专题06 三角形章末易错必刷题型专训（52题13个考点）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

专题06 三角形章末易错必刷题型专训（52题13个考点） 【易错必刷一 三角形的识别】 1．（24-25八年级上·四川眉山·期中）下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）在三边互不相等的三角形中，最长边的长为，最长的中线的长为，最长的高线的长为，则（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）一个等腰直角三角形的直角边长2分米，这个三角形的面积是 平方厘米． 4．（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 【易错必刷二 三角形的分类】 5．（2025八年级上·湖北武汉·模拟预测）给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·全国·随堂练习）下列说法：①三角形按边分类可分为三边不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、直角三角形、锐角三角形；④有两边相等的三角形一定是等腰三角形，其中正确的是 ．（请填写序号） 7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，是直角，，垂足为D，点E在线段上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为D， 是钝角，E是上一点，且是锐角． (1)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． (2)找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【易错必刷三 构成三角形的条件】 9．（24-25八年级上·福建宁德·期末）将一根长度为10（单位：）的铁丝按下面的长度剪开，剪得的三段铁丝可以首尾顺次相接围成三角形的是（　　） A．6，2，2 B．5，3，2 C．5，4，1 D．4，3，3 10．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）长、、的三条线段能围成一个三角形． （判断对错） 11．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由． (1)． (2)． (3)． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图 … 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗？ (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请画出它们的示意图（提示：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形）． 【易错必刷四 确定第三边的取值范围】 13．（2025·贵州贵阳·模拟预测）坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为和，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为，则x的取值范围是 ． 15．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）已知的三边分别为a、b、c，且． (1)求a，c的值； (2)若b为奇数，求的周长． 16．（2025九年级·北京·模拟预测）如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围． 【易错必刷五 重心的概念】 17．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，交边于点D．设△ABC的重心为Q，若点Q在线段上，则下列结论正确的是（    ）． A．平分 B．为的中垂线 C． D．的周长等于的周长 18．（24-25八年级上·江西上饶·期末）三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于一点，这一点叫此三角形的 心． 19．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）画出下图中的重心．    20．（24-25八年级上·河北保定·期末）画出三角形的重心O，并说明、、的面积存在什么数量关系？ 【易错必刷六 根据三角形中线求长度】 21．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，为边上的中线，则与的周长差为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 22．（24-25八年级上·广西河池·期中）已知BD是的中线，，，且的周长为16，则的周长为 ． 23．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，是边上的中线，的周长比的周长多，求的长． 24．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，是的中线，，于N，求证：．    【易错必刷七 根据三角形中线求面积】 25．（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为12，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 26．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）小时和小颖要分一块均匀的三角形饼干，怎样才能把它分成大小相等的两块？ ． 27．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，O是半圆的圆心，，，厘米，求阴影部分的面积．（取）    28．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，四边形是一个梯形，点E是的中点，直线把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是．求上底与下底的长度之比． 【易错必刷八 三角形角平分线的定义】 29．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 30．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有 个． 31．（2025·四川乐山·模拟预测）如图，是的平分线，．试说明：． 32．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点，平分，交于点，为上一点，且，求证：. 【易错必刷九 与三角形的高有关的计算问题】 33．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，在中，是角平分线，，，，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 34．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）在中，，，则的高和之比是 ． 35．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，分别是的高线和中线，若，求和的面积． 36．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，在中，为边上一点，，垂足分别为点．试说明：． 【易错必刷十 与平行线有关的三角形内角和问题】 37．（2025·广东·模拟预测）如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BCD=35°，则∠BAC的度数等于（    ） A．35° B．45° C．55° D．60° 38．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，于点C，，若过C作，则（    ） A．43° B．57° C．47° D．45° 39．（24-25八年级上·河北保定·期末）按如图位置放置一副三角板，，则的度数为 ． 40．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1=∠2． (1)求证：AB∥CD； (2)若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D=112°，求∠1的度数． 【易错必刷十一 与角平分线有关的三角形内角和问题】 41．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 42．（24-25八年级上·上海宝山·期末）已知在中，，，的平分线交于点，那么 ． 43．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）中，，，平分交于点D，求的度数． 44．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点F，，求和的度数． 【易错必刷十二 直角三角形的两个锐角互余】 45．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，，于点H，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 46．（24-25八年级上·天津·期中）如图，中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 47．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，中，，，沿着图中的折叠，点刚好落在边上的点处，则的度数是 ． 48．（24-25八年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，在中， ， ， 于点 ， 若 ，求的长． 【易错必刷十三 三角形的外角的定义及性质】 49．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 50．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数是 ．       51．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是的外角的平分线，且与的延长线交于点E．若，求的度数． 52．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，点、、、分别在线段、、上，，．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 三角形章末易错必刷题型专训（52题13个考点） 【易错必刷一 三角形的识别】 1．（24-25八年级上·四川眉山·期中）下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、高线、中线的定义与性质，是基础题，需熟记．根据三角形的角平分线、高线、中线对各说法分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：①三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误； ②三角形的中线、角平分线、高都是线段，故说法正确； ③一个三角形有三条角平分线和三条中线，故说法正确； ④直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误； ⑤三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误． 所以正确的有两个． 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）在三边互不相等的三角形中，最长边的长为，最长的中线的长为，最长的高线的长为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，高为顶点到对应边的最短线段，中线在三角形内，由此可解． 【详解】解：如图，   中，，E为的中点，为边的高， 则是最长的边， 是最长的中线，是最长的高， 由图可知， 因此． 故选A． 【点睛】本题考查与三角形有关的线段，根据题意画出示意图是解题的关键． 3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）一个等腰直角三角形的直角边长2分米，这个三角形的面积是 平方厘米． 【答案】200 【分析】本题考查了三角形的面积公式．根据三角形的面积底高，解答此题即可． 【详解】解：（平方分米） 2平方分米平方厘米 答：这个三角形的面积是200平方厘米． 故答案为：200． 4．（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 【答案】有5个三角形，分别是 【分析】此题主要考查了三角形的定义及其表示．根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形进行分析即可． 【详解】解：图中共有5个三角形，分别是． 【易错必刷二 三角形的分类】 5．（2025八年级上·湖北武汉·模拟预测）给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由角度大小计算判断直角三角形，掌握三角形的内角和等于是解题的关键，根据三角形的内角和等于求出最大角，然后选择即可． 【详解】解：A、最大角，是直角三角形，故此选项不符合题意； B、最大角，是直角三角形，故此选项不符合题意； C、最大角，故此选项符合题意； D、最大角，故此选项不符合题意． 故答案为：C． 6．（24-25八年级上·全国·随堂练习）下列说法：①三角形按边分类可分为三边不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、直角三角形、锐角三角形；④有两边相等的三角形一定是等腰三角形，其中正确的是 ．（请填写序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了三角形的分类，以及等腰三角形和等边三角形的关系．理解等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形是解题的关键． 根据三角形的分类方法逐项判断即可； 【详解】解：①因为等边三角形是特殊的等腰三角形，应归类于等腰三角形，故原说法错误； ②等边三角形是特殊的等腰三角形，原说法正确； ③三角形按角分类可分为钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，按照边分类可分为三边不相等的三角形、等腰三角形，故原说法错误； ④有两边相等的三角形一定是等腰三角形，该说法正确． 综上所述：说法正确的有②④． 答案为：②④． 7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，是直角，，垂足为D，点E在线段上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【答案】是锐角三角形；，，，是直角三角形；是钝角三角形 【分析】本题考查了锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义； 根据是直角，，可得，，是锐角，是锐角，是钝角，然后进行分类即可． 【详解】解：∵是直角， ∴，，是锐角， ∵，点E在线段上， ∴是锐角，是钝角， ∴是锐角三角形；，，，是直角三角形；是钝角三角形． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为D， 是钝角，E是上一点，且是锐角． (1)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． (2)找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【答案】(1)6个，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形及其分类．熟练掌握三角形定义，三角形分类定义是解题的关键，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形；三个内角都小于 90 度的三角形是锐角三角形；有一个内角为 90 度的三角形是直角三角形；有一个内角大于 90 度的三角形是钝角三角形． （1）根据三角形的定义解答； （2）根据三角形按角分类的定义判断． 【详解】（1）解：图中有6个三角形：，，，，，． （2）解：锐角三角形：； 直角三角形：，，； 钝角三角形：，． 【易错必刷三 构成三角形的条件】 9．（24-25八年级上·福建宁德·期末）将一根长度为10（单位：）的铁丝按下面的长度剪开，剪得的三段铁丝可以首尾顺次相接围成三角形的是（　　） A．6，2，2 B．5，3，2 C．5，4，1 D．4，3，3 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边．只需验证各选项中最大边是否小于其余两边之和即可． 【详解】解：A最大边6，其余两边之和，，不满足三角形条件，故该选项不符合题意； B最大边5，其余两边之和，，无法构成三角形，故该选项不符合题意； C最大边5，其余两边之和，，无法构成三角形，故该选项不符合题意； D最大边4，其余两边之和．，满足三角形条件，故该选项符合题意； 故选：D． 10．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）长、、的三条线段能围成一个三角形． （判断对错） 【答案】错 【分析】根据构成三角形的条件，即可判断， 本题考查了，构成三角形的条件，解题的关键是：熟练掌握构成三角形的条件． 【详解】解：∵， ∴不能组成三角形， 故答案为：错． 11．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)这三条线段能组成三角形，理由见解析 (2)这三条线段不能组成三角形，理由见解析 (3)这三条线段不能组成三角形，理由见解析 【分析】根据构成三角形的条件进行逐一判断即可． 【详解】（1）解；这三条线段能组成三角形，理由如下： ∵， ∴这三条线段能组成三角形； （2）解；这三条线段不能组成三角形，理由如下： ∵， ∴这三条线段不能组成三角形； （3）解；这三条线段不能组成三角形，理由如下： ∵， ∴这三条线段不能组成三角形． 【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图 … 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗？ (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请画出它们的示意图（提示：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形）． 【答案】(1)不能 (2)3种，图见解析 【分析】本题主要考查了三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． （1）把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，故4根火柴棒不能搭成三角形； （2）利用三角形三边关系定理求解即可． 【详解】（1）解：∵把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，而， ∴4根火柴棒不能搭成三角形； （2）解：12根火柴棒能搭成三种不同的三角形，其边长分别为：，示意图如下： 其中形状分别为：等边三角形，等腰三角形，直角三角形（）． 【易错必刷四 确定第三边的取值范围】 13．（2025·贵州贵阳·模拟预测）坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边得到，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∵ ∴ ∴ ∴段的长可能为． 故选：D． 14．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为和，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 直接利用三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由三角形三边关系定理得：，即． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）已知的三边分别为a、b、c，且． (1)求a，c的值； (2)若b为奇数，求的周长． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了绝对值、平方的非负性，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是确定边长b的取值范围． （1）根据非负数的性质列式求出a、c的值； （2）再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出b的取值范围，再根据b是奇数求出b的值计算解题． 【详解】（1）解：∵， ∴ 解得：； （2）解：由题可知：， 解得：， 又∵为奇数， ∴或或， 当时，的周长为； 当时，的周长为； 当时，的周长为； 综上所述，的周长为，或． 16．（2025九年级·北京·模拟预测）如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系．延长到，使，连接，证明，得出，再根据三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， ∵是的中线， ， 在与中， ， ， ， ， ，即， ． 【易错必刷五 重心的概念】 17．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，交边于点D．设△ABC的重心为Q，若点Q在线段上，则下列结论正确的是（    ）． A．平分 B．为的中垂线 C． D．的周长等于的周长 【答案】C 【分析】利用重心的性质得到为的中线，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：∵的重心为G，点G在线段AD上， ∴为的中线， ∴，选项C符合题意； 当时，平分，为的中垂线，的周长等于的周长， ∴选项A、B、D都不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形重心的概念，三角形重心是三角形三边中线的交点． 18．（24-25八年级上·江西上饶·期末）三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于一点，这一点叫此三角形的 心． 【答案】重 【分析】根据三角形的重心的定义即可求解． 【详解】三角形的三条中线交于一点，这一点叫此三角形的重心； 故答案为：重． 【点睛】本题主要考查了三角形的重心，重心是三角形三边中线的交点；三角形的中线将三角形的面积分成了相等的两部分，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 19．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）画出下图中的重心．    【答案】见解析 【分析】先作BC、AC的垂直平分线，找到其中点，再作出中线，两中线的交点即重心． 【详解】解：如解图所示，作三角形的两条中线交于点，点即为所求．    【点睛】此题主要考查重心的作图，解题的关键是熟知重心是三角形中线的交点． 20．（24-25八年级上·河北保定·期末）画出三角形的重心O，并说明、、的面积存在什么数量关系？ 【答案】图见解析， 【分析】本题主要考查了画三角形的重心，重心的性质，掌握三角形的重心定义以及性质是解题的关键． 根据三角形重心的定义画图即可，由O是的重心，可得出、、是的中线，由中线可得出，进可可得出，又由，可得出，同理可得出，即可证明． 【详解】解：如下图O是的重心． 理由如下： ∵O是的重心， ∴、、是的中线， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 同理可得， ∴． 【易错必刷六 根据三角形中线求长度】 21．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，为边上的中线，则与的周长差为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据题意，是的边上的中线，可得，进而得出的周长，的周长，相减即可得到周长差． 【详解】是的中线， ， ∴与的周长之差为：； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的中线和三角形周长的求法，熟练掌握三角形周长公式是解题的关键． 22．（24-25八年级上·广西河池·期中）已知BD是的中线，，，且的周长为16，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】由三角形中线定义得到，再由的周长为16，解得，继而解题． 【详解】解：如图， 是的中线， ，，且的周长为16， 的周长为：9+3=12 故答案为：12． 【点睛】本题考查三角形的中线，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 23．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，是边上的中线，的周长比的周长多，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线定义得出，结合三角形的周长公式求出，即可求解． 【详解】解：因为是边上的中线， 所以； 因为的周长比的周长多， 所以， 即， 因为， 所以． 24．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，是的中线，，于N，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，先利用勾股定理得到，，，进而推出，再由中线的定义得到，由此即可证明． 【详解】证明：在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴． 【易错必刷七 根据三角形中线求面积】 25．（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为12，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质．利用中线的性质“三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形”即可求解． 【详解】解：∵是的的中线，且的面积为12， ∴， 又∵是的的中线， ∴， 故选：A． 26．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）小时和小颖要分一块均匀的三角形饼干，怎样才能把它分成大小相等的两块？ ． 【答案】沿三角形的一条中线分成大小相等的两块． 【分析】本题考查三角形的中线性质，掌握课本的定理是解题关键．根据三角形的中线性质解答即可． 【详解】解：三角形的一条中线把原三角形分成面积相等的两部分，所以沿三角形的一条中线分成大小相等的两块． 故答案为：沿三角形的一条中线分成大小相等的两块． 27．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，O是半圆的圆心，，，厘米，求阴影部分的面积．（取）    【答案】 【分析】根据三角形中线的性质可得，，进而可得，则阴影部分的面积即为扇形的面积，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：   和都为的半径， ， ， 又， ， ， 又，且， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质及扇形的面积，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键． 28．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，四边形是一个梯形，点E是的中点，直线把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是．求上底与下底的长度之比． 【答案】 【分析】本题主要考查了梯形，三角形中线的性质．连接，设，根据点E是的中点，可得，，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵点E是的中点， ∴，， ∴， ∴，     ∵的高相同， ∴． 【易错必刷八 三角形角平分线的定义】 29．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分定义和中线的定义，根据题意得，，逐项判断即可判定是的角平分线． 【详解】解：A∵的角平分线、中线相交于点O， ∴，， 在中，不一定等于， ∴不一定是的角平分线，A错误； B∵不一定等于，那么不一定是的角平分线，B错误； C在中，，不一定是的中线，C错误； D∵， ∴是的角平分线，D正确； 故选：D． 30．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有 个． 【答案】3/三 【分析】由角平分线的定义得，等量代换得，进而可得答案． 【详解】∵为两条角平分线， ∴． ∵， ∴． 故答案为∶3． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等量代换，熟练掌握角平分线的定义是解答本题的关键． 31．（2025·四川乐山·模拟预测）如图，是的平分线，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，解题的关键是利用角平分线的性质找到证明三角形全等的条件． 根据角平分线的定义得到，再结合已知的相等线段，利用全等三角形的判定定理证明，最后根据全等三角形的性质得出结论． 【详解】解： 是的平分线， ． 在和中， ， 32．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点，平分，交于点，为上一点，且，求证：. 【答案】见解析 【分析】证明，根据全等三角形的性质得出，进而根据等角的余角相等可得，等量代换得出，即可得证． 【详解】证明：平分， . 在和中， ， . 中，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【易错必刷九 与三角形的高有关的计算问题】 33．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，在中，是角平分线，，，，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点D作于点F，由角平分线上的点到角的两边距离相等，得，再根据面积公式进行列式，即可作答． 【详解】解：过点D作于点F，如图所示： ∵是角平分线，， ∴， ∴的面积． 故选：D． 34．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）在中，，，则的高和之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式，根据三角形的面积公式得出 【详解】解∶如图， ∵， ∴， 又，， ∴， 故答案为∶． 35．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，分别是的高线和中线，若，求和的面积． 【答案】； 【分析】本题主要考查了求三角形面积，熟知三角形高和中线的定义是解题的关键． 根据三角形的中线得到，再由三角形面积公式求解． 【详解】解：∵分别是的高线和中线，， ∴， ． 36．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，在中，为边上一点，，垂足分别为点．试说明：． 【答案】见解析 【分析】考查了三角形的面积，连接，根据的面积的面积的面积，以及，即可得到． 【详解】解：连结． ∵， ∴． ， ． 【易错必刷十 与平行线有关的三角形内角和问题】 37．（2025·广东·模拟预测）如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BCD=35°，则∠BAC的度数等于（    ） A．35° B．45° C．55° D．60° 【答案】C 【分析】依题意，可知，又，，可得，又由三角形内角和为，即可求解； 【详解】由题知，∵ ，∴； 又，，∴ ； 由三角形的内角和为，即：，∴ ； 故选：C 【点睛】本题主要考查平行线、三角形的性质，关键在利用三角形内角和为. 38．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，于点C，，若过C作，则（    ） A．43° B．57° C．47° D．45° 【答案】C 【分析】利用平行线的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵BC⊥AE， ∴∠ACB=90°， ∵CD∥AB， ∴∠ECD=∠A=43°， ∴∠B=90°-∠A=47°， 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 39．（24-25八年级上·河北保定·期末）按如图位置放置一副三角板，，则的度数为 ． 【答案】15° 【分析】由平行线的性质可得∠BAC＝∠ACD＝30°，由三角形内角和定理可求解． 【详解】∵， ∴∠BAC＝∠ACD＝30°， ∵∠AED＝45°， ∴∠AEC＝135°， ∵∠CAE＋∠AEC＋∠ACE＝180°， ∴∠EAC＝180°−∠AEC−∠ACE＝180°−30°−135°＝15°， 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 40．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1=∠2． (1)求证：AB∥CD； (2)若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D=112°，求∠1的度数． 【答案】(1)见解析；(2)56° 【分析】（1）先证∠1=∠CGF即可，然后根据平行线的判定定理证明即可； （2）先根据平行线的性质、角平分线的性质以及垂直的性质得到∠1+∠4=90°，再求出∠4即可． 【详解】(1)证明：∵FG∥AE， ∴∠2=∠3， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠3， ∴AB∥CD． (2)解：∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠D=180°， ∵∠D=112°， ∴∠ABD=180°﹣∠D=68°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠4=∠ABD=34°， ∵FG⊥BC， ∴∠1+∠4=90°， ∴∠1=90°﹣34°=56°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练应用相关性质和定理． 【易错必刷十一 与角平分线有关的三角形内角和问题】 41．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的判断，三角形内角和定理，掌握角平分线的判断和三角形内角和定理是解题的关键．由题意，分别为和的角平分线，利用三角形内角和即可求得． 【详解】解：∵点O到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴ 故选：C． 42．（24-25八年级上·上海宝山·期末）已知在中，，，的平分线交于点，那么 ． 【答案】/105度 【分析】根据等腰三角形的性质得两底角的度数，结合角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解． 本题考查了三角形内角和定理及等腰三角形的性质、角平分线的定义；综合运用各种知识是解答本题的关键． 【详解】解：，， ， 又为的平分线， ， ． 故答案为：． 43．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）中，，，平分交于点D，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 44．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点F，，求和的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义， 由高线可得，由三角形的内角和可求得，从而可求得，再利用角平分线的定义可得，再次利用三角形的内角和即可求的度数． 【详解】解：∵是高， ∴. ∵， ∴，， ∴. ∵是的平分线， ∴， ∴． 【易错必刷十二 直角三角形的两个锐角互余】 45．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，，于点H，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识，结合图形分析是解题的关键． 根据平行线的性质得到，由直角三角形两锐角互余得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A ． 46．（24-25八年级上·天津·期中）如图，中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，先根据直角三角形两锐角互余求出，结合已知可得的度数，然后利用补角的定义求出即可，熟知在直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 47．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，中，，，沿着图中的折叠，点刚好落在边上的点处，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握折叠前后图形的对应线段和对应角相等是解题的关键． 由直角三角形的性质得到，由折叠的性质可求得，，得到，即可得到答案． 【详解】解：中，，， ， 由折叠可得，， ， 故答案为： ． 48．（24-25八年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，在中， ， ， 于点 ， 若 ，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 先后利用直角三角形的性质求出和长即可． 【详解】解： ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【易错必刷十三 三角形的外角的定义及性质】 49．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的外角的性质．根据三角形外角的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：如图： ∵，， ∴． 故选：A． 50．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数是 ．       【答案】/ 【分析】本题考查的是平行线的性质，邻补角的性质，三角形的外角的性质，先求解，，再利用三角形的外角的性质求解即可. 【详解】解：如图，∵，，    ∴，， ∴． 故答案为：． 51．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是的外角的平分线，且与的延长线交于点E．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义，根据平角的定义求出的度数，由角平分线的定义可得的度数，再由三角形外角的性质可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∴． 52．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，点、、、分别在线段、、上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、平角的定义．根据平角的定义可得：，又因为，可证，根据，可得，根据外角的性质可得：，从而可证结论成立． 【详解】证明：，， ， ， ， 是的外角， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$