专题7 含有圆的组合图形的面积（计算专项训练）数学青岛版六年级上册

专题7：含有圆的组合图形的面积计算专项 核心公式是基础 圆面积公式：S = πr² 圆周长公式：C = 2πr (常逆用求半径 r = C ÷ (2π)) 常见规则图形面积公式：正方形 (S=a²)、长方形 (S=ab)、三角形 (S=ah) 必须熟练掌握。 三大核心解题思想 1.等量代换（整体-空白）：当阴影部分不规则时，计算一个规则的整体面积，再减去一个或多个规则的空白部分面积。 2.比例关系：当阴影部分是整个圆或扇形的一部分时，可根据比例关系计算阴影部分面积。 3.转化思想（割补法）：通过平移、旋转、对称等方式，将分散的、不规则的阴影部分拼凑、切割成规则的、可计算的图形。 “月牙”、“弯角”、“花瓣”等典型模型 例如：“四个花瓣” 面积=2×圆的面积-正方形的面积。 例如：“直角三角形中的月牙” 面积和=直角三角形面积-以斜边为直径的半圆面积。 积累这些常见模型的结论，可以大幅提高解题速度。 常见易错点: 1.错把直径当半径：这是最常见、最致命的错误。题目给出的数据是“直径d”，计算时务必先除以2得到半径 r 再代入公式。 2.单位不统一：题目中图形各部分的单位可能不同（如厘米和米），计算前必须统一单位。 3.混淆周长和面积公式：尤其是在逆用公式求半径时，容易将周长公式和面积公式混淆。 4.割补过程中的遗漏或重复计算：在使用割补法时，移动或拼接图形后，新图形的尺寸关系分析错误，导致面积计算偏差。 5.想当然地计算：未能准确分析图形的几何关系，凭感觉计算。 题型一：阴影=整体-空白 题型特征：此类题型中，阴影部分通常是不规则图形，而“整体”和“空白”部分都是规则图形（如正方形、圆形、扇形、三角形等），或是由它们简单组合而成的规则区域。通过用整体图形的面积减去非阴影的空白部分面积，即可间接求出阴影面积。 典型例题： 如图，一个边长为4厘米的正方形内部有一个最大的圆 （内切圆）。求正方形中圆以外部分的面积（阴影面积）。 解题思路：识别整体与空白： 整体：边长为4cm的正方形。 空白：正方形内最大的圆（内切圆）。 计算公式：阴影面积= 正方形面积-圆的面积 确定关键数据： 正方形边长=4cm，所以圆的直径=4cm，半径r=2cm。 解题过程： 4²-3.14×（4÷2）² =16-12.56 =3.44 (cm²) 跟踪训练： 求下图中阴影部分的面积。(单位：厘米） （1） （2） （3） （4） 题型二：部分=整体×占比 题型特征：此类题型中，阴影部分通常是整个规则图形（如圆形、扇形）的等分部分，或者其面积与整体面积存在明确的关系，常见的是圆的一半或圆的。 典型例题：如图，一个圆的周长是62.8厘米， 求图中阴影图形的面积。 解题思路： 确定整体：整个圆的面积。 确定占比：阴影扇形是圆的四分之一 逆用圆周长公式求出半径，再计算整体面积。 解题过程： 62.8÷2÷3.14=10（厘米） 3.14×102× =314× =78.5（平方厘米） 跟踪训练： 求下图中阴影部分的面积。(单位：厘米） （1） （2）40cm 20cm 题型三：割补法（平移、旋转、对称） 题型特征：此类题型中的阴影部分分散且不规则，无法直接套用公式。需要通过“割”（将阴影分割成几个规则部分）或“补”（将分散的阴影通过平移、旋转等方式拼接成规则图形）的方法，将其转化为一个或几个规则图形的和或差。 典型例题：求图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 正方形边长为4cm 解题思路：观察图形：四个“花瓣”阴影分散在正方形的四个角上。 使用割补法：将正方形沿对角线分成四个部分。可以发现，两个花瓣阴影可以拼成一个完整的圆减去正方形一半面积所对应的图形，阴影总面积 = [圆的面积×2]-[正方形面积] 解题过程： 4÷2=2(厘米） 2×3.14×2²-4×4 =8×3.14-16 =25.12-16 =9.12 (cm²) 跟踪训练： 求下图中阴影部分的面积。(单位：厘米） （1） （2）20 24 （3） （4）20 4 题型一：阴影=整体-空白 跟踪训练： 求下图中阴影部分的面积。(单位：厘米） （1）3.14×（62-42） =3.14×(36−16) =62.8（平方厘米） （2）3.14×（20÷2）2-2×3.14×（20÷2÷2）2 =3.14×100−2×3.14×25 =314−157 =157（平方厘米） （3）3.14×（20÷2）2-2× ×20×（20÷2） =3.14×100−200 =314−200 =114（平方厘米） （4）（4+8）×4÷2=24（平方厘米） 24-3.14×42÷4=11.44（平方厘米） 题型二：部分=整体×占比 跟踪训练： 求下图中阴影部分的面积。(单位：厘米） （1）20+4=24（厘米） ×3.14×（242-202）=276.32（平方厘米） （2） ×3.14×（402-202） = ×3.14×(1600−400) =×3.14×1200 =942（平方厘米） 题型三：割补法（平移、旋转、对称） 跟踪训练： （1） 20×（20÷2）=200（平方厘米） （2） （24÷2）×（24÷2）=144（平方厘米） （3）（4÷2）2×3.14÷2+（4÷2）×4÷2=10.28（平方厘米） （4）（20÷2）2×3.14-（20×20÷2）=114（平方厘米） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$