合即为定义域．0 值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定． （1）分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数． （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． （3）各段函数的定义域不可以相交． 知识点03 函数的对称性(拓展) 1．函数图象本身的对称性(自身对称) 若,则具有周期性;若,则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”. ⑴图象关于直线对称. 推论1: 的图象关于直线对称. 推论2、的图象关于直线对称. 推论3、)的图象关于直线对称. ⑵的图象关于点对称. 推论1、的图象关于点对称. 推论2、的图象关于点对称. 推论3、的图象关于点对称. 2．两个函数的图象对称性(相互对称) ⑴与图象关于y轴对称. ⑵与图象关于原点对称函数. ⑶函数与图象关于轴对称. ⑷函数与其反函数图象关于直线对称. ⑸函数与图象关于直线对称. 推论1:函数与图象关于直线对称. 推论2:函数与图象关于直线对称. 推论3:函数与图象关于直线对称. 3.函数的对称性常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. 知识点04 函数的周期性（拓展） 1．周期性的定义 一般地，对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期 2．函数周期性的判定 （1）的一个周期T=. （2）的一个周期T=. （3）的一个周期. （4）（为常数）的一个周期T=. 提示：，两式相减可得： （5）（为常数）的一个周期T=. （6）的一个周期T=. 提示：，相加，得，则T=. 【熟记重要结论】 1．常见函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于0． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0． (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)零次幂的底数不能为0. 2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为． (3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}． (4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R. 3.求抽象函数的定义域的策略 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 4．与二次函数有关的恒成立问题 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 (1)f(x)＞0恒成立的充要条件是； (2)f(x)＜0恒成立的充要条件是； (3)f(x)＞0(a＜0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是； (4)f(x)＜0(a＞0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是. 考点一 相等函数的判断 1．下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．下列函数中与是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 考点二 求函数的定义域 4．函数的定义域是（   ） A． B． C．且 D．且 5．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 8．函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点三 求函数的值域 9．已知函数的定义域，值域，则满足条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 11．下列函数中，值域是的是（    ）． A． B．（） C．（） D． 12．已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 13．若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 14．(多选)已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D．的值域为 考点四 由函数定义域求参 15．若的定义域为，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 16．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 17．“函数的定义域为R”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点五 由函数值域求参 19．若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 22．已知定义在上的函数满足，若函数（）在上的值域与函数的值域相同，则=（    ） A．2 B．1 C． D． 23．已知函数的定义域与值域都为，则实数的值为 24．若函数的定义域与值域都是，则实数 ． 考点六 求函数的解析式 25．已知，则（   ） A． B． C． D． 26.函数满足，则（    ） A． B． C． D． 27.已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 28.已知函数满足，则 . 29.已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为 . 30．设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 31．函数满足：对任意、，都有，则所有满足条件的函数的解析式为 或 ． 32.（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式. 考点七 分段函数问题 33.设函数，使得的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．已知函数则的最小值是（   ） A． B． C．0 D．1 35．已知函数，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 36．设函数，使得的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．(多选)设若实数且满足，则（    ） A． B． C． D．的取值范围是 38.(多选)已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（   ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 39．已知函数，若，则实数的值为 ． 40．已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是 ． 考点八 函数的求值问题 41．已知函数满足，则（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 42．若函数，满足，且，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 43．已知定义在上的函数满足，对任意，有，则（    ） A． B． C． D． 44．已知函数的定义域均为，且．若的图象关于直线对称，，则（    ）附注：． A．－21 B．－22 C．－23 D．－24 ， 45．函数的定义域为，若，则（    ） A．－2 B．－4 C．2 D．4 46．已知函数（为实常数的图象经过三点，，，则的值等于（    ） A．0 B．1 C． D．25 47．设函数的定义域为，若，则 ． 48．已知函数，且，则 49．已知对于任意实数，，函数满足，且，则 ． 50．已知定义在R上的函数满足且，则 ． 51．已知函数的定义域为R，，，则 ， ． 考点九 函数的图象问题 52．函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（   ） A． B． C． D． 53．下列可以作为方程的图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   54．将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 55．中，，正方形的顶点分别在边上．的长度为，与正方形重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与之间的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 56．某市一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（    ）. A． B． C． D． 57.（多选）已知函数的定义域是，且满足，作的图象关于轴的对称图象，并右移一个单位，再将横坐标变为原来的得到函数的图象，下列说法正确的有（    ） A． B．与有相同的值域 C．的最小正周期是6 D． 考点十 函数的新定义问题 58．函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 59．设已知函数，则（   ） A． B．0 C．6 D．9 60．任意作一条直线分别与定义域均为的函数，，的图象交于点A，B，C，若点B始终为线段AC的中点，则称，是关于的“对称函数”．已知定义域为的函数，，且，是关于的“对称函数”．若，，成立，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 61．定义域为的函数同时满足条件：①常数满足，区间，②使在上的值域为，那么我们把叫做上的“级矩形”函数．函数是上的“级矩形”函数，则满足条件的常数对共有（   ） A．对 B．对 C．对 D．对 62．已知函数（），若存在，使，则称点是函数的一个“H点”.则函数 “H点”的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 63．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（    ） A．区间，上的值域为， B．区间，上的值域为， C．区间，上的值域为， D．区间，上的值域为 64.（多选）Riemann函数是近代分析学中重要的研究对象，在微积分中有着广泛的应用，已知Riemann函数的定义为则（    ） A．存在无数个使 B．最大值与最小值之和为 C． D． 65．世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如． (1)若，求的值； (2)已知，求函数的值域． 66．定义：对于定义在区间上的函数和正数，若存在正数，使不等式对任意恒成立，则称函数在区间上满足阶李普希兹条件． (1)判断函数在上是否满足1阶李普希兹条件，并说明理由； (2)证明函数在区间上满足阶李普希兹条件，并求出的取值范围． 67．若函数满足：对于任意是一个三角形的三边长，都有，，也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”. (1)判断，是否为“保三角形函数”，并说明理由； (2)如果是定义在上的周期函数，且值域为，判断是否为“保三角形函数”，并进行证明. 1.（2024·湖南邵阳高一数学竞赛）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．(2023·“枫叶新希望杯”高一数学竞赛)若函数的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 3．（2024·全国第四届章鱼杯联赛）若三次函数满足，则（    ） A．38 B．171 C．460 D．965 4．(2024·“枫叶新希望杯”高二数学竞赛)设集合，，函数，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．(2024·“枫叶新希望杯”高一数学竞赛)已知，则的值为（　　）. A．16 B．18 C．32 D．24 6．（2023·山东师大附中数学竞赛选拨赛）已知二次函数，满足：对任意实数，都有，且当时，有成立，又，则为（ ） A．1 B． C．2 D．0 7．（2024·湖南邵阳高一竞赛）定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 8．(2024·全国第四届英才杯竞赛)当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 9．（2024湖南邵阳高一竞赛初赛）如图，中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是（　　） A． B． C． D． 10．（2024·““枫叶新希望杯”高一联赛）函数满足：，且，则 ． 11．（2024·四川宜宾高中数学联赛初赛）定义域是一个函数的三要素之一.已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 12．（2024·全国高中数学联赛模拟练习）设，函数满足对任意都成立，则的最大值为 ． 13．（2024·南京大学强基计划）满足的非零有理系数多项式的最低次数为 . 14．（2025·北京强基计划）已知，且，求 15.（2025东南大学强基计划）设是定义在上的单调函数，满足，求的值． 16．（2025·北京大学强基计划）求的值域. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$