专题7 含有圆的组合图形的面积（计算专项训练）数学青岛版六年级上册

专题7：含有圆的组合图形的面积计算专项

核心公式是基础

圆面积公式：S = πr²

圆周长公式：C = 2πr (常逆用求半径 r = C ÷ (2π))

常见规则图形面积公式：正方形 (S=a²)、长方形 (S=ab)、三角形 (S=ah) 必须熟练掌握。

三大核心解题思想

1.等量代换（整体-空白）：当阴影部分不规则时，计算一个规则的整体面积，再减去一个或多个规则的空白部分面积。

2.比例关系：当阴影部分是整个圆或扇形的一部分时，可根据比例关系计算阴影部分面积。

3.转化思想（割补法）：通过平移、旋转、对称等方式，将分散的、不规则的阴影部分拼凑、切割成规则的、可计算的图形。

“月牙”、“弯角”、“花瓣”等典型模型

例如：“四个花瓣” 面积=2×圆的面积-正方形的面积。

例如：“直角三角形中的月牙” 面积和=直角三角形面积-以斜边为直径的半圆面积。

积累这些常见模型的结论，可以大幅提高解题速度。

常见易错点:

1.错把直径当半径：这是最常见、最致命的错误。题目给出的数据是“直径d”，计算时务必先除以2得到半径 r 再代入公式。

2.单位不统一：题目中图形各部分的单位可能不同（如厘米和米），计算前必须统一单位。

3.混淆周长和面积公式：尤其是在逆用公式求半径时，容易将周长公式和面积公式混淆。

4.割补过程中的遗漏或重复计算：在使用割补法时，移动或拼接图形后，新图形的尺寸关系分析错误，导致面积计算偏差。

5.想当然地计算：未能准确分析图形的几何关系，凭感觉计算。

题型一：阴影=整体-空白

题型特征：此类题型中，阴影部分通常是不规则图形，而“整体”和“空白”部分都是规则图形

（如正方形、圆形、扇形、三角形等），或是由它们简单组合而成的规则区域。通过用整体图形的面积减去非阴影的空白部分面积，即可间接求出阴影面积。

典型例题： 如图，一个边长为4厘米的正方形内部有一个最大的圆

（内切圆）。求正方形中圆以外部分的面积（阴影面积）。

解题思路：识别整体与空白：

整体：边长为4cm的正方形。

空白：正方形内最大的圆（内切圆）。

计算公式：阴影面积= 正方形面积-圆的面积

确定关键数据：

正方形边长=4cm，所以圆的直径=4cm，半径r=2cm。

解题过程：

4²-3.14×（4÷2）²

=16-12.56

=3.44 (cm²)

跟踪训练：

求下图中阴影部分的面积。(单位：厘米）

（1）                            （2）

 

 

 

 

 

（3）                           （4）

 

 

 

 

 

题型二：部分=整体×占比

题型特征：此类题型中，阴影部分通常是整个规则图形（如圆形、扇形）的等分部分，或者其面积与整体面积存在明确的关系，常见的是圆的一半或圆的。

典型例题：如图，一个圆的周长是62.8厘米，

求图中阴影图形的面积。

解题思路：

确定整体：整个圆的面积。

确定占比：阴影扇形是圆的四分之一

逆用圆周长公式求出半径，再计算整体面积。

解题过程：

62.8÷2÷3.14=10（厘米）

3.14×102×

=314×

=78.5（平方厘米）

跟踪训练：

求下图中阴影部分的面积。(单位：厘米）

（1）                         （2）

 

 

 

 

 

 

 

 

题型三：割补法（平移、旋转、对称）

题型特征：此类题型中的阴影部分分散且不规则，无法直接套用公式。需要通过“割”（将阴影分割成几个规则部分）或“补”（将分散的阴影通过平移、旋转等方式拼接成规则图形）的方法，