专题04 三角形的几何模型专训专题（8大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

专题04 三角形的几何模型专训专题 （8大题型+15道拓展培优题） 题型一 八字型 题型二 燕尾型 题型三 飞镖型 题型四 箭头四角型 题型五 双内角平分线模型 题型六 双外角平分线模型 题型七 一内一外角平分线型 题型八 中位线型 【经典例题一 八字型】 【例1】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图①，已知线段、相交于点O，连接、，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题：    (1)在图①中写出、、、之间的等量关系为________． (2)如图②，和的平分线和相交于点P，并与、分别交于点M、N． ①若，，求的度数； ②探究与、之间有何等量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）①根据（1）的关系式求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解； ②根据“8字形”用、表示出，再用、表示出，然后根据角平分线的定义可得，然后整理即可得证． 【详解】（1）解：，， 又∵， ； （2）解：①，， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ； ②；理由如下： 根据“8字形”数量关系，，， ∴，， 、分别是和的角平分线， ，， ， 整理得，， ． 1．（2025八年级上·黑龙江·模拟预测）如图①，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：； (2)如图②，求的度数； (3)如图③，若和的平分线和相交于点，且与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有___________个，以点为交点的“8字型”有___________个； ②若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①3，4，② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为． （1）根据三角形内角和定理证明即可； （2）根据三角形内角和定理进行解答即可； （3）①根据“8字形”图形的定义进行解答即可； ②根据解析（1）的结论，得出，，根据角平分线的定义得出：，，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：，，且， ． （2）解：，， ． （3）解：①以线段为边的“8字形”有： ，，，共3个； 以点O为交点的“8字形”有： ，，，，共4个． 故答案为：3；4； ②解：以点为交点的“8字型”中， 有， 以点为交点的“8字型”中， 有， ． 分别平分和， ， ． ， ． 2．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）在课本第七章第5节中，我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：是的一个外角（如图1），则．    (1)如图2，线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“8字型”，请仔细观察该图形，直接写出之间的数量关系 　 　． (2)如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状，若，运用（1）中得出的数量关系，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形外角的性质即可找到之间的数量关系． （2）连接EF，可以把四个角之和集中在一个中，然后通过，即可求解． 【详解】（1）∵是的外角， ∴， ∴； 故答案为：； （2）连接，如图，    由（1）的结论可得：， ， ∵， ∴ ， 即， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质妙用，作恰当的辅助线，使所求角之和集中在一起是解题的关键． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图1是常见的“8字型”平面图形，设的交点为，根据“三角形的内角和”等相关几何知识，易证得这个重要数学结论． (1)【模型求解】如图2，线段位于四边形内部，连结交于点，运用上述结论，求出的度数； (2)【构造模型】如图3是常见的“五角星”平面图形，求出的角度之和（要求：用两种思路进行求解）． (3)【拓展运用】若将图3中“五角星”的五个角截去，得到如图4，请求出图4中的角度之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线构造三角形和“8”字模型是解答此题的关键． （1）利用“8”字模型和四边形内角和进行计算即可； （2）连接，构造三角形和“8”字模型即可求解； （3）构造三角形，利用（2）中的结论可得结论． 【详解】（1）解：（1）由“8字型”可知，， ； （2）如图3：连接， 由（1）得：， ， ， 即五角星的五个内角之和为． （3）如图4，延长，于点，延长，于点，延长，于点，延长，于点，延长，于点， 由（3）得， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ． 【经典例题二 燕尾型】 【例2】（24-25八年级上·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的外角性质及三角形内角和定理， （1）连接，并延长，如图①所示：根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形内角和定理即可得到结论； （3）连接，如图③所示：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接，并延长，如图①所示： ∵是的外角， ∴①， ∵是的外角， ∴②， ①②，得：， 即； （2）解：如图，设交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 由（1）知：， ∴椅面和椅背的夹角的度数为； （3）连接，如图③所示： ∵，， 由（1）知： ③， ④， ③+④，得：， ∴， 即的度数为． 1．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）（燕尾模型）如图，在中，，那么的面积是阴影三角形面积的多少倍？ 【答案】7 【分析】本题考查常规图形面积的计算问题，难点在于不易把握边长间的关系.“如图，连接，可以求出与及与之间的面积比，从而得到三者的面积比，三者的面积和为的面积，从而可以求出的面积，同理可求和的面积，从而可以求出阴影部分面积． 【详解】解：如图，连接， 所以，， ， 所以，， 又， 所以，， 同理，， 所以，阴影部分面积， 即的面积是阴影部分面积的7倍， 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题： (1)用图①证明：； (2)在图①中，若平分，平分，与交于E点，运用（1）的结论写出、和之间的关系，并说明理由； (3)如图②，若，，试探索，和三个角之间的关系为______（直接写出结果即可）． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的定义，解答的关键是熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． （1）根据三角形内角和定理得，，即，即可求得，则容易得到； （2）用题中给出的结论表示出与，再把两式相减即可得出结论； （3）利用题中给出的结论解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 在中，， ； 在中， ， 即， 而， ， 即． （2），理由如下： 由题意得，①， ②， 平分，平分， ，， ①②得，， ； （3），理由： ，， ，， ①， ②， ②①得， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解读基础： （1）图1形似燕尾，我们称之为“燕尾形”，请写出、、、之间的关系，并说明理由； （2）图2形似8字，我们称之为“八字形”，请写出、、、之间的关系，并说明理由： 应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题 （3）①如图3，在中，、分别平分和，请直接写出和的关系　　； ②如图4，　　． （4）如图5，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，已知，，求和的度数． 【答案】（1），理由详见解析；（2），理由详见解析：（3）①；②360°；（4）； . 【分析】（1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论； （2）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结论； （3）①根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可得出结论； ②连结BE，由（2）的结论及四边形内角和为360°即可得出结论； （4）根据（1）的结论、角平分线的性质以及三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】（1）．理由如下： 如图1，，， ， ； （2）．理由如下： 在中，， 在中，， ， ； （3）①，， 、分别平分和， ， ． 故答案为． ②连结． ∵， ． 故答案为； （4）由（1）知，， ，， ， ， ，， ， ， ， ； ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和；熟练掌握角平分线的性质，进行合理的等量代换是解题的关键． 【经典例题三 飞镖型】 【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图是一个“飞镖形”四边形．用两种不同的方法证明． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及三角形外角性质，几何图形的角度运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．方法一：运用三角形内角和得，再结合角的和差关系进行列式整理，即可作答．方法二：运用三角形外角性质得，，再结合等式的性质进行整理，即可作答． 【详解】解：方法一：如图①，连接． 在中，（三角形内角和等于）， 在中，（三角形内角和等于）， （等量代换）． （等式的性质）， 即． 方法二：如图②，连接并延长． 依题意，，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， （等式的性质）， 即． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）四条线段、、、首尾顺次相接，组成以下图形，填空： (1)当点、、三点共线时，如图①，__________°；    (2)当点、、三点不共线时， ①如图②（“飞镖”形），与、、之间的数量关系是__________，并说明理由； ②如图③，__________； (3)当点在线段上时，如图④，与、之间的数量关系是_____； (4)当线段与相交时，如图⑤（“8字”形），、与、之间的数量关系是__________． 【答案】(1)180 (2)①，理由见解析；②360 (3) (4) 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用； （1）由三角形的内角和定理可得答案； （2）①如图，作射线，利用三角形的内角和与平角的含义可得：，，再利用角的和差运算可得结论；②如图，连接，利用三角形的内角和定理可得答案； （3）利用三角形的内角和定理与平角的含义可得答案； （4）利用三角形的内角和定理可得，，再进一步可得结论． 【详解】（1）解：当点、、三点共线时，如图①，； （2）解：①如图，作射线， ∵，， ∴，， ∴； ②如图，连接， ∵，， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴； （4）解：如图，记的交点为， ∵，，， ∴ 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 有趣的“飞镖图” 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . . 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ 任务： (1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ； (2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； (3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小． 【答案】(1)三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°）； (2)见解析； (3)70° 【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据三角形外角的性质可得∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，从而得到∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即可求证； （3）由（2）可得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，从而得到∠CAE+∠CBF=110°-∠ C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，再由AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，可得150°-∠C=2（110°-∠ C），即可求解． 【详解】（1）解：三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°） （2）证明：连接 CD 并延长至 F， ∵∠1 和∠2 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角， ∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B， ∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B， 即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB ； （3）解：由（2）得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C， ∵∠ADB=150°，∠AGB=110°， ∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°， ∴∠CAE+∠CBF=110°-∠ C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C， ∵AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线， ∴∠CAD =2∠CAE，∠CBD=2∠CBF， ∴∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF）， ∴150°-∠C=2（110°-∠ C）， 解得：∠C=70°． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期末）【问题呈现】如图①，四边形形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即． 【探究推理】方法一：如图②，连结． ∵在中，， ∴． 又∵在中，， ∴， ∴， ∴． 即． 方法二：如图③，连结并延长至F． ∵与分别为和的外角， … （1）“方法一”主要依据的数学定理是 ； （2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】 （3）如图④， ； （4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度． 【答案】（1）三角形的内角和等于 ；（2）推理过程见解析；（3）；（4）减少，10 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，作出辅助线构造出三角形是解本题的关键． （1）根据三角形内角和定理，即可得出结论； （2）根据三角形的外角的性质，即可得出结论； （3）根据三角形的外角性质，可以得到∠A+∠B=∠2，∠D+∠E=∠1，再结合三角形的内角和定理，可以得到∠1+∠2+∠C=180°，即可得到答案； （4）延长，交于点G，依据三角形的内角和定理可求，根据对顶角相等可得，利用得到的度数，可得的度数，从而得出结论． 【详解】解：（1）三角形的内角和等于 ， 故答案为：三角形的内角和等于； （2）∵， ∴， ∵， ∴； （3）如图，延长交于点F， ∵， ∴， 故答案为：； （4）延长，交于点G，如图： ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 而图中， ∴应减少． 故答案为：减少，10． 【经典例题四 箭头四角型】 【例4】（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． (1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图中与，，之间的关系，并说明理由； (2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： 如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 如图，，的三等分线，相交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)；． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形的内角和定理即可求解； （）根据（）中结论即可求解； 设，，根据（）中结论即可求解． 【详解】（1）解：，理由： 连接， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：由（）得， ∵，， ∴， 故答案为：； 如图，设，， 由（）可知，， ∴， ∵， ∴． 1．（24-25八年级上·山东济宁·期中）【特例研究】 （1）如图1，直线经过点，，，， ①求，，的度数 ②三角形三个内角，，度数的和为_____； 【拓广探索】 在小学，通过度量或剪拼的方法，可以验证一个三角形的内角和都等于．但是，由于测量常常有误差，这种“验证”不是“数学证明”，不能完全让人信服，因此需要用推理的方法进行证明．学习完平行线的性质后，我们可以借助平行线的性质来推理验证这一结论． 请根据（1）中的解题思路，尝试完成证明； （2）如图2，已知三角形，求证：； 【启发应用】 （3）如图3，在所示的“箭头”图形中，，，，直接写出的度数． 【答案】（1）①，；②；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是关键． （1）①由平行线的性质和平角的定义进行解答即可；②由平行线的性质和平角的定义进行解答即可； （2）过点C作直线，则，根据平角的定义即可证明结论； （3）延长分别交于点H，Q，根据三角形外角的性质求出过点G作，则，得，从而可求出． 【详解】（1）解：①解：∵，，， ∴， ∴ ②∵， ∴， ∴ 故答案为： （2）证明：如图，过点C作直线， ∴， ∴ （3）解：延长分别交于点H，Q，如图， ∵，， ∴ 过点G作， ∵， ∴， ∴， ∴， 2．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． 探究： （1）观察“箭头四角形”，试探究与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由； 应用： （2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺XYZ放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则 ； ②如图3，、的2等分线（即角平分线）、相交于点，若，，求的度数； 拓展： （3）如图4，，分别是、的2020等分线（），它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 度． 【答案】（1），理由见详解；（2）①30；②；（3）． 【分析】（1）如图（见解析），先根据三角形的外角性质可得，，再根据等量代换即可得出答案； （2）①根据（1）的结论可得，由此即可得出答案； ②先根据（1）的结论可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据（1）的结论即可得； （3）先根据（1）的结论可得，再根据角2020等分线的定义可得，然后根据（1）的结论即可得． 【详解】（1），理由如下： 如图，延长BD交AC于点E， 由三角形的外角性质得：，， 则； （2）①由题意得：， 由（1）可知，， ， ， 解得， 故答案为：30； ②由（1）可知，， ，， ， 解得， 、分别是、的2等分线（即角平分线）， ， ， 又由（1）可知，， 即的度数为； （3）由（1）可知，， ， ， 解得， ，分别是、的2020等分线（）， ， ， 又由（1）可知，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义、角n等分线的定义等知识点，较难的是题（3），掌握理解角n等分线的定义是解题关键． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 (1)直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； (2)拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 【答案】(1)①110；②260 (2)①85；②99；③142；④ 【分析】（1）①根据题干中的等式直接计算即可；②同理可得，代入计算即可； （2）①同理可得，代入计算可得； ②同理可得，代入计算即可； ③利用计算可得； ④根据两个凹四边形和得到两个等式，联立可得结论． 【详解】（1）解：（1）①； ②；    （2）① ； ② ； ③ ； ④， ， 联立得：． 所以． 【点睛】本题主要考查了新定义—箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质． 【经典例题五 双内角平分线模型】 【例5】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，过点A作，，垂足分别为F，G，连接． (1)如图1：延长、，与直线相交于M、N，若、分别是的外角平分线，试说明：； (2)如图2，若、分别是的内角平分线，则线段与三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想； (3)如图3，若为的内角平分线，为的外角平分线，直接写出线段与三边的数量关系是 ． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据证明，推出，，同理，，然后根据中位线的性质即可得出答案； （2）延长，，与直线分别交于点M，N，与（1）类似可以证出答案； （3）延长，，与直线分别交于点M，N，与（1）方法类同即可证出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ∴， ∴，． 同理，，， ∴是的中位线， ∴． （2）解：猜想：． 证明：如图2，延长，，与直线分别交于点M，N． ∵， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴，． 同理，，， ∴是的中位线， ∴． （3）解： 如图3，延长，，与直线分别交于点M，N． ∵， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴，． 同理，，， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的性质和判定，三角形中位线的判定以及性质等知识点，解此题的关键是作辅助线构造全等三角形求解． 1．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB>∠ABC，三条内角平分线AD，BE，CF相交于点I. (1)若∠ABE＝25°，求∠DIC的度数； (2)在(1)的条件下，图中互余的角有多少对？列举出来； (3)过I点作IH⊥BC，垂足为H，试问∠BID与∠HIC相等吗？为什么？ (4)G是AD延长线上一点，过G点作GP⊥BC，垂足为P，试探究∠G与∠ABC，∠ACB之间的数量关系，直接写出结论，不需证明． 【答案】（1）65°；（2）12对，祥见解析；（3）相等，理由见解析（4）∠G＝(∠ACB－∠ABC)，理由见解析. 【分析】（1）先由角平分线的定义求出∠ABC＝50°，再由三角形内角和和角平分线的定义可知∠IAC＋∠ICA=65°，然后由三角形外角的性质解答即可； （2）根据互余两个角的和等于90°，结合（1）中求得的结论求解即可； （3）由(2)知∠BID＝90°－∠BCF，又由IH⊥BC得∠HIC＝90°－∠BCF从而可证BID与∠HIC相等； （4）由三角形外角的性质可得∠PDG=∠ABC+∠BAD=90°+∠ABC-∠ACB，由直角三角形两直角互余可得∠G＝90°-∠PDG，整理可得∠G＝(∠ACB－∠ABC). 【详解】解：(1)∵BE平分∠ABC，∠ABE＝25°， ∴∠ABC＝50°. ∴∠BAC＋∠ACB＝130°. ∵AD平分∠BAC，CF平分∠ACB， ∴∠IAC＝∠BAC，∠ICA＝∠ACB， ∴∠IAC＋∠ICA＝ (∠BAC＋∠ACB)＝×130°＝65°， ∴∠DIC＝∠IAC＋∠ICA＝65°. (2)由(1)知∠DIC与∠ABE互余，则∠DIC与∠EBC互余． 又∵∠DIC＝∠AIF， ∴∠AIF与∠ABE互余，∠AIF与∠EBC互余． 同理，∠BID与∠ACF，∠BCF互余；∠AIE与∠ACF，∠BCF互余；∠CIE与∠BAD，∠CAD互余；∠BIF与∠BAD，∠CAD互余，一共有12对互余的角． (3)由(2)知∠BID＝90°－∠BCF，∵IH⊥BC， ∴∠HIC＝90°－∠BCF.∴∠BID＝∠HIC. (4) ∠G＝(∠ACB－∠ABC). 理由： ∵AI平分∠BAC， ∴∠BAD=∠BAC， ∴∠PDG=∠ABC+∠BAD =∠ABC+∠BAC =∠ABC+(180°-∠ABC-∠ACB) =90°+∠ABC-∠ACB. ∵GP⊥BC， ∴∠G＝90°-∠PDG ＝90°-(90°+∠ABC-∠ACB) =(∠ACB－∠ABC)． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余等知识点，难度一般，熟练掌握各知识点是解答本题的关键. 2．（24-25八年级上·浙江金华·期中）我们把三角形的一条高线关于与其共顶点的内角平分线的对称线段所在直线叫做该三角形的倍角高线． (1)如图1，分别为的高线和角平分线，若为的倍角高线． ①根据定义可得 ， （填写图中某个角）； ②若，求证：为等腰三角形． (2)如图2，在钝角中，为钝角，，若分别为的高线和角平分线，倍角高线交直线于点E，若，，求线段的长． (3)在中，若，倍角高线交直线于点E，当为等腰三角形，且时，求线段的长． 【答案】(1)①，；②见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）①根据“三角形的倍角高线”的概念可得出，再根据角平分线的定义可得出，从而得出；②欲证明为等腰三角形，只需推出即可； （2）过点E作交的延长线于点G，易得，从而可证，．设，则，再根据勾股定理可求出，．由题意，可求出x的值，进而可求的长； （3）分类讨论：情况一：当时，情况二：当时和情况三：当时，根据倍角高线的定义，勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：①∵为的倍角高线． ∴． ∵分别为的角平分线， ∴， ∴，即． 故答案为：，； ②∵， ∴，即． 由（1）可知， ∴， ∴，即为等腰三角形； （2）解：如图，过点E作交的延长线于点G， 由（1）同理易得． ∵，为的高线， ∴， ∴． ∵，即， ∴． 设，则， ∴，． ∵， ∴， 解得：， ∴； （3）解：分类情况讨论，情况一：当时， ∵为三角形的倍角高线， ∴作，如图， ∴可得， ∴． ∵，，， ∴； 情况二：当时， 作，过C作的垂线交的延长线于点F，如图， ∵为的倍角高线， ∴， ∴， ∴． 则可设， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 情况三：当时， 作，于点F，如图， ∵为的倍角高线， ∴， ∴， ∴可设． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上可知，线段的长为或或． 【点睛】本题考查角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识．注意题中辅助线的作法是解题的难点．另外解答（3）题时，一定要分类讨论，以防漏解． 3．（24-25八年级上·贵州·期末）如图1，、是的外角平分线，过点A分别作，，垂足分别为F，G，连接，延长，．与直线分别交于点M，N．    (1)试说明：． (2)如图2，若、是的内角平分线，则线段的长与的三边长之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．    (3)如图3，若为的内角平分线，为的外角平分线，则线段的长与的三边长之间的数量关系是______．    【答案】(1)见解析 (2)猜想：．证明见解析 (3) 【分析】（1）根据证明，推出，，同理，，然后根据中位线的性质即可得出答案； （2）延长，，与直线分别交于点M，N，与（1）类似可以证出答案； （3）延长，，与直线分别交于点M，N，与（1）方法类同即可证出答案． 【详解】（1）∵， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ∴， ∴，． 同理，，， ∴是的中位线， ∴． （2）猜想：． 证明：如图2，延长，，与直线分别交于点M，N．    ∵， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴，． 同理，，， ∴是的中位线， ∴． （3） 如图3，延长，，与直线分别交于点M，N．    ∵， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴，． 同理，，， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是作辅助线构造全等三角形求解． 【经典例题六 双外角平分线模型】 【例6】（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，． (1)如图1，当是的内角平分线时，交于点P，求证：； (2)如图2，当是的外角平分线时，连结和，猜想与的大小关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理及其性质以及三角形三边的关系，解题的关键是作出合理的辅助图． （1）如图所示，在上取点D，使，证明出，得到，，然后利用三角形三边关系求解即可； （2）延长至点E，使，连接，求证，得出，再利用三角形三条边的关系即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，在上取点D，使 ∵是的内角平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴； （2）解：．理由如下： 如图所示，延长至点E，使，连接． 是的外角平分线， ． 在和中， ， ． ． 在，． ∴， ，， ． 1．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，在中，，是，平分线的交点． (1) ； (2)若是两条外角平分线的交点，则         ； (3)在（2）的条件下，若是内角和外角的平分线的交点，试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析． 【分析】（1）根据角平分线的定义可求得，据此即可求得答案． （2）根据三角形的外角的性质可求得的值，根据角平分线的定义可求得，据此即可求得答案． （3）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质可求得，结合即可求得答案． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． （2）∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴． ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． （3），理由如下： ∵是的平分线， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵是的外角， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、三角形的外角的性质、三角形内角和定理，牢记三角形的外角的性质（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和）是解题的关键． 2．（24-25八年级上·山东德州·期中）在中，． (1)如图①，当，为的角平分线时，在上截取，连接，则线段，，之间的数量关系是______； (2)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明： (3)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）证，则可得，，又由，，所以，即，易证，则可求得； （2）由，则可得，，又由，，所以，即，易证，则可求得； （2）首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求得． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ，，， 又，， ， ， ， ， 即； （2）证明：，理由为： 在上截取，连接，如图②所示， 为的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 则； （3）证明：，理由为： 在上截取，连接，如图③所示， 为的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， 则． 3．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，，的平分线交于点O，过点O作交，于点E，F． (1)图中有______个等腰三角形；猜想与，之间有怎样的关系，请直接写出来； (2)如图2．若，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，请直接写出它们；在第（1）问中与，之间的关系还存在吗?并说明理由； (3)如图3，若中的平分线与三角形外角平分线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．此时与，关系又如何?说明你的理由． 【答案】(1)5； (2)有两个等腰三角形，为，；还成立，理由见解析 (3)；理由见解析 【分析】（1）图中是等腰三角形的有：、、、、共五个，根据平行线的性质，等边对等角即可得出，再根据，即可得出； （2）由，可得，再根据角平分线的定义得出，进而得出，可得为等腰三角形，在中，同理可证； （3）由于，可得，再根据角平分线的定义得出，进而得出，可得是等腰三角形，同理可证是等腰三角形，则，即． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，的平分线交于O点， ∴，； ∵， ∴，， ∴，； ∴、是等腰三角形， ∵，，的平分线交于O点， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴图中是等腰三角形的有：、、、、共五个； 与、的关系是． 理由如下： ∵，，， ∴； 综上可知，图中有5个等腰三角形，； （2）解：还有两个等腰三角形，为、， 如下图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴为等腰三角形， 同理可证是等腰三角形． 与，之间的关系还存在，理由如下： ∵，是等腰三角形， ∴，， ∴． （3） 解：有等腰三角形：、，此时， 如下图所示： ∵， ∴， 又， ∴， ∴是等腰三角形， 同理可证是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，比较综合，难度一般，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质． 【经典例题七 一内一外角平分线型】 【例7】（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． (1)如图1，已知是的角平分线，求证：点G到三边的距离相等； (2)如图2，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接．若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质定理： （1）过点G作，垂足分别为H，M，N，根据角平分线的性质可得，即可求证； （2）过点P作，垂足分别为点E，F，根据角平分线的性质可得，再由角平分线的判定定理可得平分，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 过点G作，垂足分别为H，M，N， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即点G到三边的距离相等； （2）解：如图，过点P作，垂足分别为点E，F， ∵分别是的一个内角及一个外角的平分线，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．如图1，是中的遥望角．    (1)直接写出与的数量关系__________； (2)连接，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析． 【分析】（1）根据和即可求得答案． （2）过点作，，的垂线，分别交的延长线，，于点，，，可证得，，进而可得到平分，进而可求得答案． 【详解】（1）∵，，， ∴． 又， ∴． 故答案为：． （2），理由见解析． 如图所示，过点作，，的垂线，分别交的延长线，，于点，，．    ∵平分，， ∴． 同理可得． ∴． ∴平分． ∴． 又， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义和性质、三角形的外角，牢记角平分线的定义和性质是解题的关键． 2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）【结论发现】 田田在完成教材的试题后发现：三角形一个内角的平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形的第三个内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，是的内角的平分线与外角的平分线的交点，则的度数为______． （2）如图2，在中，，延长至点，延长至点，，的平分线与的平分线及其反向延长线分别交于点，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，平分，平分外角，连接．已知，，请直接写出的度数． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】此题主要考查了角平分线定义，邻补角定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识图，理解角平分线定义，邻补角定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键． （1）设，由角平分线定义得，，， ，由三角形外角定理得，，，则，据此得，因此当时可得的度数； （2）先求出，进而得，再由（1）可知，据此可得的度数； （3）①延长，，并交于点，延长，，并交于点，先求出，，再得出，根据（1）得出，由此可得的度数． 【详解】解：（1）设， 平分，平分， ，，， ，， 整理得：， 当时，， 故答案为：； （2）和是邻补角， ． 平分，平分， ，， ， 即， ． 由（1），可知， ． （3）如图，延长，，并交于点，延长，，并交于点． ，， ． 由（1），可知， ， ． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究一】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是_____． （2）问题提出：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 结合图1猜想：与的数量关系是______． 【问题探究二】 （3）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． （4）问题提出：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 结合图2猜想：与的数量关系是______． 【拓展与应用】 （5）如图3，四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，则_____．（用含，的式子表示） （6）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则_____． 【答案】（1）；（2）；证明见解析；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，轴对称的性质； （1）在中， ，结合角平分线的含义可得，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （2）在中，，求解，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （3）求解，再进一步利用内角和定理可得答案； （4）证明，可得； （5）延长，交于点，由（4）可得：，证明，，结合外角的性质可得，，可得，进一步求解即可； （6）求解，，可得，由（2）得：． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； （2）猜想：，理由如下： 在中，， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； （3）∵与分别是的两个外角，且， ∴， ∴； （4），理由如下： ∵与分别是的两个外角， ∴， ∴； （5）延长，交于点， ∵，， 由（4）可得：， ∵为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （6）∵，结合折叠， ∴，， ∴， ∵平分，平分， 由（2）得：． 【经典例题八 中位线型】 【例8】（2025·吉林松原·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中画的中位线，使点分别在边上； (2)在图②中画的高线． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）根据网格线的特点、矩形性质，先找到的中点，再连接即可； （2）根据网格线的特点，利用全等三角形性质构造过点的斜边等于的直角三角形即可． 【详解】（1）解：如下图所示： 线段即为所求； （2）解：如下图所示： 线段即为所求． 【点睛】本题考查作图的应用和设计，掌握网格线的特点和三角的中位线、高线的定义是解题的关键． 1．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）在证明定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半“时，小明给出如下部分证明过程． 已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点．求证：　 　． 证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF， （1）补全求证； （2）请根据添加的辅助线，写出完整的证明过程； （3）若CE＝3，DE＝4，请你直接写出边AB的取值范围． 【答案】（1），且；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）分析定理的题设和结论即可写出求证；结论是平行于第三边，且等于第三边的一半； （2）倍长类中线构造，根据全等三角形的性质得到，，求得，，从而证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质得出结论； （3）根据三角形三边关系即可得到结论． 【详解】解：（1），且； （2）如图，延长到点，使，连接， 点是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 又， ；． （3）， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的证明、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，倍长类中线构造证明四边形是平行四边形是解题的关键． 2．（24-25八年级上·广西桂林·期末）（1）【模型建立】：三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，点分别是的边、上的中点，即：是的中位线， 由三角形的中位线定理可得结论：_________且________．（请补全结论） （2）【模型应用】：如图2，点、分别是四边形的边、上的中点，点是对角线的中点，．求证：． （3）【模型迁移】：如图3，点、分别是四边形的边、上的中点，，，，直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）答案见解析（3） 【分析】本题主要考查三角形的中位线定理、等边对等角，三角形的外角，勾股定理，解题的关键是掌握相关定理． （1）直接利用三角形中位线定理即可； （2）根据三角形中位线得到，，又根据得到，即可得到答案； （3）连接，作中点，连接，，根据中位线得到，的长度，之后证明，最后利用勾股定理得到的长． 【详解】解：（1）是的中位线， ，； 故答案为：；； （2）点分别是的中位线， , 点分别是的中位线， ， ， ， ； （3）连接，作中点M，连接，， 点是的中位线，， ,， 点分别是的中位线，， ,， ， ， 在直角中，． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，E为BC中点，求AE的取值范围． 【解决问题】 （1）小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作AB边上的中点F，连接EF，构造出△ABC的中位线EF，请你完成余下的求解过程． 【灵活运用】 （2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝8，CD＝6，E、F分别为BC、AD中点，求EF的取值范围． （3）变式：把图②中的A、D、C变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则EF的取值范围为 ． 【迁移拓展】 （4）如图④，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，E为BC边的中点，F是AC边上一点且EF正好平分△ABC的周长，则EF= ． 【答案】（1）详见解析；（2）1＜EF＜7；（3）；（4）EF＝． 【分析】（1）依照题意作出图形，利用△AFE中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求解AE边的取值范围； （2）连接BD，取BD 中点G，连接FG、EG，由E、F分别为BC、AD中点，可得FG＝AB，EG＝DC，同（1）△GEF中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求解EF边的取值范围； （3）如图，连接BD，取BD的中点H，连接HF，HE，由三角形中位线定理可知，，在△DHE中有，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求得； （4）在线段CF上取一点M，使得FM=AF，连接BM，取BM的中点N，连接FN，EN，由EF平分三角形ABC周长，可得CM=AB=4，由三角形中位线定理，及∠A=60°，可知NF=NE=2，且∠FNE=120°，作NO⊥EF于O，解△ENF，可得FO=E0=，即可求得EF=． 【详解】（1）解： ∵E 为 BC 中点，F为 AB 中点， ∴EF＝AC， ∵AB＝8，AC＝6， ∴AF＝AB＝4，EF＝AC＝3， 在△AEF中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴4－3＜AE＜4＋3， 即，1＜AE＜7； （2）解：连接BD，取BD 中点G，连接FG、EG， ∵E、F分别为BC、AD中点， ∴FG＝AB，EG＝DC， ∵AB＝8，CD＝6， ∴FG＝4，EG＝3， 在△GEF中，4－3＜EF＜4＋3， 即1＜EF＜7． （3）如图，连接BD，取BD的中点H，连接HF，HE， ∵E、F分别为BC、AD中点， ∴， ∴在△DHE中，， 即EF的取值范围为， 故答案为：； （4）在线段CF上取一点M，使得FM=AF，连接BM，取BM的中点N，连接FN，EN， ∴F为线段AM的中点， ∵E为BC中点， ∴FN∥AB，且，EN∥AC，且，BE=EC， ∵∠A＝60°，AB＝4， ∴FN=2，∠FNE=120°， ∵EF正好平分△ABC的周长， ∴， ∴， ∴CM=4， ∴NE=2， ∴△FNE为等腰三角形，且∠NFE=∠NEF=30°， 过点N作NO⊥EF于点O， 则FO=OE=， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，三角形三边的数量关系，以及构造直角三角形求三角边长．根据题目信息，分析线段中点的作用，作出三角形中位线是解此题的关键． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）将一个面积为4的正方形按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（中位线）剪去上方的小三角形，剩下部分展开所得图形的面积是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．根据题意得：，是的中位线，剩下部分展开所得图形的面积，再由三角形中位线定理可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，是的中位线，剩下部分展开所得图形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴将剩下部分展开所得图形的面积是． 故选：D 2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形的外角性质．熟练运用三角形内角和定理，三角形外角性质、角平分线的相关只是并作出合理的辅助线是解题的关键．根据角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的外角性质结合选项分析即可求解． 【详解】解：∵ 平分 平分 ， ， ， ，故A正确； ∵点为的两外角平分线的交点， ，  ， ， ∴ ，故B正确； ∴ ，故D正确； ∵，∴， 故C错误； 故选：C． 3．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图1所示为“钓鱼神器”马扎，图2为抽象出的几何模型，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得出，根据三角形的外角的性质可得，最后根据对顶角相等，即可求解． 【详解】∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：B． 4．（24-25八年级上·江西·单元测试）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内角定理，利用角平分线的定义、三角形外角的性质，易证，试着用含的代数式表示出、；通过分析可得出，，⋯以此类推可知，接下来结合，即可求出的度数 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴ 同理可得，，，⋯⋯，， ∴，， ∴ 故选：B 5．（2025·福建·模拟预测）如图所示，中角平分线与，的外角平分线交于一点，为的内心（三个内角角平分线的交点），交的外接圆于点，若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】B 【分析】先利用内心的性质和圆周角定理得到GB=GC，再结合外角角平分线的性质得出三角形∠FBE=90°，再进行导角可得到GB=GF=GE，从而求出GC的长. 【详解】解：∵为的内心 ∴∠ABF=∠CBF，∠BAF=∠CAF， ∠CAF=∠CBG，∠BAF=∠BCG， ∴BG=CG， 又∠BFG=∠FBA+∠FAB，∠GBF=∠GBC+CBF ∴∠GBF=∠GFB ∴GB=GF， 又∵BE为∠ABC外角角平分线， ∴∠EBC+∠CBF=90°， ∴∠EBF=90°， ∴∠BEF+∠BFE=90°， 又∠GBF=∠GFB， ∴∠GBE=∠GEB ∴GB=GE ∴GE=GF=GB 又FE=4 ∴GC=GB=GE=GF=2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角形的内心性质和外角角平分线的应用，解题关键是理解三角形内心的概念. 6．（24-25八年级上·重庆永川·期末）如图，是一个风筝的模型，则图中 ． 【答案】360° 【分析】首先延长BC，再根据三角形内角和定理，三角形外角的性质，得∠AEB=∠ECD+∠3，∠4=180°+∠ECD，∠1+∠2+∠AEB=180°，然后代入计算即可． 【详解】延长BC，交AD于点E，如图． 可知∠AEB=∠ECD+∠3，∠4=180°+∠ECD，∠1+∠2+∠AEB=180°， 所以∠1+∠2+∠3+∠ECD=180°． 因为∠ECD=∠4-180°， 所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°． 故答案为：360°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，将四边形转化为两个三角形是解题的关键． 7．（24-25八年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，点M是两个内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，如果，那么 度． 【答案】60 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、四边形的内角和，熟练掌握角平分线的应用是解题关键．先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理可得，再根据四边形的内角和可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】解：点是两个内角平分线的交点， ， ， ， 点是两外角平分线的交点， ，， ，，即， ， ， 又， ， ， 解得， 故答案为：60． 8．（24-25八年级上·重庆万州·期中）如图，分别是的一条内角平分线与一条外角平分线，，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】由平分平分，利用角平分线的定义，可得出 由是的外角，是的外角，利用三角形的外角性质，可得出，进而可得出， 再代入，即可求出的度数． 本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，找出是解题的关键． 【详解】解：∵平分平分， ， ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，DE是△ABC的中位线，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=，∠BDF=，那么与的数量关系为 ． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，根据平行线的性质得到∠ADE=∠B=α，根据折叠的性质、平角的定义计算，得到答案． 【详解】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴∠ADE=∠B=α， 由折叠的性质可知，∠FDE=∠ADE=α， ∵∠FDE+∠ADE+∠BDF=180°， ∴2α+β=180°， 故答案为：2α+β=180°． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、翻转变换的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 10．（24-25八年级上·四川内江·期中）如图①，有结论：，因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为“飞镖模型”，如图②，在飞镖模型中分别作和的平分线交于点，易得，如图③，在飞镖模型中作靠的三等分线，作靠的三等分线，两条三等分线交于点，……，依次方法，在飞镖模型中作靠的n等分线，作靠的n等分线，两条n等分线交于一点，则 ．    【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，图形类规律探究，根据飞镖模型的结论结合角平分线的定义，推导出相应的规律，即可． 【详解】解：由题意，得：； ， ∵， ∴， ∴， ∴， 同法可得：，， ， ∴； 故答案为：． 11．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）在中 (1)，点D在上，且，求中的度数； (2)在（1）的条件下，若的外角平分线与的延长线交于点P， 求的度数；（自己完善图形） (3)若与的外角平分线交于点M，直接写出与的关系是____. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了三角形内角和，角平分线定义，等边对等角，正确理解图形中各角的关系是解题的关键： （1）由得到，根据得到，，证得，由三角形内角和得到，求得； （2）先求出，，，根据外角平分线得到，再利用三角形外角的性质求出 （3）根据三角形外角平分线得到，，利用三角形内角和求出，，由此得到，即可得到 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴ （3）如图，分别平分，， ∴，， ∵，，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 12．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D； (2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N． ①以线段AC为边的“8字型”有_______个，以点O为交点的“8字型”有________个： ②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数； ③若角平分线中角的关系改为“∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)①3，4；②110°；③3∠P=∠B+2∠C； 【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①根据“8字型”的定义判断即可；②由（1）结论可得△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM，△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN，两式相加再由角平分线的定义即可解答；③根据∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP，由∠C+∠CAM=∠P+∠PDM可得3（∠C-∠P）=∠BDC-∠CAB，由∠B+∠BDN=∠P+∠PAN可得（∠P-∠B）=∠BDC-∠CAB，进行等量代换即可解答； 【详解】（1）解：△AOC中，∠A+∠C=180°-∠AOC， △BOD中，∠B+∠D=180°-∠BOD， ∵∠AOC=∠BOD， ∴∠A+∠C=∠B+∠D； （2）解：①以线段AC为边的“8字型”有：△ACM和△PDM，△ACO和△BOD，△ACO和△DNO，共3个； 以点O为交点的“8字型”有：△ACO和△BDO，△ACO和△DNO，△AMO和△BDO，△AMO和△DNO，共4个； ②△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM， △BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN， ∴∠C+∠CAM+∠B+∠BDN =∠P+∠PDM+∠P+∠PAN， ∵PA平分∠BAC，PD平分∠BDC， ∴∠CAM=∠PAN，∠BDN=∠PDM， ∴∠C+∠B=2∠P， ∴120°+100°=2∠P， ∴∠P=110°； ③∵∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP， ∴∠CAM=∠CAB，∠PAN=∠CAB，∠BDN=∠BDC，∠PDM=∠BDC， △AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM， ∠C-∠P=∠PDM-∠CAM=∠BDC-∠CAB， 3（∠C-∠P）=∠BDC-∠CAB， △BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN， ∠P-∠B=∠BDN-∠PAN=∠BDC-∠CAB， （∠P-∠B）=∠BDC-∠CAB， ∴3（∠C-∠P）=（∠P-∠B）， 2∠C-2∠P=∠P-∠B， 3∠P=∠B+2∠C； 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等式的性质，角平分线的定义，对顶角的性质等知识；掌握等式的性质是解题关键． 13．（2025·山东聊城·模拟预测）【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在中，，，为中点，求的取值范围． (1)小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作边上的中点，连接，构造出的中位线，请你完成余下的求解过程． (2)如图②，在四边形中，，，、分别为、中点，求的取值范围． (3)变式：把图②中的、、变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则的取值范围为_________． (4)如图④，在中，，，为边的中点，是边上一点且正好平分的周长，则______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）通过取边上中点，连接，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解； （2）连接，取中点，连接、，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解； （3）连接，取中点，连接、，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解； （4）在上截取，连接，取的中点，连接，，过点作于，先根据三角形中位线定理推出，由平分的周长推得，再根据等腰三角形的“三线合一”、含的直角三角形特征即可得到． 【详解】（1）解：如图，取边上的中点，连接， 为中点，为中点， ， ，， ，， 在中，， 即． （2）解：如图，连接，取中点，连接、， 又、分别为、中点， ，， ，， ，， 在中，， 即． （3）解：如图，连接，取中点，连接、， 又、分别为、中点， ，， ，， ，， 在中，， 即． 故答案为：． （4）解：如图，在上截取，连接，取的中点，连接，，过点作于， ，点是中点，点是的中点， ，，，， ，， ， ， ， 正好平分的周长， ， 又，点是中点， ， ， 又，， ，， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是三角形中位线定理、三角形三边关系、等腰三角形的“三线合一”、含的直角三角形特征，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理解三角形的三边关系． 14．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）探究与发现：如图①所示的图形，像我们常见的飞镖，我们把这样的图形叫做“飞镖图”． (1)观察图①，说明与之间的数量关系； (2)请你利用以上结论，解决以下问题： ①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，若，则__________． ②如图③，平分平分，若，求的度数； ③如图④，，求的度数． 【答案】(1) (2)① ②③ 【分析】（1）连接并延长到点G，利用三角形的外角和定理，角的和证明即可． （2）①根据题意，得，结合前面的结论，得根据，计算即可． ②根据题意，平分平分，得 根据前面的结论，得，，结合，求的度数即可． ③连接，两次运用结论，再求和计算即可． 本题考查了三角形外角性质，直角三角形的性质，角的平分线，熟练掌握外角性质，灵活运用基本结论是解题的关键． 【详解】（1）解：与之间的数量关系为： ．理由如下： 连接并延长到点G， 根据题意，得， ∵， ∴． （2）解：①根据题意，得，结合前面的结论，得， ∵， ∴， 故答案为：． ②解：根据题意，平分平分， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． ③连接， 根据题意，得，， ∴， ∴， ∵ ∴． 15．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的一半． （1）如图1，在中，点是的内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程； 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，．延长至，延长至，已知的平分线与外角的平分线相交于点，外角的平分线与的延长线相交于点，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角的平分线与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，则的度数和是__________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】此本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键． （1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案 （2）先推导出，又由（1）的结论可得，进而可以求解 （3）延长，交于点M，延长、交于点N，得到，则，得到，由，由三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵点E是内角的平分线与外角的平分线的交点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴； （2）∵平分，平分， ∴； 又∵平分， ∴ ∴； （3）延长，交于点M，延长、交于点N，如图所示， ∵、分别平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角形的几何模型专训专题 （8大题型+15道拓展培优题） 题型一 八字型 题型二 燕尾型 题型三 飞镖型 题型四 箭头四角型 题型五 双内角平分线模型 题型六 双外角平分线模型 题型七 一内一外角平分线型 题型八 中位线型 【经典例题一 八字型】 【例1】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图①，已知线段、相交于点O，连接、，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题：    (1)在图①中写出、、、之间的等量关系为________． (2)如图②，和的平分线和相交于点P，并与、分别交于点M、N． ①若，，求的度数； ②探究与、之间有何等量关系，并说明理由． 1．（2025八年级上·黑龙江·模拟预测）如图①，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：； (2)如图②，求的度数； (3)如图③，若和的平分线和相交于点，且与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有___________个，以点为交点的“8字型”有___________个； ②若，，求的度数． 2．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）在课本第七章第5节中，我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：是的一个外角（如图1），则．    (1)如图2，线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“8字型”，请仔细观察该图形，直接写出之间的数量关系 　 　． (2)如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状，若，运用（1）中得出的数量关系，求的度数． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图1是常见的“8字型”平面图形，设的交点为，根据“三角形的内角和”等相关几何知识，易证得这个重要数学结论． (1)【模型求解】如图2，线段位于四边形内部，连结交于点，运用上述结论，求出的度数； (2)【构造模型】如图3是常见的“五角星”平面图形，求出的角度之和（要求：用两种思路进行求解）． (3)【拓展运用】若将图3中“五角星”的五个角截去，得到如图4，请求出图4中的角度之和． 【经典例题二 燕尾型】 【例2】（24-25八年级上·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 1．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）（燕尾模型）如图，在中，，那么的面积是阴影三角形面积的多少倍？ 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题： (1)用图①证明：； (2)在图①中，若平分，平分，与交于E点，运用（1）的结论写出、和之间的关系，并说明理由； (3)如图②，若，，试探索，和三个角之间的关系为______（直接写出结果即可）． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解读基础： （1）图1形似燕尾，我们称之为“燕尾形”，请写出、、、之间的关系，并说明理由； （2）图2形似8字，我们称之为“八字形”，请写出、、、之间的关系，并说明理由： 应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题 （3）①如图3，在中，、分别平分和，请直接写出和的关系　　； ②如图4，　　． （4）如图5，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，已知，，求和的度数． 【经典例题三 飞镖型】 【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图是一个“飞镖形”四边形．用两种不同的方法证明． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）四条线段、、、首尾顺次相接，组成以下图形，填空： (1)当点、、三点共线时，如图①，__________°；    (2)当点、、三点不共线时， ①如图②（“飞镖”形），与、、之间的数量关系是__________，并说明理由； ②如图③，__________； (3)当点在线段上时，如图④，与、之间的数量关系是_____； (4)当线段与相交时，如图⑤（“8字”形），、与、之间的数量关系是__________． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 有趣的“飞镖图” 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . . 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ 任务： (1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ； (2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； (3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期末）【问题呈现】如图①，四边形形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即． 【探究推理】方法一：如图②，连结． ∵在中，， ∴． 又∵在中，， ∴， ∴， ∴． 即． 方法二：如图③，连结并延长至F． ∵与分别为和的外角， … （1）“方法一”主要依据的数学定理是 ； （2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】 （3）如图④， ； （4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度． 【经典例题四 箭头四角型】 【例4】（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． (1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图中与，，之间的关系，并说明理由； (2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： 如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 如图，，的三等分线，相交于点，若，，求的度数． 1．（24-25八年级上·山东济宁·期中）【特例研究】 （1）如图1，直线经过点，，，， ①求，，的度数 ②三角形三个内角，，度数的和为_____； 【拓广探索】 在小学，通过度量或剪拼的方法，可以验证一个三角形的内角和都等于．但是，由于测量常常有误差，这种“验证”不是“数学证明”，不能完全让人信服，因此需要用推理的方法进行证明．学习完平行线的性质后，我们可以借助平行线的性质来推理验证这一结论． 请根据（1）中的解题思路，尝试完成证明； （2）如图2，已知三角形，求证：； 【启发应用】 （3）如图3，在所示的“箭头”图形中，，，，直接写出的度数． 2．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． 探究： （1）观察“箭头四角形”，试探究与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由； 应用： （2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺XYZ放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则 ； ②如图3，、的2等分线（即角平分线）、相交于点，若，，求的度数； 拓展： （3）如图4，，分别是、的2020等分线（），它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 度． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 (1)直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； (2)拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 【经典例题五 双内角平分线模型】 【例5】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，过点A作，，垂足分别为F，G，连接． (1)如图1：延长、，与直线相交于M、N，若、分别是的外角平分线，试说明：； (2)如图2，若、分别是的内角平分线，则线段与三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想； (3)如图3，若为的内角平分线，为的外角平分线，直接写出线段与三边的数量关系是 ． 1．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB>∠ABC，三条内角平分线AD，BE，CF相交于点I. (1)若∠ABE＝25°，求∠DIC的度数； (2)在(1)的条件下，图中互余的角有多少对？列举出来； (3)过I点作IH⊥BC，垂足为H，试问∠BID与∠HIC相等吗？为什么？ (4)G是AD延长线上一点，过G点作GP⊥BC，垂足为P，试探究∠G与∠ABC，∠ACB之间的数量关系，直接写出结论，不需证明． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期中）我们把三角形的一条高线关于与其共顶点的内角平分线的对称线段所在直线叫做该三角形的倍角高线． (1)如图1，分别为的高线和角平分线，若为的倍角高线． ①根据定义可得 ， （填写图中某个角）； ②若，求证：为等腰三角形． (2)如图2，在钝角中，为钝角，，若分别为的高线和角平分线，倍角高线交直线于点E，若，，求线段的长． (3)在中，若，倍角高线交直线于点E，当为等腰三角形，且时，求线段的长． 3．（24-25八年级上·贵州·期末）如图1，、是的外角平分线，过点A分别作，，垂足分别为F，G，连接，延长，．与直线分别交于点M，N．    (1)试说明：． (2)如图2，若、是的内角平分线，则线段的长与的三边长之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．    (3)如图3，若为的内角平分线，为的外角平分线，则线段的长与的三边长之间的数量关系是______．     【经典例题六 双外角平分线模型】 【例6】（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，． (1)如图1，当是的内角平分线时，交于点P，求证：； (2)如图2，当是的外角平分线时，连结和，猜想与的大小关系，并证明你的猜想． 1．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，在中，，是，平分线的交点． (1) ； (2)若是两条外角平分线的交点，则         ； (3)在（2）的条件下，若是内角和外角的平分线的交点，试探索与的数量关系，并说明理由． 2．（24-25八年级上·山东德州·期中）在中，． (1)如图①，当，为的角平分线时，在上截取，连接，则线段，，之间的数量关系是______； (2)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明： (3)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 3．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，，的平分线交于点O，过点O作交，于点E，F． (1)图中有______个等腰三角形；猜想与，之间有怎样的关系，请直接写出来； (2)如图2．若，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，请直接写出它们；在第（1）问中与，之间的关系还存在吗?并说明理由； (3)如图3，若中的平分线与三角形外角平分线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．此时与，关系又如何?说明你的理由． 【经典例题七 一内一外角平分线型】 【例7】（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． (1)如图1，已知是的角平分线，求证：点G到三边的距离相等； (2)如图2，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接．若，求的度数． 1．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．如图1，是中的遥望角．    (1)直接写出与的数量关系__________； (2)连接，猜想与的数量关系，并说明理由． 2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）【结论发现】 田田在完成教材的试题后发现：三角形一个内角的平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形的第三个内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，是的内角的平分线与外角的平分线的交点，则的度数为______． （2）如图2，在中，，延长至点，延长至点，，的平分线与的平分线及其反向延长线分别交于点，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，平分，平分外角，连接．已知，，请直接写出的度数． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究一】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是_____． （2）问题提出：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 结合图1猜想：与的数量关系是______． 【问题探究二】 （3）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． （4）问题提出：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 结合图2猜想：与的数量关系是______． 【拓展与应用】 （5）如图3，四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，则_____．（用含，的式子表示） （6）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则_____． 【经典例题八 中位线型】 【例8】（2025·吉林松原·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中画的中位线，使点分别在边上； (2)在图②中画的高线． 1．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）在证明定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半“时，小明给出如下部分证明过程． 已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点．求证：　 　． 证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF， （1）补全求证； （2）请根据添加的辅助线，写出完整的证明过程； （3）若CE＝3，DE＝4，请你直接写出边AB的取值范围． 2．（24-25八年级上·广西桂林·期末）（1）【模型建立】：三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，点分别是的边、上的中点，即：是的中位线， 由三角形的中位线定理可得结论：_________且________．（请补全结论） （2）【模型应用】：如图2，点、分别是四边形的边、上的中点，点是对角线的中点，．求证：． （3）【模型迁移】：如图3，点、分别是四边形的边、上的中点，，，，直接写出的长． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，E为BC中点，求AE的取值范围． 【解决问题】 （1）小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作AB边上的中点F，连接EF，构造出△ABC的中位线EF，请你完成余下的求解过程． 【灵活运用】 （2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝8，CD＝6，E、F分别为BC、AD中点，求EF的取值范围． （3）变式：把图②中的A、D、C变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则EF的取值范围为 ． 【迁移拓展】 （4）如图④，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，E为BC边的中点，F是AC边上一点且EF正好平分△ABC的周长，则EF= ． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）将一个面积为4的正方形按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（中位线）剪去上方的小三角形，剩下部分展开所得图形的面积是（   ） A． B．1 C．2 D．3 2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图1所示为“钓鱼神器”马扎，图2为抽象出的几何模型，若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江西·单元测试）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·福建·模拟预测）如图所示，中角平分线与，的外角平分线交于一点，为的内心（三个内角角平分线的交点），交的外接圆于点，若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 6．（24-25八年级上·重庆永川·期末）如图，是一个风筝的模型，则图中 ． 7．（24-25八年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，点M是两个内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，如果，那么 度． 8．（24-25八年级上·重庆万州·期中）如图，分别是的一条内角平分线与一条外角平分线，，则的度数为 ． 9．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，DE是△ABC的中位线，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=，∠BDF=，那么与的数量关系为 ． 10．（24-25八年级上·四川内江·期中）如图①，有结论：，因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为“飞镖模型”，如图②，在飞镖模型中分别作和的平分线交于点，易得，如图③，在飞镖模型中作靠的三等分线，作靠的三等分线，两条三等分线交于点，……，依次方法，在飞镖模型中作靠的n等分线，作靠的n等分线，两条n等分线交于一点，则 ．    11．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）在中 (1)，点D在上，且，求中的度数； (2)在（1）的条件下，若的外角平分线与的延长线交于点P， 求的度数；（自己完善图形） (3)若与的外角平分线交于点M，直接写出与的关系是____. 12．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D； (2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N． ①以线段AC为边的“8字型”有_______个，以点O为交点的“8字型”有________个： ②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数； ③若角平分线中角的关系改为“∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由． 13．（2025·山东聊城·模拟预测）【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在中，，，为中点，求的取值范围． (1)小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作边上的中点，连接，构造出的中位线，请你完成余下的求解过程． (2)如图②，在四边形中，，，、分别为、中点，求的取值范围． (3)变式：把图②中的、、变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则的取值范围为_________． (4)如图④，在中，，，为边的中点，是边上一点且正好平分的周长，则______． 14．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）探究与发现：如图①所示的图形，像我们常见的飞镖，我们把这样的图形叫做“飞镖图”． (1)观察图①，说明与之间的数量关系； (2)请你利用以上结论，解决以下问题： ①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，若，则__________． ②如图③，平分平分，若，求的度数； ③如图④，，求的度数． 15．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的一半． （1）如图1，在中，点是的内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程； 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，．延长至，延长至，已知的平分线与外角的平分线相交于点，外角的平分线与的延长线相交于点，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角的平分线与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，则的度数和是__________． 学科网（北京）股份有限公司 $$