第十三章 三角形 单元测试 2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025-2026学年数学人教版八年级上册 第十三章 三角形 （单元测试） 考试时间70分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 第Ⅰ卷 客观题 第Ⅰ卷的注释 阅卷人 一、选择题（每题2分，共16分） 得分 1．在 中， ，则 是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（　　） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 3．如图，在中，平分，平分，与交于点，其中，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，已知，点是的中点，且的面积为9，则的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，，则等于（　　） A． B． C． D． 6．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（　　） A． B． C． D． 7．如图，直线AB∥EF，C是AB上一点，D是AB外一点.若∠BCD=95°，∠CDE=25°，则∠DEF的度数是(　　). A．110° B．115° C．120° D．125° 8．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，CD⊥AC交AB于点D，∠BCD=∠A，则∠BEA的度数（　　） A．155° B．135° C．108° D．100° 阅卷人 二、填空题（每题3分，共24分） 得分 9． 已知：如图，△ABC的两条高线BE，CF相交于点O。 求证：∠BOC=180°-∠A(填空)。 证明：因为BE，CF是△ABC的两条高线(　 　 )， 所以∠OEC=∠BFC=90°(　 　)。 因为∠ACF+∠A=∠BFC=90°(　 　)， 所以∠ACF=90°-∠A。 所以 10． 如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，连结CD。在下面各空格中填入“>”或“<”，并说明理由。 （1） AB　 　AC+BC； （2） 2AD　 　CD。 11．已知一等腰三角形的两边长分别为3和8，则该三角形的周长为　 　． 12．在△ABC中，如果，则　 　°． 13．如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠AFC，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°—∠ABD；④∠BDC= ∠BAC，其中正确的结论有　 　． 14．如图，在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE=∠F；②∠BEF= （∠BAF+∠C）； ③∠FGD=∠ABE+∠C；④∠F= （∠BAC﹣∠C）；其中正确的是　 　． 15．如图，在六边形ABCDEF中，AF//CD，AB//DE，且 ， 则 的度数是　 　， 度数是　 　 16．如图，△ABC中，∠A=100°，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC=　 　，若BM、CM分别平分∠ABC，∠ACB的外角平分线，则∠M=　 　． 第Ⅱ卷 主观题 第Ⅱ卷的注释 阅卷人 三、解答题（每题10分，共60分） 得分 17． 如图，在中． （1）的角平分线相交于点，求的度数； （2）的三等分线分别相交于点，求的度数； （3）的等分线分别相交于点，则　 　（结果用含的式子表示），　 　（，为整数，结果用含和的式子表示） 18． （1）【课本再现】如图1，在中，线经过点且．求证：； （2）【变式演练】如图2，在中，，点在边上，交于点．若，求的度数； （3）【方法应用】如图3，直线与直线相交于点，夹角的锐角为，点在直线上且在点右侧，点在直线上且在直线上方，点在直线上且在点左侧运动，点在射线上运动（不与点重合）．当时，平分平分交直线于点，求的度数． 19．如图①，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称∠BAC是△ABC的好玩角． 小马展示了确定∠BAC是△ABC的好玩角的两种情形． 情形一：如图②，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合； 情形二：如图③，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合． （1）探究发现： 在△ABC中，∠B=66°，∠B>∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好玩角，求∠C的度数． （2）小马经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好玩角，请探究∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为　 　．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好玩角，则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为　 　． （3）应用提升： 小马找到一个三角形，三个角分别为20°，60°，100°，发现60°和100的两个角都是此三角形的好玩角．请你完成，如果一个三角形的最小角是18°试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好玩角． 20．在锐角中，，将的顶点放置在边上，使的两边分别与边，交于点，（点不与点重合，点不与点重合）.设，. （1）【发现】 若. 如图1，当点与点重合，时，　 　°； 如图2，当点，均不与点重合时，　 　° 图1 图2 （2）【探究】 判断，和之间满足怎样的数量关系？并写出你的理由. 21．已知：在中，平分，、相交于点， （1）如图①，若，，，求的大小. （2）如图②，若平分，且，求的大小. （3）如图③，若在的外角内，且，，试探究：与的数量关系. 22．综合与探究： （1）【情境引入】 如图1，BD，CD分别是OABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，证明：∠D=90°+∠A． （2）【深入探究】 ①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 ▲ . ②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由． 参考答案 1．A 2．D 3．D 4．C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．已知；高的定义；三角形的外角定理 10．（1）< （2）> 11．19 12．40 13．①②③④ 14．①②③④ 15．160°；120° 16．140°；40° 17．（1）解：∵ ∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点P， ∴ ∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB， ∵ ∠A=60°， ∴ ∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A=120°. （2）解：∵ ∠ABC，∠ACB的三等分线分别相交于点P1，P2， ∴ ∠P1BC=∠ABC，∠P1CB=∠ACB， ∵ ∠A=60°， ∴ ∠BP1C=180°-（∠P1BC+∠P1CB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=120°+∠A=140°， ∵ ∠ABC，∠ACB的三等分线分别相交于点P1，P2， ∴ ∠P2BC=∠ABC，∠P2CB=∠ACB， ∵ ∠A=60°， ∴ ∠BP2C=180°-（∠P2BC+∠P2CB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=60°+∠A=100°. （3）； 18．（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴． （2）解：如图2中， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当点E在点O的上方时，如图3-1： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴， ∴， 即． ②当点E在点O的下方时，如图3-2： 由题意知，，，， ∴， ∴ ， 综上所述，或． 19．（1）解：如图③，设∠C=x° ∵经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好玩角 ∴∠A1B1C=∠C=x° 又∵∠AA1B1是△A1B1C的外角 ∴∠AA1B1=∠A1B1C+∠C=2x° 由题意∠B=∠AA1B1=2x° 又∵∠B=66° ∴2x=66 ∴x=33 ∴∠C=33° （2）∠B=3∠C；∠B=n∠C （3）解：由题意可设另外两个的度数分别为(18m)°和(18mn)°，其中m，n为正整数 则18+18m+18mn=180 ∴m= ∵m，n均为正整数 ∴有两种情况： ①n=2，m=3 此时三角形的另外两个角的度数分别为：54°和108° ②n=8，m=1 此时三角形的另外两个角的度数分别为：18°和144° 综上所述：三角形另外两个角的度数54°和108°或18°和144°． 20．（1）30°；90° （2）解： 21．（1）解： （2）解： （3）解： 22．（1）证明：∵BD，CD分别是的内角，的平分线. （2）①. ②，理由如下： 分别是的一个内角和一个外角的平分线， 学科网（北京）股份有限公司 $$