专题05 三角形章末56道压轴题型专训（7大题型）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

专题05 三角形章末56道压轴题型专训（7大题型） 题型一 根据三角形中线求长度与面积 题型二 与三角形的高有关的计算问题 题型三 三角形中折叠的问题 题型四 三角形内角和定理的应用 题型五 三角形角平分线的定义综合应用 题型六 三角形三边关系的应用 题型七 三角形内角与外角的综合应用 【经典例题一 根据三角形中线求长度与面积】 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，比长多少厘米？ 2．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，为的中线，为的中线，为中边上的高．若的面积为，，求的长． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，是边上的中线，是边上的高，点为的中点． (1)若，，求的度数． (2)若的面积为，，求的长． 4．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，点在边上． (1)若，，求的度数： (2)若为的中线，的周长比的周长大5，，求的长． 5．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 6．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，已知，分别是的边上的高和中线，若，，． (1)求的长度； (2)求的面积； (3)求和的周长之差． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①，分别是的边上的高和中线，． (1)求和的面积． (2)通过做题，你能发现什么结论？请说明理由． (3)根据（2）中的结论，解决问题：如图②，是的中线，是的中线，是的中线．若的面积为，求的面积． 8．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在中，，．是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是________． 【经典例题二 与三角形的高有关的计算问题】 9．（24-25八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 10．（24-25八年级上·湖南湘西·期末）如图所示，在中，，垂足为D． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求的长． 11．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，是等腰三角形，，于点D，于点，与相交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求点到边的距离． 12．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，是的中线，已知． (1)求与的周长之差； (2)若边上的高为，求边上的高． 13．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）为了方便居民出入小区．小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形（如图1）． 米． 米．斜坡的坡角为 计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2所示）．坡面的宽度不变． (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度； (2)改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？ 14．（24-25八年级上·吉林·期末） [感知]如图①，是的平分线，点P是上任一点，作，，垂足分别为D和E．易知(不需要证明)； [探究]如图②，在中，是它的角平分线．若．求与的面积比； [应用]如图③．的周长是8．、分别平分和．于点D．若，则的面积为______． 15．（2025八年级上·江苏·模拟预测）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 16．（24-25八年级上·北京西城·阶段练习）设的面积为． (1)如图1，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则______．（用含的式子表示） (2)如图2，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则________．（用含的式子表示） (3)如图3，P为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点D、E、F，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到的面积________． 17．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，把按如图的方式进行折叠使点A落到上，． (1)连接，与的位置关系是___________； (2)___________°； (3)计算的度数． 18．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，将沿直线折叠，使点与点重合，连接．    (1)若，，求的度数； (2)若，，求的周长． 【经典例题三 三角形中折叠的问题】 19．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）（1）如图1，把沿DE折叠，使点A落在点处，试探索与的关系______（不必证明）． （2）如图2，BI平分，CI平分，把折叠，使点A与点I重合，若，求的度数； 20．（24-25八年级上·上海青浦·期末）如图，将长方形纸片（）折叠，使点A与点C重合.折痕与交于点E，与交于点F，点为点D翻折后的对应点． (1)连接，如果，求的度数； (2)连接，如果的面积为s，且，求长方形的面积（用含s的代数式表示）． 21．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）【问题再现】 （1）如图①，在中，、的平分线交于点，若，则_______度； 【问题推广】 （2）如图②，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，过点作于点，若，求的度数； （3）如图③，在中，、的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，则_______度． 22．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样呢？ 【观察猜想】（1）如图1，在中，．猜想与的大小关系：________； 【操作证明】（2）如图2，将折叠，使边落在上，点落在上的点，折痕交于点，连接．发现：由于，……，根据发现，请证明（1）中所猜想的结论； 【应用结论】（3）在中，已知，那么、、有怎样的大小关系？________（用“”表示出来） 【类比探究】（4）如图3，在中，．小洛同学运用类似的操作进行探究：折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，连接．请证明：． 23．（24-25八年级上·福建福州·期末）综合与实践： 【问题情境】数学课上，老师带领同学们一起探究三角形中边与角之间的不等关系． 【实践探究】如图，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在、上的E点，折线交于点D，则． ∵（想一想为什么）， ∴． 请证明为什么有； 【类比探究】如图，在中，如果，请仿照如上折叠的方法，试证明． 【实践拓展】如图，在中，，按照图1的方式进行折叠，得到折痕，过点D作的平行线交于点M，若，求的度数． 24．（24-25八年级上·全国·单元测试）问题探索(一) 如图1，是的延长线，探索与，之间的数量关系． （1）图 1中，，，则__________； （2）图2中，，，则__________． （3）若，，则_________(用含α，β的式子表示)． 问题探索(二) 如图3，将沿的平分线折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分……不断重复上述操作，若经过第n次操作，余下部分沿的平分线折叠，点与点C 刚好重合，则称是“可折叠三角形”． 例如，图4为一次“可折叠三角形”，图5为二次“可折叠三角形”，图6为三次“可折叠三角形”． 请利用问题探索(一)中的结论，分析解答下列问题： （1）推断图5中，与之间的数量关系，并说明其正确性； （2）直接写出图6中，与之间的数量关系：__________； （3）猜想：若经过n 次折叠，发现是“可折叠三角形”，则与（设）之间的数量关系为__________． 【经典例题四 三角形内角和定理的应用】 25．（25-26八年级上·全国·周测）如下图，D，E，F分别是三边延长线上的点，．求的度数． 26．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）（1）如图1，在凹四边形中：当时， ； （2）当时，求的度数． 27．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如果四边形总在其任意一条边所在直线的同一侧，那么这样的四边形叫做凸四边形，如果四边形不在任意一条边所在直线的同一侧，这样的四边形我们称之为凹四边形．下图为凹四边形． (1)求证：； (2)如果点在线段的另一侧，又会有怎样的结论呢？（只写出结论） 28．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）在中： （1）如图，若，，边上的高，交于点O．求的度数； （2）若为钝角，，边上的高，所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量，可知 ，用你已学过的数学知识加以说明； （3）由（1）（2）可以得到什么结论，尝试写出来． 29．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 30．（24-25八年级上·河南郑州·期末）将一副三角板的两块直角三角尺的直角顶点C重合，其中，，． (1)如图1，与的数量关系为______，与的数量关系为______； (2)如图2，三角尺保持不动，绕点C转动三角尺，当平行时，求的度数； (3)三角尺保持不动，绕点C转动三角尺，当与三角尺的一边平行时，请直接写出的所有可能的度数． 31．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）【概念认识】 如图①，在∠ABC中，若，则叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在中，，若的三分线交于点D，则 °； （2）如图③，在中，分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； 【延伸推广】 （3）在中，是的外角，的三分线所在的直线与三分线所在的直线交于点P．若，，则 °．（用含x、y的代数式表示） 32．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）【学科融合】 射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． 【应用探究】 有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线． (1)如图2，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．求证． (2)如图3，光线与相交于点P，若，求的度数． 【经典例题五 三角形角平分线的定义综合应用】 33．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在直角中，，是边上的高，是的角平分线．若，求，的度数． 34．（24-25八年级上·全国·课后作业）任意剪一个三角形，用折叠的方法（如图），画出这个三角形的三条角平分线．你发现了什么？（请与你的同伴交流） 35．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点A、C重合），连接交于点． (1)若是的中线，，求与的周长之差； (2)若是的高，，求的度数． 36．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，在中，，垂足为D，， ． (1)求和的度数． (2)若是的平分线，求的度数． 37．（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，中，，于，平分交于． (1)当，时，求的度数； (2)猜想：与有什么关系，并说明理由． 38．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）（1）问题发现：在图①中，在和中，，，，点、、在同一直线上，连接．与全等吗？请证明你的结论． （2）拓展探究：图②中，在和中，，，，、、在同一直线上，为中边上的高且平分，连接． ①求与的数量关系和的度数． ②直接写出线段、、之间的数量关系． 39．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）已知，，点为射线上一点． (1)如图，若，，则__________°； (2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则，，之间满足怎样的关系，请说明你的结论； (3)如图，平分，交于点，交于点，且，，，求的度数． 40．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）（1）如图1，在中，，分别是，的平分线，，相交于点．探究与之间的数量关系．（需要写出证明过程） （2）如图2，，分别是的外角，的平分线，，相交于点．直接写出与之间的数量关系．（不需写出证明过程） （3）如图3，在中，是的平分线，是外角的平分线，，相交于点．直接写出与之间的数量关系．（不需写出证明过程） （4）如图4，，相交于点，，分别是，的平分线，，相交于点．直接写出与，之间的数量关系．（不需写出证明过程） 【经典例题六 三角形三边关系的应用】 41．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）已知，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 42．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，已知D、E是内的两点，问成立吗？请说明理由． 43．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长少，且与的和为． (1)求的长； (2)求的取值范围． 44．（2025八年级上·全国·模拟预测）实践教育：为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境．数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的不同规格的三角形框架． 数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下， 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价/（元/根） 6 8 (1)根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有_________种制作方案． (2)若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？ 45．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，则的度数是 度； (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 46．（24-25八年级上·吉林四平·期末）在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． (1)小明想把木棒剪成三段，第一段长，第二段的长比第一段的3倍少．试判断第一段的长能否为，并说明理由； (2)小亮先把木棒剪成如图所示的和的两段，现要将木棒从处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的的整数长度． 47．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）【初步探索】 （1）如图1，是的中线，探究与的大小关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长至点E，使，连接，先证明，可得出结论，他的结论应是__________ 【灵活运用】 （2）如图2，是的中线，E、F分别在上，且，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，为的角平分线，直线于点A，点E为上一点（与点A不重合），周长记为a，周长记为b，比较a与b的数量关系并证明．     48．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）我知道，在一个三角形中，①相等的边对的角也相等，②相等的角所对的边也相等． 【问题提出】一个三角形中，①假如两条边不相等，那么这两条边所对的角大小关系如何？ ②假如两个角不相等，那么它们所对的边大小关系又如何？ 【实验探究】如图1，在中，边对，边对，，与有什么样的大小关系呢？ 类比等腰三角形折纸的经验，我们又能够怎样经过折叠比较出与的大小呢？同学们分小组议论沟通，并说明自己是如何经过折纸比较的． 方法一：如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上． 方法二：如图3，将沿边的高翻折，使点落到边上处， 方法三：如图4，将沿的平分线翻折使点落到边上处． 方法四：如图5，在上截取，连接． 方法五：如图6，延长至点，使得，连接． 【问题解决】 （1）选择上述一种方法说明：在中，若，则． （2）尝试说明：在中，若，则． 【知识迁移】 （3）已知：在中，，点为边上一点，，若，试用上面的方法求出的长． 【经典例题七 三角形内角与外角的综合应用】 49．（2025八年级上·全国·模拟预测）如下图，在中，，外角的平分线交的延长线于点D，外角的平分线交的延长线于点H．若，求的度数． 50．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，是的角平分线，为延长线上一点，于点． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 51．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，，，是边上的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)是的角平分线，与交于点．求的度数． 52．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，平分交于点． (1)若点为线段上的一个点，过点作交的延长线于点． ①若，，则___________； ②写出与、之间的数量关系，并说明理由． (2)若点在线段的延长线上，过点作交直线于点，请你直接写出与的数量关系__________． 53．（24-25八年级上·河南三门峡·阶段练习）如图（1）已知的外角与的平分线相交于点P，如图（2）已知的内角与外角的角平分线相交于点P． 选择其中一个图形猜想与的关系并证明你的猜想． 解：我选择的是_________，猜想结论：_________． 证明： 54．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）将三角尺（，）放置在上（点D在内），如图1，三角尺的两边，恰好经过点B和点C．我们来探究：与是否存在某种数量关系． (1)特例探索：当时，______°，______°； (2)类比探索：写出，与之间的数量关系，并说明理由； (3)变式探索：如图2，改变三角尺的位置，使点D在外，三角尺的两边，仍恰好经过点B和点C，写出，与之间的数量关系，并说明理由． 55．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图1，与摆放在一起，点A、C、E在同一直线上，其中，，．如图2，固定，将绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角（）． (1)当时， °； (2)在旋转过程中，试探究与之间的关系； ①当时，如图2，，，∴， ②当时，试探究与之间的关系，并说明理由； ③当时，直接写出与之间的关系； (3)当的边与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α所有可能的度数． 56．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 【问题情境】 自行车的尾灯自身并不发光，但当强光照射到尾灯上时光线会被强烈地反射回去，从而起到提醒汽车驾驶员的目的．这一效果正是利用了角反射器的原理．最简单的角反射器是由两个互相垂直的平面镜组成的． 【数学探究】 如图，入射光线经过两次反射后，得到光线，已知，． (1)如图1，是两个互相垂直的平面镜，， ①若，求的度数． ②试判断入射光线和反射光线是否平行，并说明理由． (2)如图2，改变镜子位置，设平面镜的夹角，，，求的值（用含有或的代数式表示）．         学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形章末56道压轴题型专训（7大题型） 题型一 根据三角形中线求长度与面积 题型二 与三角形的高有关的计算问题 题型三 三角形中折叠的问题 题型四 三角形内角和定理的应用 题型五 三角形角平分线的定义综合应用 题型六 三角形三边关系的应用 题型七 三角形内角与外角的综合应用 【经典例题一 根据三角形中线求长度与面积】 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，比长多少厘米？ 【答案】比长 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的中线， ， ， 比长． 2．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，为的中线，为的中线，为中边上的高．若的面积为，，求的长． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形中线与面积的关系以及三角形的高线，由题意得，，推出；结合即可求解； 【详解】解：∵为的中线，为的中线， ∴，． ∴． ∵的面积为，，为中边上的高， ∴． 解得． 即的长为4． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，是边上的中线，是边上的高，点为的中点． (1)若，，求的度数． (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形的中线性质及三角形外角的性质，熟记三角形的中线平分该三角形的面积是解题的关键． （1）直接根据三角形外角的性质解答即可； （2）先根据E是中点，的面积为10得出的面积，再根据是边上的中线得出的面积，根据求出的长，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵点E为的中点，的面积为10， ∴，则， ∵是边上的中线， ∴． 则， ∵， ∴． ∵是边上的高线， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，点在边上． (1)若，，求的度数： (2)若为的中线，的周长比的周长大5，，求的长． 【答案】(1)40° (2)7 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，中线等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形外角的性质和三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据等边对等角得，，再根据三角形外角的性质得，然后根据三角形内角和定理求解即可； （2）由为的中线，可得，由的周长比的周长大5，可得，化简得，进而可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ； （2）解：∵为的中线， ， 的周长比的周长大5， ， ， ， ， ． 5．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， ∴与的周长差：； （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 又∵的周长与四边形的周长相等，D是的中点， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，已知，分别是的边上的高和中线，若，，． (1)求的长度； (2)求的面积； (3)求和的周长之差． 【答案】(1) (2)的面积是 (3)和的周长的差是 【分析】本题考查了三角形中线和高、三角形周长与面积的计算． （1）根据的面积两种求法计算即可； （2）直接用面积公式计算即可； （3）由于是中线，那么，于是可得的周长与的周长差，代入计算即可． 【详解】（1）解：是边上的高， ， ， 即． （2）是边的中线，， ． 由(1)可知， ， 的面积是 （3）为边上的中线， ， 的周长的周， 即和的周长的差是． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①，分别是的边上的高和中线，． (1)求和的面积． (2)通过做题，你能发现什么结论？请说明理由． (3)根据（2）中的结论，解决问题：如图②，是的中线，是的中线，是的中线．若的面积为，求的面积． 【答案】(1)， (2)三角形的一条中线将这个三角形分成两个面积相等的三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积公式，即底高，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． （1）根据三角形中线的定义得到，然后根据三角形的面积公式计算和的面积． （2）根据计算的结果得到等底等高的三角形的面积相等． （3）根据等底等高的三角形的面积相等先得到，再得到，则，然后根据结论得到，所以． 【详解】（1）解： 是的边上的中线， ， ， ． （2）结论：三角形的一条中线将这个三角形分成两个面积相等的三角形． 理由：等底同高的两个三角形的面积相等． （3）是的中线，的面积为， ， ． 是的中线， ， ． 是的中线， ， ． 8．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在中，，．是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是________． 【答案】（1）；（2）②④；（3）见解析；（4） 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论； （4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 是中线， ， 又，， ， ，， ，， ， 为中线， ， ， ， 又， ， ，， ， ∴正确选项的序号是：②④； （3）证明：如图3，延长至，使，连接， 是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， 又，， ， ， ； （4），， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【经典例题二 与三角形的高有关的计算问题】 9．（24-25八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、等角的余角相等、三角形面积计算公式，解题关键是熟练掌握角平分线的定义． （1）先根据角平分线的定义得到，再根据等角的余角相等得到，然后利用得到； （2）利用等面积法计算的长． 【详解】（1）证明：平分， ， 是的高， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ，， ， ． 即的长度为． 10．（24-25八年级上·湖南湘西·期末）如图所示，在中，，垂足为D． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求的长． 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理逆定理，等积法求线段的长，熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键： （1）直接利用勾股定理逆定理进行求解即可； （2）利用等积法进行求解即可． 【详解】（1）解是直角三角形，理由如下： ， ， 是直角三角形，且； （2） 是的高 又 ． 11．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，是等腰三角形，，于点D，于点，与相交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求点到边的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，与三角形高有关的计算，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先得到，再由三角形内角和定理得到，再由角度和差计算得到，则； （2）设点到边的距离为，由面积法得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的两条高线， ∴． 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形； （2）解：设点到边的距离为， ∵是的两条高线 ∴ ∵，，， ∴， ∴ ∴ ∴点到边的距离为． 12．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，是的中线，已知． (1)求与的周长之差； (2)若边上的高为，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形中线将与的周长之差转换为和的差即可得出答案； （2）设边上的高为，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：的周长为， 的周长为， ∵是的边上的中线， ∴， ∴； （2）设边上的高为， ∵是的中线， ∴， ∴， 即， 解得． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形的中线，三角形的高等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键． 13．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）为了方便居民出入小区．小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形（如图1）． 米． 米．斜坡的坡角为 计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2所示）．坡面的宽度不变． (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度； (2)改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？ 【答案】(1)米 (2)立方米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，数形结合，正确地作出辅助线利用三角函数定义求解是解题的关键． （1）过作交的延长线于，根据直角三角形的性质得到（米），（米），由，得到（米），于是得到米； （2）根据三角形的面积公式得到平方米，于是得到结论． 【详解】（1）解：过作交的延长线于，如图所示： ∵米，， （米），（米）， 在中，， ∴（米）， 米， 答：改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度为米； （2）解：平方米， 立方米， 答：改建这条斜坡需要立方米的混凝土材料． 14．（24-25八年级上·吉林·期末） [感知]如图①，是的平分线，点P是上任一点，作，，垂足分别为D和E．易知(不需要证明)； [探究]如图②，在中，是它的角平分线．若．求与的面积比； [应用]如图③．的周长是8．、分别平分和．于点D．若，则的面积为______． 【答案】[探究] ；[应用]8 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形面积的计算以及角平分线交点（内心）的性质，解题的关键是灵活运用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，将三角形面积进行分割求解．各小问主要关键步骤： [探究]根据角平分线性质，角平分线上的点到两边距离相等，可知与的高相等，面积比等于底边长的比； [应用]确定O为的内心，内心到三边距离相等，将面积分割为三个小三角形面积之和，利用周长和距离计算总面积． 【详解】[探究] 解：∵是的角平分线， ∴点D到和的距离相等（角平分线性质）． 设点D到、的距离为h， 则， ∴． ∵， ∴与的面积比为． 答：与的面积比为； [应用] 解：∵、分别平分和， ∴点O是的内心，内心到三边的距离相等． ∵，， ∴点O到、的距离也为2． 的面积可分割为、、 的面积之和（如图）， 即 ． ∵的周长是8，即， ∴． 故答案为：8． 15．（2025八年级上·江苏·模拟预测）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 16．（24-25八年级上·北京西城·阶段练习）设的面积为． (1)如图1，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则______．（用含的式子表示） (2)如图2，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则________．（用含的式子表示） (3)如图3，P为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点D、E、F，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到的面积________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题是三角形的综合题，主要考查了面积及等积变换，利用三角形同高则面积比与底边关系分别分析得出是解题关键． （1）利用三角形同高等底面积相等，进而求出即可； （2）利用三角形同高不等底面积比为底边长的比，进而求出即可； （3）利用三角形面积之间关系得出其边长比，得出关于，的方程求出即可． 【详解】（1）如图, 连接， , ，， ， 同理可得出：， ， 故答案为: ； （2）如图，连接， ， 根据等高两三角形的面积比等于底之比， ， ， ， 同理可得出：， ∴； 故答案为: ； （3）如图，过点作于点， ， ， ，即， 同理 ， 设 ，， ，即； ，， ， 又 ， ， 故答案为: ． 17．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，把按如图的方式进行折叠使点A落到上，． (1)连接，与的位置关系是___________； (2)___________°； (3)计算的度数． 【答案】(1) (2)50 (3) 【分析】本题考查了折叠，三角形外角的性质，解题的关键是： （1）根据轴对称的性质求解即可； （2）根据轴对称的性质求解即可； （3）根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图， 由题意知：A、D关于对称， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意知：A、D关于对称，， ∴， 故答案为：50； （3）解：∵，， ∴ ， 又，， ∴． 18．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，将沿直线折叠，使点与点重合，连接．    (1)若，，求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)． (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握性质和三角形的内角和定理是解题的关键． （1）先由三角形的内角和定理求得，再根据折叠的性质，得到，从而即可求解． （2）根据折叠的性质，得到，进而计算周长即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． 由折叠可知，． ∵， ∴． （2）解：由折叠可知，． ∴的周长． 【经典例题三 三角形中折叠的问题】 19．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）（1）如图1，把沿DE折叠，使点A落在点处，试探索与的关系______（不必证明）． （2）如图2，BI平分，CI平分，把折叠，使点A与点I重合，若，求的度数； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可； （2）根据三角形角平分线的性质得出，得出的度数即可； 【详解】（1）∵把沿DE折叠，使点A落在点处， ∴ ∵ 又 ∴； （2）由（1），得， ∴ ∵IB平分，IC平分， ∴ ， ∴ ； 【点睛】本题主要考查了图形的翻折变换的性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键． 20．（24-25八年级上·上海青浦·期末）如图，将长方形纸片（）折叠，使点A与点C重合.折痕与交于点E，与交于点F，点为点D翻折后的对应点． (1)连接，如果，求的度数； (2)连接，如果的面积为s，且，求长方形的面积（用含s的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． （1）根据翻折变换的性质，结合长方形的性质得到，即可解决问题； （2）根据折叠可以得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于底的比得到，进而利用可解决问题． 【详解】（1）解：由折叠可得：， 又∵， ∴， 即； （2）解：连接， 由折叠可得， 又∵， ∴， ∴， ∴． 21．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）【问题再现】 （1）如图①，在中，、的平分线交于点，若，则_______度； 【问题推广】 （2）如图②，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，过点作于点，若，求的度数； （3）如图③，在中，、的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，则_______度． 【答案】[问题再现]（1）；[问题推广]（2）；（3） 【分析】[问题再现]（1）根据三角形的内角和定理可得，根据角平分线的性质可得，在中，根据三角形内角和定理可得，由此可得，代入计算即可求解； [问题推广]（2）根据三角形的外角的性质，角平分线的性质可得，由此可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； （3）根据上述计算可得，根据折叠的性质可得，根据平角的性质可得，由此可得，结合三角形内角和定理可得，由此即可求解． 【详解】解：[问题再现]（1）在中，， ∴， ∵的角平分线交于点， ∴， ∴， 在中，， ∴ ， 故答案为：； [问题推广]（2）∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （3）∵的平分线交于点， ∴由（1）可得，， ∵将沿折叠，使得点与点重合， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、外角的性质，角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，折叠的性质，掌握以上知识，图形几何分析，构造合理的辅助线是解题的关键． 22．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样呢？ 【观察猜想】（1）如图1，在中，．猜想与的大小关系：________； 【操作证明】（2）如图2，将折叠，使边落在上，点落在上的点，折痕交于点，连接．发现：由于，……，根据发现，请证明（1）中所猜想的结论； 【应用结论】（3）在中，已知，那么、、有怎样的大小关系？________（用“”表示出来） 【类比探究】（4）如图3，在中，．小洛同学运用类似的操作进行探究：折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，连接．请证明：． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质等知识点，灵活运用这些性质是解决此题的关键． （1）由图形可猜想； （2）利用三角形的外角的性质，即可得出结论； （3）由（2）知，长边对大角即可得解； （4）先由折叠得出,再利用三角形三边关系，即可得出结论． 【详解】（1）解：由图观察猜想得：, 故答案为：； （2）证明：由折叠可得, , , ； （3）解：由（2）知，长边对大角， 又∵， ∴， 故答案为：； （4）证明：由折叠知，, 在中，, , ． 23．（24-25八年级上·福建福州·期末）综合与实践： 【问题情境】数学课上，老师带领同学们一起探究三角形中边与角之间的不等关系． 【实践探究】如图，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在、上的E点，折线交于点D，则． ∵（想一想为什么）， ∴． 请证明为什么有； 【类比探究】如图，在中，如果，请仿照如上折叠的方法，试证明． 【实践拓展】如图，在中，，按照图1的方式进行折叠，得到折痕，过点D作的平行线交于点M，若，求的度数． 【答案】问题情境：见解析；实践探究：见解析；类比探究： 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，三角形三边关系的应用： 问题情境：由三角形外角的性质可得； 实践探究：证明，如图所示，折叠，使得，交于F，则，由三角形三边关系得到，据此可证明； 类比探究：由折叠的性质可得，则，由三角形外角的性质推出；由平行线的性质和前面的结论证明，由三角形内角和定理得到，则，即可得到． 【详解】解：问题情境：∵， ∴； 实践探究：∵，， ∴； 如图所示，折叠，使得，交于F，则， 在中，， ∴，即； 类比探究：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．（24-25八年级上·全国·单元测试）问题探索(一) 如图1，是的延长线，探索与，之间的数量关系． （1）图 1中，，，则__________； （2）图2中，，，则__________． （3）若，，则_________(用含α，β的式子表示)． 问题探索(二) 如图3，将沿的平分线折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分……不断重复上述操作，若经过第n次操作，余下部分沿的平分线折叠，点与点C 刚好重合，则称是“可折叠三角形”． 例如，图4为一次“可折叠三角形”，图5为二次“可折叠三角形”，图6为三次“可折叠三角形”． 请利用问题探索(一)中的结论，分析解答下列问题： （1）推断图5中，与之间的数量关系，并说明其正确性； （2）直接写出图6中，与之间的数量关系：__________； （3）猜想：若经过n 次折叠，发现是“可折叠三角形”，则与（设）之间的数量关系为__________． 【答案】问题探索（一）：（1）；（2）；（3）；问题探索（二）：（1），理由见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 问题探索（一）：（1）根据三角形的内角和得出的度数，再利用邻角互补解答即可； （2）根据三角形的内角和得出的度数，再利用互补解答即可； （3）根据三角形的内角和得出的度数，再利用互补解答即可； 问题探索（二）：（1）由折叠的性质可得，，再由问题探索（一）可得，即可得解； （2）由折叠的性质可得，，，由问题探索（一）可得：，，即可得解； （3）根据（1）（2）总结得出规律即可． 【详解】解：问题探索（一）： （1）∵，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴； （3）∵，， ∴ ∴； 问题探索（二）： （1），理由如下： ∵将沿的平分线折叠， ∴， ∵将余下部分沿的平分线折叠，此时点与点重合， ∴， 由问题探索（一）可得：， ∴； （2）∵将沿的平分线折叠， ∴， ∵将余下部分沿的平分线折叠， ∴， ∵将余下部分沿的平分线折叠，此时点与点重合， ∴， 由问题探索（一）可得：， ∴， 由问题探索（一）可得：， ∴； （3）结合（1）（2）可得：猜想：若经过n 次折叠，发现是“可折叠三角形”，则与（设）之间的数量关系为． 【经典例题四 三角形内角和定理的应用】 25．（25-26八年级上·全国·周测）如下图，D，E，F分别是三边延长线上的点，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，通过角度的和差关系与代数运算是解题的关键． 首先根据三角形外角的性质，建立等式关系，将的三个角分别用含有的关系式表达出来，再根据三角形内角和为，得到，代入含有的关系式，进行化简运算即可． 【详解】解：， ． ， ， ． 故的度数为： 26．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）（1）如图1，在凹四边形中：当时， ； （2）当时，求的度数． 【答案】（1），（2） 【分析】本题主要考查三角形内角和定理； （1）连接，求出，得到，计算即可； （2）同（1）得到，代入即可． 【详解】解：（1）连接，如图， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． （2）由（1）知， ， ， ∴， ∵， ∴． 27．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如果四边形总在其任意一条边所在直线的同一侧，那么这样的四边形叫做凸四边形，如果四边形不在任意一条边所在直线的同一侧，这样的四边形我们称之为凹四边形．下图为凹四边形． (1)求证：； (2)如果点在线段的另一侧，又会有怎样的结论呢？（只写出结论） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形的内角和定理及外角性质，熟练三角形的外角性质是解答的关键． （1）连接并延长到E，利用三角形的外角性质求解即可； （2）画出凸四边形，连接，利用三角形的内角和定理即可． 【详解】（1）证明：连接并延长到E， ∵，， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 即． 28．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）在中： （1）如图，若，，边上的高，交于点O．求的度数； （2）若为钝角，，边上的高，所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量，可知 ，用你已学过的数学知识加以说明； （3）由（1）（2）可以得到什么结论，尝试写出来． 【答案】（1）；（2）画图见解析；；说明见解析；（3）无论是锐角还是钝角，总有 【分析】本题考查了三角形内角和定理、垂线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义得出，由三角形内角和定理得出，再根据三角形外角的定义及性质即可得出答案； （2）由垂线的定义得出，再由三角形内角和定理得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可得解； （3）根据（1）、（2）直接得出结论即可． 【详解】（1）解：∵，边上的高，交于点O． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图所示： ，理由如下： ∵，边上的高，所在直线交于点O， ∴， ∵，， ∴； （3）由（1）（2）可以得到结论：无论是锐角还是钝角，总有． 29．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等面积法的应用； （1）①先求解，再结合垂直的定义和三角形的内角和定理可得答案； ②设，则，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案； （2）由等面积法可得，结合可得答案； 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴； ②∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由见解析； ∵，，， ∴，，， ∵， ∴, ∴. 30．（24-25八年级上·河南郑州·期末）将一副三角板的两块直角三角尺的直角顶点C重合，其中，，． (1)如图1，与的数量关系为______，与的数量关系为______； (2)如图2，三角尺保持不动，绕点C转动三角尺，当平行时，求的度数； (3)三角尺保持不动，绕点C转动三角尺，当与三角尺的一边平行时，请直接写出的所有可能的度数． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，图形的旋转等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）由得出，，进一步得出结果即可； （2）当点和在点C异侧时，延长，交于F，可得出，从而得出，当和在点C同侧时，设交于G，可得出，从而得出∠； （3）分为，同理（2）可得是两种情形；当与时，也是分别两种情形，同理（2）得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图， 延长，交于F， ， ， ， 如图2-2， 设交于G， ， ， ， 综上所述：当时，或； （3）当时， 如图3-1， ， ， 如图3-2， ， ， 当时， 如图3-3， ， ， 如图3-4， ， 由（2）知， 当时，或， 综上所述：或或或或或． 31．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）【概念认识】 如图①，在∠ABC中，若，则叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在中，，若的三分线交于点D，则 °； （2）如图③，在中，分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； 【延伸推广】 （3）在中，是的外角，的三分线所在的直线与三分线所在的直线交于点P．若，，则 °．（用含x、y的代数式表示） 【答案】（1）或；（2）；（3）或或或或． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三等分线， 对于（1），分两种情况：当是“邻三分线”时，根据三角形外角的性质可得，进而得出答案；当是“邻三分线”时，结合可得答案； 对于（2），先根据三角形内角和定理得，再根据三分线的定义可得，进而求出，最后根据三角形内角和定理求出答案； 对于（3），分为四种情况： 情况一：当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，根据可得答案； 情况二：当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，根据可得答案； 情况三：当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 当时，根据可得答案； 当时，根据可得答案； 情况四：当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，根据可得答案. 【详解】解：（1）如图， 当是“邻三分线”时， ∵， ∴； 当是“邻三分线”时， ∵， ∴； 综上所述，或. 故答案为：或； （2）如图， ∵， ∴， ∵分别是邻三分线和邻三分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）分为四种情况： 情况一：如图1， 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 由外角可得：， ∴； 情况二：如图2， 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 由外角可知：， ∴； 情况三： 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 当时，如图3， 由外角可得：， ∴； 当时，如图4， 由外角及对顶角可得：， ∴； 情况四、如图5， 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 由外角可得：， ∴； 综合上述：的度数是或或或或． 故答案为：或或或或． 32．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）【学科融合】 射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． 【应用探究】 有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线． (1)如图2，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．求证． (2)如图3，光线与相交于点P，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定、三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． （1）根据平面镜反射光线的规律得，，再利用，可得，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”证明结论即可； （2）根据三角形内角和定理求得，根据平面镜反射光线的规律得，，再结合平角的定义得出，然后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【经典例题五 三角形角平分线的定义综合应用】 33．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在直角中，，是边上的高，是的角平分线．若，求，的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、三角形的高、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据三角形角平分线的定义确定的值，再根据三角形的高的定义可知，然后由求解即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴． 34．（24-25八年级上·全国·课后作业）任意剪一个三角形，用折叠的方法（如图），画出这个三角形的三条角平分线．你发现了什么？（请与你的同伴交流） 【答案】三条角平分线交于同一点 【分析】根据题意，用折叠的方法，得到三条角平分线，即可求解． 【详解】解：如图， 三条角平分线（折痕）交于同一点 【点睛】本题考查了轴对称的性质，动手操作是解题的关键． 35．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点A、C重合），连接交于点． (1)若是的中线，，求与的周长之差； (2)若是的高，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义得到，利用三角形的周长公式表示出与的周长，两者相减即可得出答案； （2）根据三角形的高的定义得到，根据角平分线的定义得到，再利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴． ∵， ∴的周长，的周长． ∴与的周长之差为 ． （2）解：∵是的高， ∴． ∵是的角平分线， ∴， ∴． 36．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，在中，，垂足为D，， ． (1)求和的度数． (2)若是的平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． （1）根据三角形的内角和得到；根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）解：，， ； ， ， ， ； （2）解：是的平分线， ， ． 37．（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，中，，于，平分交于． (1)当，时，求的度数； (2)猜想：与有什么关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形的角平分线和三角形的高等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先利用三角形内角和定理解得的值，结合平分易知，再求得的值，利用求解即可； （2）结合三角形内角和定理、三角形的高和角平分的定义可知，，再推导，然后根据即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2），理由如下： 解：∵分别是的高和角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 38．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）（1）问题发现：在图①中，在和中，，，，点、、在同一直线上，连接．与全等吗？请证明你的结论． （2）拓展探究：图②中，在和中，，，，、、在同一直线上，为中边上的高且平分，连接． ①求与的数量关系和的度数． ②直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1），见解析；（2）①，；② 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，确定每一问中的两个全等三角形是解本题的关键． （1）先由证出，由证明即可； （2）①先证明，，再结合全等三角形的性质与等腰三角形的性质可得； ②由，，可得，由为中边上的高且平分，可得，可得，结合全等三角形的性质可得． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：①，，， 与都是等腰三角形， ， 在和中，， ， ∴，， 是等腰三角形，， ∴， ∵点、、在同一直线上， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵为中边上的高且平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 39．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）已知，，点为射线上一点． (1)如图，若，，则__________°； (2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则，，之间满足怎样的关系，请说明你的结论； (3)如图，平分，交于点，交于点，且，，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长交于点，根据是的外角求解； （2）根据，可得，再根据是的外角可得，即； （3）设，则，通过三角形的内角和定理得到，由三角形角平分线的定义及得到，求出的值再通过三角形的内角和定理求． 【详解】（1）解：如图，延长交于点， ， ， 是的外角， ， 故答案为：； （2）解：， 理由如下： ， ， 是的外角， ， ； （3）解：， 设，则， ， ，， 又， ， 平分， ， ， ， 即， 解得：， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线的定义，解一元一次方程等知识点，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和定理及三角形外角的性质是解题的关键． 40．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）（1）如图1，在中，，分别是，的平分线，，相交于点．探究与之间的数量关系．（需要写出证明过程） （2）如图2，，分别是的外角，的平分线，，相交于点．直接写出与之间的数量关系．（不需写出证明过程） （3）如图3，在中，是的平分线，是外角的平分线，，相交于点．直接写出与之间的数量关系．（不需写出证明过程） （4）如图4，，相交于点，，分别是，的平分线，，相交于点．直接写出与，之间的数量关系．（不需写出证明过程） 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的外角性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识． （1）由角平分线的定义可得：，，再根据三角形的内角和求解即可； （2）由角平分线的定义可得：，，根据平角的定义得到：，，推出，，最后根据三角形的内角和求解即可； （3）由角平分线的定义可得：，，根据平角的定义得到：，推出，进而得到，最后根据，即可求解； （4）由角平分线的定义可得：，，根据三角形的外角性质可得： ，，即可求解． 【详解】解：（1），证明如下： ，分别是，的平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2），证明如下： ，分别是的外角，的平分线， ，，，， ，， ， ， ， ， ， , ； （3），证明如下： 是的平分线，是外角的平分线， ，， 是的外角， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4），证明如下： ，分别是，的平分线， ，， 由题意得：，， ， 又，， ， ． 【经典例题六 三角形三边关系的应用】 41．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）已知，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形两边之和大于第三边得出，，，，计算得出，即可得证，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】证明：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ， 与的和小于四边形的周长． 42．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，已知D、E是内的两点，问成立吗？请说明理由． 【答案】成立，见解析 【分析】考查三角形的边的不等关系时，要注意三角形的三边关系结合图形，反复运用三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”进行证明． 【详解】解：，理由如下： 延长交于点F、延长交于G， 在中：①， 在中：②， 在中：③， ∵， ∴①②③得： ， 即：， ， ∴． 43．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长少，且与的和为． (1)求的长； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，三角形三边数量关系，理解中线的有关计算，掌握中线有关的计算，三角形三边数量关系是解题的关键． （1）根据是边上的中线得，，由此三角形周长的计算方法可得①，②，联立①②得方程组，由此求解即可； （2）根据三角形三边数量关系，中线的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴， ∴①， ∵与的和为，即②， ∴联立①②得，， 解得，； （2）解：由（1）可得，， ∴，即， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 44．（2025八年级上·全国·模拟预测）实践教育：为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境．数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的不同规格的三角形框架． 数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下， 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价/（元/根） 6 8 (1)根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有_________种制作方案． (2)若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？ 【答案】(1)2 (2)购买铁条共需元 【分析】本题考查三角形三边关系，有理数加法的实际应用． （1）根据构成三角形的三边关系求出第三边的取值范围，再根据题意取值即可； （2）根据（1）的方案，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：设第三边长为， 则，即， 第三边长为奇数规格有：3和5， 共有2种制作方案； （2）解：当三角形框架的边长为：时， 所需费用为：（元）； 当三角形框架的边长为：时， 所需费用为：（元）； 每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需（元）， 答：购买铁条共需元． 45．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，则的度数是 度； (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可求解； （）①根据线段垂直平分线的性质可得，然后求出的周长，再代入数据进行计算即可得解；②当点与重合时，周长的值最小，据此解答即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，的周长是， ∴； ②当点与重合时，周长的值最小， 理由：∵，， ∴与重合时，，此时最小， ∴周长的最小值． 46．（24-25八年级上·吉林四平·期末）在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． (1)小明想把木棒剪成三段，第一段长，第二段的长比第一段的3倍少．试判断第一段的长能否为，并说明理由； (2)小亮先把木棒剪成如图所示的和的两段，现要将木棒从处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的的整数长度． 【答案】(1)第一段的长不能为，理由见解析 (2)符合条件的的整数长度为或或 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）先计算出三个木棒的长度，然后根据三角形三边关系判断即可得解； （2）设，则，先求出，即可得解． 【详解】（1）解：第一段的长不能为； 理由如下： 根据题意，第一段长，第二段的长，第三段的长为， 当时，，， ∵， ∴三个木棒不能制作一个三角形木框， ∴第一段的长不能为； （2）解：设，则， ∵、、能组成三角形， ∴且， 解得， ∴整数为或或， 即符合条件的的整数长度为或或． 47．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）【初步探索】 （1）如图1，是的中线，探究与的大小关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长至点E，使，连接，先证明，可得出结论，他的结论应是__________ 【灵活运用】 （2）如图2，是的中线，E、F分别在上，且，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，为的角平分线，直线于点A，点E为上一点（与点A不重合），周长记为a，周长记为b，比较a与b的数量关系并证明．    【答案】（1），详见解析 （2）详见解析 （3），详见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可； （2）延长至G，使得，连接，根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可； （3）分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）延长至点E，使，连接，    在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （2）延长至G，使得，连接    在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中 ∴， ∴， 在中，两边之和大于第三边，   ∴ 又∵， ∴ （3）①点E在点A右侧时 延长到F，使，连接，   ， 在和中， ， ∴， ∴ ∵为三边， ∴， ∴， ∴， ∴ 即 ②点E在点A左侧时，延长到F，使，连接，   ， 在和中， ， ∴， ∴ ∵为三边， ∴， ∴， ∴， ∴ 即 综上， 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 48．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）我知道，在一个三角形中，①相等的边对的角也相等，②相等的角所对的边也相等． 【问题提出】一个三角形中，①假如两条边不相等，那么这两条边所对的角大小关系如何？ ②假如两个角不相等，那么它们所对的边大小关系又如何？ 【实验探究】如图1，在中，边对，边对，，与有什么样的大小关系呢？ 类比等腰三角形折纸的经验，我们又能够怎样经过折叠比较出与的大小呢？同学们分小组议论沟通，并说明自己是如何经过折纸比较的． 方法一：如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上． 方法二：如图3，将沿边的高翻折，使点落到边上处， 方法三：如图4，将沿的平分线翻折使点落到边上处． 方法四：如图5，在上截取，连接． 方法五：如图6，延长至点，使得，连接． 【问题解决】 （1）选择上述一种方法说明：在中，若，则． （2）尝试说明：在中，若，则． 【知识迁移】 （3）已知：在中，，点为边上一点，，若，试用上面的方法求出的长． 【答案】（1）见解析  （2）见解析  （3） 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，翻折的性质，三角形三边的关系，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）方法一利用翻折可以得到，然后比较角的大小；方法二、三由折叠可得，然后利用三角形的外角大于与它不相邻的内角解题；方法四、五截取，然后根据三角形的外角大于与它不相邻的内角解题； （2）如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上．然后得到点在线段上，再根据三角形的两边之和大于第三边解题即可； （3）延长到，使得，连接，则可得到，，然后证明解题即可． 【详解】（1）方法一：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴； 方法二：将沿边的高翻折， ∴， 又∵是的外角， ∴， ∴； 方法三：由折叠可得， ∵是的外角， ∴， ∴； 方法四：∵， ∴， 又∵是的外角， ∴， 又∵， ∴； 方法五：∵， ∴， 又∵是的外角， ∴， 又∵， ∴； （2）如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上． 则∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在线段上， 根据三角形的两边之和大于第三边可得， 又∵， ∴； （3）解：延长到，使得，连接， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题七 三角形内角与外角的综合应用】 49．（2025八年级上·全国·模拟预测）如下图，在中，，外角的平分线交的延长线于点D，外角的平分线交的延长线于点H．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、角的和差等知识点，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 根据角平分线的定义和已知条件求出的度数，根据已知，从而得出的度数，再根据角平分线的定义，求得度数，最后通过三角形外角的性质求得∠AHC的度数. 【详解】解： ． 平分 ． ． 平分． 50．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，是的角平分线，为延长线上一点，于点． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质及直角三角形的性质，解题的关键是通过角之间的关系逐步推导，利用直角三角形两锐角互余求出目标角的度数． （1）先求，再得；利用外角性质求；结合，由直角三角形互余关系求． （2）用和内角和表示，同（1）的推导逻辑求． 【详解】（1）∵在中，， ∴ ∵ 是角平分线 ∴ ∵ 是 的外角 ∴ ∵ ∴ ∴ （2）设，则 ∵ ∴ ∵ 是角平分线 ∴ ∵ ∵ ∴ 51．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，，，是边上的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)是的角平分线，与交于点．求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，三角形高线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为． （1）根据角平分线定义求出，然后在中，利用三角形内角和定理求得的度数，根据即可求解； （2）根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：在中，，是的平分线， ， ∵是边上的高， ∴， ∴， ． （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 52．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，平分交于点． (1)若点为线段上的一个点，过点作交的延长线于点． ①若，，则___________； ②写出与、之间的数量关系，并说明理由． (2)若点在线段的延长线上，过点作交直线于点，请你直接写出与的数量关系__________． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角. （1）①三角形的内角和求出的度数，平分线求出的度数，外角求出的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余，求出的度数即可；②仿照①法，进行求解即可； （2）利用三角形的内角和定理，角平分线的性质和三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； ②，证明如下： ∵平分，， ∴， ∵， ∵， ∴； （2）如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∵， ∴． 故答案为：. 53．（24-25八年级上·河南三门峡·阶段练习）如图（1）已知的外角与的平分线相交于点P，如图（2）已知的内角与外角的角平分线相交于点P． 选择其中一个图形猜想与的关系并证明你的猜想． 解：我选择的是_________，猜想结论：_________． 证明： 【答案】图（1），结论：或图（2），结论：．证明见解析． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义和三角形的外角的性质．熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角的性质是解题的关键． （1）图（1）中，根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质进行推导，得； （2）图（2）中，根据角平分线定义和三角形的外角的性质，可以得到． 【详解】解：图（1），结论：． 证明如下： ，， ． ，分别是外角，的角平分线， ． 即：； 图（2），结论：． 证明如下： ，分别是的内角与外角的角平分线， ，． 是的外角， ． ， ． 故答案为：图（1），结论：或图（2），结论：． 54．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）将三角尺（，）放置在上（点D在内），如图1，三角尺的两边，恰好经过点B和点C．我们来探究：与是否存在某种数量关系． (1)特例探索：当时，______°，______°； (2)类比探索：写出，与之间的数量关系，并说明理由； (3)变式探索：如图2，改变三角尺的位置，使点D在外，三角尺的两边，仍恰好经过点B和点C，写出，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)90；54 (2)．理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角板中角度的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在中利用三角形内角和即可求出的度数，再根据三角形内角和得到得到，进而求出最后结果． （2）利用得到的度数，再根据三角形内角和定理得出，进而得到结论． （3）设交于点O，根据对顶角相等得到，进而得到从而得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：90，54； （2）．理由如下： ， ． ， ， ， ． （3）．理由如下： 设交于点O，如图． ， ，即， ． 55．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图1，与摆放在一起，点A、C、E在同一直线上，其中，，．如图2，固定，将绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角（）． (1)当时， °； (2)在旋转过程中，试探究与之间的关系； ①当时，如图2，，，∴， ②当时，试探究与之间的关系，并说明理由； ③当时，直接写出与之间的关系； (3)当的边与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α所有可能的度数． 【答案】(1)35 (2)②；③； (3)或或 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，掌握平行线的性质，三角形内角和定理是正确解答的关键． （1）根据旋转角的定义进行教师即可； （2）根据旋转过程中各个角之间的变化关系进行解答即可； （3）在旋转过程中，画出的边与的某一边平行（不共线）的所有可能出现的情况图，再根据各个角之间的关系进行计算即可． 【详解】（1）如图2，当时，， 即， 故答案为：35； （2）②当时，如图3， ， 即， 故答案为：； ③当时，如图4， ，， ∴， 故答案为：； （3）当时，如图 此时旋转角α，即； 当时，如图 此时旋转角α，即； 当时，如图 此时旋转角α，即； 综上所述，当的边与的某一边平行（不共线）时，旋转角α为或或． 56．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 【问题情境】 自行车的尾灯自身并不发光，但当强光照射到尾灯上时光线会被强烈地反射回去，从而起到提醒汽车驾驶员的目的．这一效果正是利用了角反射器的原理．最简单的角反射器是由两个互相垂直的平面镜组成的． 【数学探究】 如图，入射光线经过两次反射后，得到光线，已知，． (1)如图1，是两个互相垂直的平面镜，， ①若，求的度数． ②试判断入射光线和反射光线是否平行，并说明理由． (2)如图2，改变镜子位置，设平面镜的夹角，，，求的值（用含有或的代数式表示）． 【答案】(1)①20° ②平行，理由见解析 (2) 【分析】此题考查平行线的应用−求角度；平行线的应用−证明问题 （1）①要求就是要求，那么放在中来看，只要知道即可，而，问题就迎刃而解了． ②这一问利用两个平角的和减去四个小角得到同旁内角（）互补，从而说明两直线平行； （2）本题是在第（1）问的基础上对条件作一些改变，使相关的角的度数一般化，解题思路并不复杂，只需要用含字母的代数式分别表示出，再将两者相加即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②； 理由如下：∵， ， ∴， ∵ ∴ ∴ （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴           ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$