第23章旋转 检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版

第23章旋转检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共8小题） 1．（2025春•石柱县校级期中）下列标识中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•济宁一模）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠C的度数是（　　） A．15° B．30° C．35° D．40° 3．（2024秋•临淄区期末）如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 4．（2025•嘉峪关校级二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝75°，将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，若点A的对应点D恰好在BC的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（　　） A．顺时针，105° B．逆时针，105° C．顺时针，30° D．逆时针，75° 5．（2025•江阴市一模）如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A′B′C，点A、B的对应点分别为点A′、B′，A′B′交AC边于点D．若∠A′DC＝95°，则∠A的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 6．（2025•海南模拟）如图．等边△ABC的顶点A在第一象限，边BC在x轴上，点B（1，0）、C（3，0），将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△EBD，则点E的坐标是（　　） A．（﹣1，1） B． C． D． 7．（2025春•青岛校级月考）如图，在△ABC中，∠CAB＝67°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB'C'的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　） A．67° B．23° C．21° D．46° 8．（2025春•新吴区校级月考）如图，已知正方形ABCD中，AB＝4，点E为BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90°得到FE，连接CF，设AF与CD相交于点G，连接DF．以下说法：①∠EAF＝45°；②点E在BC上运动过程中，始终有∠EFC＝45°；③DF最小值为2；④当DF最小时，四边形ECFA的面积是6，其中一定正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 二．填空题（共8小题） 9．（2024秋•海安市期末）若点（a，﹣9）与（3，b）关于原点对称，则a+b＝ 　 　 ． 10．（2025春•宿城区校级月考）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AEFG的位置，已知∠1＝110°，则旋转角α＝ 　 　 ． 11．（2025•邛崃市二模）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转36°，得到△AMN，且点B的对应点M恰好落在BC上，则∠AMC的度数为 　 　 度． 12．（2025•金凤区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，8），B（2，0），以点B为中心，把线段BA顺时针旋转90°得到线段BC，则点C的坐标为 　 　 ． 13．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，将AC绕点A旋转至AD，连接DC并延长至点E，使得CE＝CD，连接AE，若AB∥DE，∠DAE＝∠ACB，CE＝1，则AB＝　 　 ． 14．（2025春•碑林区校级期末）如图，▱ABCD绕点A按逆时针方向旋转36°，得到▱AB'C'D'，点B'恰好落在BC边上，B'C'和CD相交于点E，则∠B'EC的度数是　 　 ． 15．（2024秋•徐汇区校级期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AD⊥BC，AD＝2，BD＝3，CD＝4，将△ABC绕着点D旋转，使得点A的对应点A′落在边BC上，点B、C的对应点分别是点B′、C′，则△A′B′C的面积等于 　 　 ． 16．（2025春•海陵区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC，点E是BC的中点，BC＝12，AE＝8，将BE绕点E顺时针旋转得到B'E，过点E作∠BEB'的角平分线，角平分线交平行四边形ABCD的边AB于点P，在旋转过程中，当点B'落在AC边上时，则AP＝　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2025春•秦淮区校级期中）如图，△ABC的三个顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格的格点上，点O为△ABC外一点． （1）将△ABC先向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，作出平移后的图形； （2）将△ABC绕点O顺时针旋转180°得到△A2B2C2，作出旋转后的图形； （3）△A2B2C2可以看作是△A1B1C1经过什么变换得到的？ 18．（2025春•长安区校级月考）如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）画出△ABC关于原点O中心对称的图形△A1B1C1． （2）若△DEF是由△ABC绕着某点顺时针旋转90°得到的，则该点的坐标为 　 　 ． 19．（2025•武威一模）如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰好落在AD边上，BH⊥CE交于点H， （1）求证：AB＝BH； （2）连接BG交CH于O，已知AB＝5，BC＝13，求BG的长． 20．（2025春•二道区校级月考）如图所示，直线l1∥l2，直角△ABC的直角顶点A在直线l1上，边BC在直线l2上，∠ABC的平分线与∠ACE的角平分线交于点D，已知∠ACE＝140°． （1）如图1，∠D＝ 　 　 ； （2）如图2，已知AC与BD相交于点F，∠CAN的平分线交BD于点P，请判断∠APB与∠D数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，将△APF绕点A按顺时针旋转得到△AP1F1，AF1与AF之间的夹角为△APF的旋转角，当△APF在两条平行线间旋转时，是否存在某条边所在的直线与直线l2垂直，若存在，请直接写出此时△APF旋转的角度；若不存在，请说明理由． 21．（2025春•青岛校级月考）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）经过平移，△ABC的顶点平移到点B（﹣2，5）处，画出平移后得到的△A1B1C1； （2）点P（a，b）在△ABC的边AB上，点P在△A1B1C1的边A1B1上的对应点P1的坐标为 　 　 ；线段PP1的长为 　 　 ． （3）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2． 22．（2025春•信丰县期末）探索新知： 如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”． （1）一个角的平分线　 　 这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若∠MPN＝α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝　 　 ；（用含α的代数式表示出所有可能的结果） 深入研究： 如图2，若∠MPN＝60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒． （3）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”； （4）若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值． 第23章旋转检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B A C D D B 一．选择题（共8小题） 1．（2025春•石柱县校级期中）下列标识中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， 故选：B． 2．（2025•济宁一模）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠C的度数是（　　） A．15° B．30° C．35° D．40° 【解答】解：∵△ODC是△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形， ∴∠AOD＝30°，AO＝DO， ∵∠AOC＝100°， ∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝100°﹣30°＝70°，∠A＝∠ADO（180°﹣∠AOD）（180°﹣30°）＝75°， ∴∠ODC＝∠A＝75°， ∴∠C＝180°﹣∠COD﹣∠ODC＝180°﹣70°﹣75°＝35°， 故选：C． 3．（2024秋•临淄区期末）如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【解答】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点B为旋转中心． 故选：B． 4．（2025•嘉峪关校级二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝75°，将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，若点A的对应点D恰好在BC的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（　　） A．顺时针，105° B．逆时针，105° C．顺时针，30° D．逆时针，75° 【解答】解：∵将△ABC绕点C旋转，得到△DEC， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣75°＝105°， ∴当旋转方向为顺时针时，旋转角度为105°； 当旋转方向为逆时针时，旋转角度为360°﹣105°＝255°． 故选：A． 5．（2025•江阴市一模）如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A′B′C，点A、B的对应点分别为点A′、B′，A′B′交AC边于点D．若∠A′DC＝95°，则∠A的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【解答】解：∵△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A′B′C， ∴∠A＝∠A'，∠A'CA＝35°， ∴∠A'＝180°﹣∠A′DC﹣∠A'CD＝180°﹣95°﹣35°＝50°， ∴∠A＝50°． 故选：C． 6．（2025•海南模拟）如图．等边△ABC的顶点A在第一象限，边BC在x轴上，点B（1，0）、C（3，0），将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△EBD，则点E的坐标是（　　） A．（﹣1，1） B． C． D． 【解答】解：过点E作EM⊥x轴于点M，如下图： ∵点B坐标为（1，0）、点C坐标为（3，0）， ∴OB＝1，OC＝3， ∴BC＝3﹣1＝2． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝2． ∵将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△EBD， ∴∠ABE＝90°，BE＝AB＝2，∠ABC＝60°， ∴∠EBM＝180°﹣∠ABE﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣90°＝30°， ∴， ∴， ∴． ∵E在第二象限， ∴E点坐标为（1，1）， 故选：D． 7．（2025春•青岛校级月考）如图，在△ABC中，∠CAB＝67°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB'C'的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　） A．67° B．23° C．21° D．46° 【解答】解：∵∠CAB＝67°，CC′∥AB， ∴∠ACC′＝∠CAB＝67°， 根据题意知，△ABC≌△AB′C′， ∴AC＝AC′， ∴∠AC′C＝∠ACC′＝67°， ∴∠CAC′＝46°， ∴旋转角的度数为46°， 故选：D． 8．（2025春•新吴区校级月考）如图，已知正方形ABCD中，AB＝4，点E为BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90°得到FE，连接CF，设AF与CD相交于点G，连接DF．以下说法：①∠EAF＝45°；②点E在BC上运动过程中，始终有∠EFC＝45°；③DF最小值为2；④当DF最小时，四边形ECFA的面积是6，其中一定正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 【解答】解：∵将AE绕点E顺时针旋转90°得到FE， ∴FE＝AE，∠AEF＝90°， ∴∠EAF＝∠EFA＝45°， 故①正确； 作FH⊥BC交BC的延长线于点H， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝4， ∴CD＝BC＝AB＝4，∠H＝∠B＝∠BCD＝90°， ∵∠HEF+∠AEB＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠HEF＝∠BAE， 在△HEF和△BAE中， ， ∴△HEF≌△BAE（AAS）， ∴HF＝BE，EH＝AB＝BC， ∴EH﹣CE＝BC﹣CE， ∴CH＝BE， ∴HF＝CH， ∴∠HCF＝∠HFC＝45°， 如图1，∵∠HCF＞∠EFC， ∴∠EFC＜45°， 故②错误； ∵∠DCH＝90°， ∴∠FCD＝180°﹣∠HCF＝45°， ∵点E为BC边上的动点， ∴点F在射线CF上运动， ∴当DF⊥CF时，DF的值最小， 如图2，DF⊥CF，则∠CFD＝90°， ∴∠FDC＝∠FCD＝45°， ∴CF＝DF， ∵CDDF＝4， ∴DF＝2， ∴DF的最小值为2， 故③正确； ∵CF＝DF＝2，且HF＝CH，∠H＝90°， ∴CFCH＝2， ∴HF＝CH＝BE＝2， ∴CE＝BC﹣BE＝4﹣2＝2，AE2＝AB2+BE2＝42+22＝20， ∴S△CEFCD•HF2×2＝2，S△AEFFE•AEAE220＝10， ∴S四边形EDFA＝S△CEF+S△AEF＝2+10＝12≠6， 故④错误， 故选：B． 二．填空题（共8小题） 9．（2024秋•海安市期末）若点（a，﹣9）与（3，b）关于原点对称，则a+b＝ 　6　 ． 【解答】解：根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数， ∴a+3＝0，﹣9+b＝0， 即：a＝﹣3且b＝9， ∴a+b＝﹣3+9＝6． 故答案为：6 10．（2025春•宿城区校级月考）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AEFG的位置，已知∠1＝110°，则旋转角α＝ 　20°　 ． 【解答】解：∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AEFG的位置， ∴∠ADC＝∠G＝90°，∠DAG＝α， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BAG＝180°﹣∠2， ∵∠2＝∠1＝110°， ∴∠BAG＝180°﹣110°＝70°， ∴∠DAG＝90°﹣70°＝20°， 即α＝20°． 故答案为：20°． 11．（2025•邛崃市二模）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转36°，得到△AMN，且点B的对应点M恰好落在BC上，则∠AMC的度数为 　108　 度． 【解答】解：由旋转得∠BAM＝36°，AM＝AB， ∴， ∴∠AMC＝180°﹣∠AMB＝108°， 故答案为：108． 12．（2025•金凤区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，8），B（2，0），以点B为中心，把线段BA顺时针旋转90°得到线段BC，则点C的坐标为 　（10，2）　 ． 【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D， ∵A（0，8），B（2，0）， ∴OA＝8，OB＝2， 由旋转的性质可知，BC＝AB，∠ABC＝90°， ∴∠ABO+∠CBD＝90°， ∵CD⊥x轴， ∴∠C+∠CBD＝90°， ∴∠ABO＝∠C， 在△BCD和△ABO中， ， ∴△BCD≌△ABO（AAS）， ∴BD＝OA＝8，CD＝OB＝2， ∴OD＝OB+BD＝10， 则点C的坐标为（10，2）， 故答案为：（10，2）． 13．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，将AC绕点A旋转至AD，连接DC并延长至点E，使得CE＝CD，连接AE，若AB∥DE，∠DAE＝∠ACB，CE＝1，则AB＝　2　 ． 【解答】解：∵将AC绕点A旋转至AD， ∴AC＝AD， ∴∠D＝∠ACD， 又∵AB∥DE， ∴∠BAC＝∠ACD＝∠D， 在△ABC与△DEA中， ， ∴△ABC≌△DEA（ASA）， ∴AB＝DE＝CD+CE＝2， 故答案为：2． 14．（2025春•碑林区校级期末）如图，▱ABCD绕点A按逆时针方向旋转36°，得到▱AB'C'D'，点B'恰好落在BC边上，B'C'和CD相交于点E，则∠B'EC的度数是　36°　 ． 【解答】解：∵▱ABCD绕点A按逆时针方向旋转36°得到▱AB'C'D'， ∴∠BAB'＝36°，∠AB'C'＝∠B，AB＝AB'， ∴∠B＝∠AB'B＝72°， ∴∠AB'C'＝72°， ∴∠EB'C＝180°﹣∠AB'B﹣∠AB'E＝36°． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠C＝180°﹣∠B＝108°， ∴∠B'EC＝180°﹣∠C﹣∠EB'C＝36°． 故答案为：36°． 15．（2024秋•徐汇区校级期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AD⊥BC，AD＝2，BD＝3，CD＝4，将△ABC绕着点D旋转，使得点A的对应点A′落在边BC上，点B、C的对应点分别是点B′、C′，则△A′B′C的面积等于 　3或9　 ． 【解答】解：∵点D在边BC上，AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 如图1，点A′落在线段CD上， 由旋转得∠A′DB′＝∠ADB＝∠B′DC＝90°，B′D＝BD＝3， ∴B′D⊥A′C， ∵CD＝4，A′D＝AD＝2， ∴A′C＝CD﹣A′D＝4﹣2＝2， ∴S△A′B′CA′C•B′D2×3＝3； 如图2，点A′落在线段BD上， 由旋转得∠A′DB′＝∠ADB＝90°，B′D＝BD＝3，A′D＝AD＝2， ∴B′D⊥A′C， ∵A′C＝CD+A′D＝4+2＝6， ∴S△A′B′CA′C•B′D6×3＝9， 综上所述，△A′B′C的面积等于3或9， 故答案为：3或9． 16．（2025春•海陵区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC，点E是BC的中点，BC＝12，AE＝8，将BE绕点E顺时针旋转得到B'E，过点E作∠BEB'的角平分线，角平分线交平行四边形ABCD的边AB于点P，在旋转过程中，当点B'落在AC边上时，则AP＝　5　 ． 【解答】解：连接AE， ∵AB＝AC，点E是BC的中点，BC＝12，AE＝8， ∴AE⊥BC，BE＝CEBC＝6， ∴∠AEB＝90°， ∴AB10， 如图1，点B′在AC边上，且点B′不与点C重合， 由旋转得B′E＝BE＝CE， ∴∠EB′B﹣∠EBB′，∠EB′C＝∠ECB′， ∴∠BB′C＝∠EB′B+∠EB′C＝∠EBB′+∠ECB′， ∵∠BB′C+∠EBB′+∠ECB′＝2∠BB′C＝180°， ∴∠AB′B＝∠BB′C＝90°， ∵B′E＝BE，EP平分∠BEB'， ∴EP垂直平分BB′， ∴B′P＝BP， ∴∠PB′B＝∠PBB′， ∵∠PB′A+∠PB′B＝90°，∠PAB′+∠PBB′＝90°， ∴∠PB′A＝∠PAB′， ∴AP＝B′P＝BPAB＝5； 如图2，点B′在AC边上，且点B′与点C重合， ∵∠AEB＝∠AEC180°＝90°， ∴PE垂直平分BC， ∴PE与AE重合，此时点P与点A重合， ∴线段AP不存在， 故答案为：5． 三．解答题（共6小题） 17．（2025春•秦淮区校级期中）如图，△ABC的三个顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格的格点上，点O为△ABC外一点． （1）将△ABC先向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，作出平移后的图形； （2）将△ABC绕点O顺时针旋转180°得到△A2B2C2，作出旋转后的图形； （3）△A2B2C2可以看作是△A1B1C1经过什么变换得到的？ 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求． （2）如图所示，△A2B2C2即为所求， （3）如图所示，连结A1A2，B1B2，C1C2交于一点D， ∴△A2B2C2可以看作是△A1B1C1绕点D顺时针旋转180°得到． 18．（2025春•长安区校级月考）如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）画出△ABC关于原点O中心对称的图形△A1B1C1． （2）若△DEF是由△ABC绕着某点顺时针旋转90°得到的，则该点的坐标为 　（0，1）　 ． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△DEF是由△ABC绕着点M顺时针旋转90°得到的，则点M的坐标为（0，1）． 故答案为：（0，1）． 19．（2025•武威一模）如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰好落在AD边上，BH⊥CE交于点H， （1）求证：AB＝BH； （2）连接BG交CH于O，已知AB＝5，BC＝13，求BG的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AB＝CD， ∴∠DEC＝∠BCH， ∵∠D＝90°，BH⊥AC， ∴∠D＝∠BHC， 由旋转得，CE＝CB， 在△EDC和△CHB中， ， ∴△EDC≌△CHB（AAS）， ∴BH＝CD＝AB． （2）∵在△HBO和△CGO中，， ∴△HBO≌△CGO（AAS）， ∴OH＝OC，OB＝OG， 在Rt△BCH中，BH＝5，BC＝13， 由勾股定理得：CH12， ∴OH6， 在Rt△OHB中，由勾股定理得： OB， ∴BG＝2OB＝2． 20．（2025春•二道区校级月考）如图所示，直线l1∥l2，直角△ABC的直角顶点A在直线l1上，边BC在直线l2上，∠ABC的平分线与∠ACE的角平分线交于点D，已知∠ACE＝140°． （1）如图1，∠D＝ 　45°　 ； （2）如图2，已知AC与BD相交于点F，∠CAN的平分线交BD于点P，请判断∠APB与∠D数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，将△APF绕点A按顺时针旋转得到△AP1F1，AF1与AF之间的夹角为△APF的旋转角，当△APF在两条平行线间旋转时，是否存在某条边所在的直线与直线l2垂直，若存在，请直接写出此时△APF旋转的角度；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵CD平分∠ACE，∠ACE＝140°， ∴，∠ACB＝180°﹣∠ACE＝40°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝110°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝50°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴， ∴∠D＝180°﹣∠CBD﹣∠BCD＝45°， 故答案为：45°； （2）∠APB＝∠D，理由如下： 如图，过点P作PL∥l1， ∵l1//l2， ∴PL∥l1∥l2， ∴∠PAN＝∠APL，∠BPL＝∠CBD，∠CAN＝∠ACB， ∵AP是∠CAN的平分线，BD是∠ABC的平分线， ∴，∠BPL＝∠CBD∠ABC＝25°， ∴∠APB＝∠APL+∠BPL＝45°， 由（1）得∠D＝45°， ∴∠APB＝∠D； （3）存在，△APF旋转的角度为50°或70°或115°． 由（2）得， 由旋转的性质得∠P1AF1＝∠PAF＝20°，∠F1AF＝∠P1AP，∠AF1P1＝∠AFP＝180°﹣∠PAF﹣∠APB＝115°， ①如图，当AF1⊥l2时，此时AF1⊥l1， ∴∠F1AN＝90°， ∴∠FAF1＝∠F1AN﹣∠CAN＝90°﹣40°＝50°； ②如图，当P1F1⊥l2时，延长F1G交l1于点G，则∠AGF1＝90°， ∵∠AF1P1＝115°， ∴∠AF1G＝180°﹣115°＝65°， ∴∠GAF1＝90°﹣∠AF1G＝90°﹣65°＝25°， ∴∠FAF1＝180°﹣∠GAF1﹣∠FAN＝180°﹣25°﹣40°＝115°； ③如图，当AP1⊥l2时，此时AP1⊥l1， ∴∠P1AN＝90°， ∴∠F1AF＝∠P1AP＝∠P1AN﹣∠PAN＝70°； 综上所述，△APF旋转的角度为50°或70°或115°． 21．（2025春•青岛校级月考）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）经过平移，△ABC的顶点平移到点B（﹣2，5）处，画出平移后得到的△A1B1C1； （2）点P（a，b）在△ABC的边AB上，点P在△A1B1C1的边A1B1上的对应点P1的坐标为 　（a﹣6，b+1）　 ；线段PP1的长为 　　 ． （3）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）由题意得，点P1的坐标为（a﹣6，b+1）． 线段PP1的长为． 故答案为：（a﹣6，b+1）；． （3）如图，△AB2C2即为所求． 22．（2025春•信丰县期末）探索新知： 如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”． （1）一个角的平分线　是　 这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若∠MPN＝α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝　α或α或α　 ；（用含α的代数式表示出所有可能的结果） 深入研究： 如图2，若∠MPN＝60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒． （3）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”； （4）若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值． 【解答】解：（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） 故答案为：是 （2）∵∠MPN＝α， ∴∠MPQα或α或α； 故答案为α或α或α； 深入研究： （3）依题意有 ①10t＝6060， 解得t＝9； ②10t＝2×60， 解得t＝12； ③10t＝60+2×60， 解得t＝18． 故当t为9或12或18时，射线PM是∠QPN的“巧分线”； （4）依题意有 ①10t（5t+60）， 解得t＝2.4； ②10t（5t+60）， 解得t＝4； ③10t（5t+60）， 解得t＝6． 故当t为2.4或4或6时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$