2.1　等式性质与不等式性质（第一课时）同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.1　等式性质与不等式性质（第一课时）（同步练习） 一、选择题 1.平流层是指地球表面以上10km到50km的区域，下列不等式中，x能表示平流层高度的是(　 ) A.|x＋10|<50 B.|x－10|<50 C.|x＋30|<20 D.|x－30|<20 2.持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线一共40 km，其中靠近灭火前线5 km的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60 km/h，设需摩托车运送的路段平均速度为x km/h，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为(　　) A.>1 B.<1 C.>1 D.<1 3.已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是(　　) A.P>Q B.P≥Q C.P<Q D.P≤Q 4.已知0<a1<1，0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A.M<N B.M>N C.M＝N D.无法确定 5.某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　) A.v≤120 km/h且d≥10 m B.v≤120 km/h或d≥10 m C.v≤120 km/h D.d≥10 m 6.(多选)下面列出的不等式中，正确的是(　　) A.a不是负数，可表示成a≥0 B.x不大于3，可表示成x<3 C.m与4的差是负数，可表示成m－4<0 D.x与2的和是非负数，可表示成x＋2>0 7.(多选)某工艺厂用A，B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A，B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表： 型号 矩形 菱形 圆 总数 A 5 3 10 55 B 12 6 13 125 该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z(x，y，z∈N*)块．上述问题中不等关系表示正确的为(　　) A.5x＋3y＋10z≥55 B.5x＋3y＋10z≤55 C.12x＋6y＋13z≤125 D.12x＋6y＋13z≥125 二、填空题 8.中国“神舟十七号”载人飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9 km/s，且小于第二宇宙速度11.2 km/s，表示为_____________ 9.不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为________ 10.设x，y∈R，则x2＋y2－1________2x－4y－6(填“>”“<”“≥”或“≤”)． 11.若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”) 三、解答题 12.用不等式或不等式组表示下面的不等关系． (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m； (2)a与b的和是非负实数； (3)如图，在一个面积小于350m2的矩形地基中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍． 13.已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． 14.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m，靠墙的一边长为x m． (1)若要求菜园的面积不小于110 m2，试用不等式组表示其中的不等关系； (2)若矩形的长、宽都不能超过11 m，试求x满足的不等关系． 15.已知a>0，b>0，证明：a3＋b3≥ab2＋a2b． 参考答案及解析： 一、选择题 1.D　解析：由题意可知，10<x<50，即|x－30|<20． 2.D　解析：由题意，汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即<1，故选D． 3.A　解析：∵P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a＋b＋c)＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2≥0，且a，b，c为不全相等的实数，∴等号取不到，∴P>Q．故选A． 4.B　解析：∵0<a1<1，0<a2<1，∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0，∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，∴M>N，故选B． 5.A 解析：v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m. 6.AC　解析：a不是负数，可表示成a≥0；x不大于3可表示成x≤3；m与4的差是负数，可表示成m－4<0；x与2的和是非负数，可表示成x＋2≥0． 7.BC　解析：因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板，所以5x＋3y＋10z≤55，因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板，所以12x＋6y＋13z≤125．故选BC． 二、填空题 8.答案：7.9≤v<11.2　 解析：“不小于”即大于或等于，故用不等式表示为7.9≤v<11.2． 9.答案：a＝2　 解析：令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，∴a＝2． 10.答案：≥　 解析：因为x2＋y2－1－(2x－4y－6)＝x2－2x＋y2＋4y＋5＝(x－1)2＋(y＋2)2≥0， 所以x2＋y2－1≥2x－4y－6． 11.答案：> 解析：因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0. 三、解答题 12.解：(1)0<h≤4；(2)a＋b≥0； (3) 13.解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． 由x≤1，得x－1≤0，而3x2＋1＞0， ∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1． 14.解：(1)因为矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0<x≤18，这时菜园的另一边长为(m)，所以菜园的面积S＝x， 依题意有S≥110，即x≥110， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为 (2)因为矩形的另一边长15－≤11，所以x≥8， 又0<x≤18，且x≤11，所以8≤x≤11． 15.证明：a3＋b3－(ab2＋a2b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)． ∵a>0，b>0，且a2＋b2≥2ab，∴a＋b>0，a2＋b2－2ab≥0． ∴a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0，故a3＋b3≥ab2＋a2b． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$