第21章一元二次方程检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版

第21章一元二次方程检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共8小题） 1．（2025•汇川区四模）已知x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则x1x2的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3 2．（2025•西丰县校级二模）下列条件中，一定能使方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根的是（　　） A．ac＜0 B．ab＜0 C．bc＜0 D．c＝0 3．（2025•东莞市模拟）若m是一元二次方程x2+2x﹣2025＝0的一个根，则m2+2m的值是（　　） A．2024 B．﹣2025 C．2025 D．4050 4．（2025•海淀区校级模拟）若关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围为（　　） A．m≥9 B．m≤9 C．m＜9 D．m≤﹣9 5．（2025春•兰溪市期末）一元二次方程9x2＝5﹣4x化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．9，5，﹣4 B．9，4，﹣5 C．9，﹣5，4 D．9，﹣4，5 6．（2025春•鄞州区期末）宁波市积极推进绿色出行，某品牌共享电动车2023年注册用户为50万户，2025年预计增长至80万户．设这两年用户数的年平均增长率为x，可列方程为（　　） A．50（1+x）＝80 B．50（1+x）2＝80 C．80（1﹣x）2＝50 D．50（1+x）+50（1+x）2＝80 7．（2025春•六安期末）实数a、b（a≠b）满足a2﹣5a﹣1＝0，b2﹣5b﹣1＝0，则（　　） A．a+b＝5，a2+6b＞0 B．a+b＝5，a2+6b＜0 C．a+b＝﹣5，a2+6b＞0 D．a+b＝﹣5，a2+6b＜0 8．（2025•鲤城区校级模拟）某款发卡在电商平台上5月24日的销量为5000个，5月25日和5月26日的总销量是30000个．若5月25日和26日较前一天的增长率均为x．则可列方程正确的是（　　） A．5000（1+x）2＝30000 B．5000（1﹣x）2＝30000 C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000 D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000 二．填空题（共8小题） 9．（2025春•杭州期末）已知两个连续正奇数的积是143，设其中较小的正奇数是x，可列方程　 　 ． 10．（2025春•雁塔区校级期末）已知关于x的方程x2﹣4x+a＝0的一个根是1，则a的值是　 　 ． 11．（2025春•罗湖区校级期末）方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为 　 　 ． 12．（2025•大庆模拟）若一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为m，n，则的值为　 　 ． 13．（2025•江油市模拟）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是　 　 ． 14．（2025春•金山区校级月考）某区现有绿化面积1000公顷，在环境大整治活动中计划两年内绿化面积增加到1210公顷，如果平均每年增加的百分率都为x，根据题意列出的方程是　 　 ． 15．（2025春•高青县期末）在2024年12月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为513，则这个最小数为　 　 ． 16．（2025春•高青县期末）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程（x﹣1）（x﹣6）＝﹣6的根，则该三角形的周长为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．（2025春•肥东县校级期末）解方程： （1）2x2﹣5x﹣3＝0； （2）3x（x﹣1）＝2﹣2x． 18．（2025春•青阳县期末）已知关于x的一元二次方程（x+3）（x+2）＝m2． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是﹣1，求m的值及方程的另一个根． 19．（2025•双塔区校级二模）某种工业原料今年第一季度价格下降20%，价格下降后买50吨这种原料比原来便宜125万元． （1）求该种工业原料下降后的价格； （2）从第二季度开始，该种工业原料的价格开始回升，经过两个季度，该种工业原料的价格上升到每吨14.4万元，求第二和第三季度该种工业原料价格的平均增长率． 20．（2025春•潜山市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+2）x+2m﹣1＝0． （1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝a，求a的值． 21．（2025春•新昌县期末）某农户的西瓜，除了销售到县城，消费者还可以直接去农田采摘．该农户在西瓜刚上市第一天共计销售了600千克，其中在县城销售了200千克，单价为8元/千克，剩余部分在农田采摘销售，单价为6元/千克． （1）求该农户这一天销售西瓜的总收入． （2）为扩大销售，该农户准备在县城适当降价，据测算，在县城销售的西瓜单价每降价1元，平均每天可多售出60千克．已知在农田采摘的单价和销售量保持不变，若要使该农户一天的销售总收入为4300元，则在县城销售的单价应降价多少元？ 22．（2025春•太湖县期末）关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根． （2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的两个根，记Sx1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由． 23．（2025春•法库县期末）材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n），例如： ①x2+3x+2＝（x+1）（x+2）； ②x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2）； 材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2， 再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2﹣x﹣2分解因式； （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：（x﹣y）2+5（x﹣y）+4； ②分解因式：（m+n）（m+n﹣6）+5． 24．（2025春•庐阳区校级期末）某企业为响应国家教育扶贫的号召，决定对某乡镇全体贫困初、高中学生进行资助，初中学生每人每月资助200元，高中学生每人每月资助300元．已知该乡受资助的初中学生人数是受资助的高中学生人数的2倍，且该企业在2023年每月资助学生共支出17500元． （1）问该乡镇分别有多少名初中学生和高中学生获得了资助？ （2）2023年受资助的初、高中学生中，分别有30%和40%的学生被评为优秀学生，从而获得了该乡镇政府的公开表扬（资助金额未变化）．同时，为了激发更多受资助学生，决定对2024年被评为优秀学生的初中学生每人每月增加a%的资助，对被评为优秀学生的高中学生每人每月增加2a%的资助．在此奖励政策的鼓励下，2024年被评为优秀学生的初、高中学生分别比2023年的人数增加了3a%、a%．这样，2024年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元． ①2024年优秀初中学生每人每月的资助金额为　 　 元，优秀高中学生每人每月的资助金额为　 　 元；（用含a的代数式表示，不用化简） ②求a的值． 第21章一元二次方程检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C B B B A D 一．选择题（共8小题） 1．（2025•汇川区四模）已知x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则x1x2的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根， ∴x1x2＝1． 故选：B． 2．（2025•西丰县校级二模）下列条件中，一定能使方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根的是（　　） A．ac＜0 B．ab＜0 C．bc＜0 D．c＝0 【解答】解：∵方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac， ∵b2≥0， ∴ac＜0时，不等式一定成立，此方程一定有两个不相等的实数根， 故选：A． 3．（2025•东莞市模拟）若m是一元二次方程x2+2x﹣2025＝0的一个根，则m2+2m的值是（　　） A．2024 B．﹣2025 C．2025 D．4050 【解答】解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣2025＝0的一个根， ∴m2+2m﹣2025＝0， ∴m2+2m＝2025． 故选：C． 4．（2025•海淀区校级模拟）若关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围为（　　） A．m≥9 B．m≤9 C．m＜9 D．m≤﹣9 【解答】解：根据题意，得Δ＝62﹣4×1×m≥0， 解得m≤9， 故选：B． 5．（2025春•兰溪市期末）一元二次方程9x2＝5﹣4x化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．9，5，﹣4 B．9，4，﹣5 C．9，﹣5，4 D．9，﹣4，5 【解答】解：由9x2＝5﹣4x得9x2+4x﹣5＝0， 所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是9，4，﹣5， 故选：B． 6．（2025春•鄞州区期末）宁波市积极推进绿色出行，某品牌共享电动车2023年注册用户为50万户，2025年预计增长至80万户．设这两年用户数的年平均增长率为x，可列方程为（　　） A．50（1+x）＝80 B．50（1+x）2＝80 C．80（1﹣x）2＝50 D．50（1+x）+50（1+x）2＝80 【解答】解：依题意，得：50（1+x）2＝80． 故选：B． 7．（2025春•六安期末）实数a、b（a≠b）满足a2﹣5a﹣1＝0，b2﹣5b﹣1＝0，则（　　） A．a+b＝5，a2+6b＞0 B．a+b＝5，a2+6b＜0 C．a+b＝﹣5，a2+6b＞0 D．a+b＝﹣5，a2+6b＜0 【解答】解：∵实数a、b（a≠b）满足a2﹣5a﹣1＝0，b2﹣5b﹣1＝0， ∴实数a、b（a≠b）可以看作是关于x的方程x2﹣5x﹣1＝0的两个不同的实数根， ∴a+b＝5，故选项C、D都不符合题意； ∴a＝5﹣b， ∴a2+6b， ＝（5﹣b）2+6b ＝b2﹣10b+25+6b ＝b2﹣4b+25 ＝（b﹣2）2+21＞0，故选项A符合题意，选项B不符合题意； 故选：A． 8．（2025•鲤城区校级模拟）某款发卡在电商平台上5月24日的销量为5000个，5月25日和5月26日的总销量是30000个．若5月25日和26日较前一天的增长率均为x．则可列方程正确的是（　　） A．5000（1+x）2＝30000 B．5000（1﹣x）2＝30000 C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000 D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000 【解答】解：∵5月25日和26日较前一天的增长率均为x． ∵5000（1+x）+6000（1+x）2＝30000． 故选：D． 二．填空题（共8小题） 9．（2025春•杭州期末）已知两个连续正奇数的积是143，设其中较小的正奇数是x，可列方程x（x+2）＝143　 ． 【解答】解：设其中较小的奇数为x，则较大的奇数为（x+2）， 依题意得：x（x+2）＝143， 故答案为：x（x+2）＝143． 10．（2025春•雁塔区校级期末）已知关于x的方程x2﹣4x+a＝0的一个根是1，则a的值是　3　 ． 【解答】解：∵方程x2﹣4x+a＝0的一个根是1， ∴1﹣4+a＝0， ∴a＝3． 故答案为：3． 11．（2025春•罗湖区校级期末）方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为 　3　 ． 【解答】解：由条件可知， 故答案为：3． 12．（2025•大庆模拟）若一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根为m，n，则的值为　3　 ． 【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根， ∴m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0， ∴m2﹣1＝2m，n2﹣2n＝1， ∴原式（n2﹣2n）1＝2+1＝3． 故答案为：3． 13．（2025•江油市模拟）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是　2　 ． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：m＞0且m≠1， ∴m的最小整数值是2． 故答案为：2． 14．（2025春•金山区校级月考）某区现有绿化面积1000公顷，在环境大整治活动中计划两年内绿化面积增加到1210公顷，如果平均每年增加的百分率都为x，根据题意列出的方程是　1000（1+x）2＝1210　 ． 【解答】解；由题意可得， 1000（1+x）2＝1210， 故答案为：1000（1+x）2＝1210． 15．（2025春•高青县期末）在2024年12月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为513，则这个最小数为　19　 ． 【解答】解：设这个最小数为x，则另外三个数分别为x+1，x+7，x+8， 根据题意得：x（x+8）＝513， 整理得：x2+8x﹣513＝0， 解得：x1＝19，x2＝﹣27（不符合题意，舍去）， ∴这个最小数为19． 故答案为：19． 16．（2025春•高青县期末）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程（x﹣1）（x﹣6）＝﹣6的根，则该三角形的周长为　11　 ． 【解答】解：由题意得，x2﹣7x+12＝0， （x﹣3）（x﹣4）＝0， x﹣3＝0或x﹣4＝0， 解得：x1＝3，x2＝4， 当x＝3时，2+3＝5，不能构成三角形， 当x＝4时，三角形的周长为2+4+5＝11， 故答案为：11． 三．解答题（共8小题） 17．（2025春•肥东县校级期末）解方程： （1）2x2﹣5x﹣3＝0； （2）3x（x﹣1）＝2﹣2x． 【解答】解：（1）2x2﹣5x﹣3＝0； （2x+1）（x﹣3）＝0， ∴2x+1＝0或x﹣3＝0， ∴x1，x2＝3． （2）3x（x﹣1）＝2﹣2x， 3x（x﹣1）＝﹣2（x﹣1）， 3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0， （3x+2）（x﹣1）＝0， ∴3x+2＝0或x﹣1＝0， ∴x1，x2＝1． 18．（2025春•青阳县期末）已知关于x的一元二次方程（x+3）（x+2）＝m2． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是﹣1，求m的值及方程的另一个根． 【解答】（1）证明：原方程可变形为x2+5x+6﹣m2＝0， ∴Δ＝52﹣4×（6﹣m2）＝1+4m2≥1， ∵m2≥0，4m2≥0， ∴Δ＝1+4m2≥1， ∴方程总有两个不等的实数根； （2）解：∵方程的一个根是﹣1， ∴m2＝2， 解得， ∴原方程为：x2+5x+4＝（x+1）（x+4）＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝﹣4． 即m的值为，方程的另一个根是﹣4． 19．（2025•双塔区校级二模）某种工业原料今年第一季度价格下降20%，价格下降后买50吨这种原料比原来便宜125万元． （1）求该种工业原料下降后的价格； （2）从第二季度开始，该种工业原料的价格开始回升，经过两个季度，该种工业原料的价格上升到每吨14.4万元，求第二和第三季度该种工业原料价格的平均增长率． 【解答】解：（1）设该种工业原料原来的价格为x万元/吨，则下降后的价格为（1﹣20%）x万元/吨， 依题意得：50x﹣50（1﹣20%）x＝125， 解得：x＝12.5， ∴（1﹣20%）x＝0.8×12.5＝10， 答：该种该种工业原料下降后的价格为10万元/吨； （2）设第二和第三季度该种工业原料价格的平均增长率为y， 依题意得：10（1+y）2＝14.4， 解得：y1＝0.2＝20%，y2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：第二和第三季度该种工业原料价格的平均增长率为20%． 20．（2025春•潜山市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+2）x+2m﹣1＝0． （1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝a，求a的值． 【解答】（1）证明：关于x的一元二次方程x2+（2m+2）x+2m﹣1＝0， ∵Δ＝（2m+2）2﹣4×1×（2m﹣1） ＝4m2+8m+4﹣8m+4 ＝4m2+8＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得x1+x2＝﹣2m﹣2，x1x2＝2m﹣1， ∵（x1+1）（x2+1）＝a， ∴x1x2+（x1+x2）+1＝a， ∴2m﹣1+（﹣2m﹣2）+1＝a， 解得：a＝﹣2． 21．（2025春•新昌县期末）某农户的西瓜，除了销售到县城，消费者还可以直接去农田采摘．该农户在西瓜刚上市第一天共计销售了600千克，其中在县城销售了200千克，单价为8元/千克，剩余部分在农田采摘销售，单价为6元/千克． （1）求该农户这一天销售西瓜的总收入． （2）为扩大销售，该农户准备在县城适当降价，据测算，在县城销售的西瓜单价每降价1元，平均每天可多售出60千克．已知在农田采摘的单价和销售量保持不变，若要使该农户一天的销售总收入为4300元，则在县城销售的单价应降价多少元？ 【解答】解：（1）根据题意得：8×200+6×（600﹣200） ＝8×200+6×400 ＝1600+2400 ＝4000（元）． 答：该农户这一天销售西瓜的总收入为4000元； （2）设在县城销售的单价降价x元，则销售量为（200+60x）千克， 根据题意得：（8﹣x）（200+60x）+6×（600﹣200）＝4300， 整理得：3x2﹣14x+15＝0， 解得：x1＝3或x2， 又∵要扩大销售， ∴x＝3． 答：在县城销售的单价应降价3元． 22．（2025春•太湖县期末）关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根． （2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的两个根，记Sx1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由． 【解答】（1）证明：当k＝1时，方程为2x+2＝0，此时解为x＝﹣1； 当k≠1时，关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0， ∵Δ＝4k2﹣8（k﹣1）＝4k2﹣8k+8＝4（k﹣1）2+4＞0， ∴此时方程有实数根， 综上所示，无论k为何值，方程总有实数根； （2）解：∵x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的两个根， ∴x1+x2，x1x2， 代入S＝2得：x1+x2x1+x2x1+x222， 整理得：4，即2k2﹣2k＝4（k﹣1）， 化简得：k2﹣3k+2＝0，即（k﹣1）（k﹣2）＝0， 解得：k＝1或k＝2， 当k＝1时，方程不是一元二次方程； 则k＝2． 23．（2025春•法库县期末）材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n），例如： ①x2+3x+2＝（x+1）（x+2）； ②x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2）； 材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2， 再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2﹣x﹣2分解因式； （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：（x﹣y）2+5（x﹣y）+4； ②分解因式：（m+n）（m+n﹣6）+5． 【解答】解：（1）x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1）； （2）①（x﹣y）2+5（x﹣y）+4 ＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣1）； ②（m+n）（m+n﹣6）+5 ＝（m+n）2﹣6（m+n）+5 ＝（m+n﹣1）（m+n﹣5）． 24．（2025春•庐阳区校级期末）某企业为响应国家教育扶贫的号召，决定对某乡镇全体贫困初、高中学生进行资助，初中学生每人每月资助200元，高中学生每人每月资助300元．已知该乡受资助的初中学生人数是受资助的高中学生人数的2倍，且该企业在2023年每月资助学生共支出17500元． （1）问该乡镇分别有多少名初中学生和高中学生获得了资助？ （2）2023年受资助的初、高中学生中，分别有30%和40%的学生被评为优秀学生，从而获得了该乡镇政府的公开表扬（资助金额未变化）．同时，为了激发更多受资助学生，决定对2024年被评为优秀学生的初中学生每人每月增加a%的资助，对被评为优秀学生的高中学生每人每月增加2a%的资助．在此奖励政策的鼓励下，2024年被评为优秀学生的初、高中学生分别比2023年的人数增加了3a%、a%．这样，2024年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元． ①2024年优秀初中学生每人每月的资助金额为　200（1+a%）　 元，优秀高中学生每人每月的资助金额为　300（1+2a%）　 元；（用含a的代数式表示，不用化简） ②求a的值． 【解答】解：（1）设该乡镇有x名初中学生，y名高中学生获得了资助， 根据题意得：， 解得：． 答：该乡镇有50名初中学生，25名高中学生获得了资助； （2）①根据题意得：2024年优秀初中学生每人每月的资助金额为200（1+a%）元，优秀高中学生每人每月的资助金额为300（1+2a%）元． 故答案为：200（1+a%），300（1+2a%）； ②根据题意得：200（1+a%）×50×30%（1+3a%）+300（1+2a%）×25×40%（1+a%）＝10800， 整理得：a2+140a﹣3200＝0， 解得：a1＝20，a2＝﹣160（不符合题意，舍去）． 答：a的值为20． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$