专题05 有理数的运算章末53道压轴题型专训（6大题型）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

专题05 有理数的运算章末53道压轴题型专训(6大题型) 题型一 有理数的简便运算 题型二 有理数的规律计算问题 题型三 有理数四则混合运算的实际应用 题型四 有理数的新定义计算 题型五 含乘方的有理数混合运算 题型六 新考向—材料阅读型问题 【经典例题一 有理数的简便运算】 1.(24-25七年级上 全国 单元测试)简便计算: (1); (2). 2.(24-25七年级上 吉林长春 阶段练习)计算:(每题要写出必要的解题步骤) (1)(用简便方法). (2)(用乘法分配律) 3.(2025七年级上 四川成都 模拟预测)简便计算. (1) (2) (3) (4) 4.(24-25七年级上 四川德阳 阶段练习)简便计算: (1) (2) (3) 5.(24-25七年级上 海南三亚 开学考试)计算下列各题,能用简便方法的要用简便方法计算. (1); (2); (3); (4); (5). 6.(24-25七年级上 全国 阶段练习)计算: 用简便方法计算. 解: ① ② . (i)例题的求解过程中,第②步变形是利用 (填乘法公式的名称); (ii)用简便方法计算:. 7.(2025七年级上 全国 模拟预测)请你参考黑板中老师的讲解,用运算律简便计算: 利用运算律有时能进行简便计算. 例1:; 例2:. (1); (2). 8.(24-25七年级上 贵州贵阳 期中)请你参考黑板中老师的讲解(如图),用运算律简便计算: 利用运算律有时能进行简便计算. 例1:. 例2:. (1); (2). 9.(24-25七年级上 河南南阳 阶段练习)数学老师布置了一道思考题“计算:”,小强和小华两位同学经过仔细思考,用不同的方法做了解答: 小强的解法:原式 ; 小华的解法:原式的倒数 ,故原式 ; 通过对比,发现小华的解法更简便、新颖,请你先完成以上填空,再用小华的解法计算下面的问题:. 【经典例题二 有理数的规律计算问题】 10.(24-25七年级上 广东韶关 期中)观察下列各式,用你发现的规律解答问题: ①,②,③,… (1)请你按上述规律写出第4个等式:_; (2)猜想并写出第个等式:_; (3)用你发现的规律计算的值. 11.(24-25七年级上 安徽亳州 期中)观察下列等式.第一个等式:;第二个等式:;第三等式:;第四个等式:;……;按上述规律,回答下列问题: (1)请写出第五个等式:_; (2)简便计算:. 12.(24-25七年级上 广东河源 阶段练习)观察算式:;;;;… (1)按照这个规律可得:_; (2)请你用以上规律计算:; (3)解方程:. 13.(24-25七年级上 山西长治 期末)(1)计算: (2)观察下列等式,发现规律. ①, ②, ③, …… I:第4个等式为_. II:请用含有(且为整数)的等式表示你发现的规律_. 14.(24-25七年级上 浙江台州 阶段练习)在有些情况下,不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉,例如:|6+7|=6+7;|6﹣7|=7﹣6;|7﹣6|=7﹣6;|﹣6﹣7|=6+7. (1)根据上面的规律,把下列各式写成去掉绝对值符号的形式; ①|7﹣21|=_; ②|﹣|=_; (2)用合理的方法计算:|﹣|+|﹣|﹣|﹣|; (3)用简单的方法计算:|﹣1|+|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|. 15.(2025 安徽滁州 模拟预测)观察下列等式: ① ② ③ ④ …… (1)请根据你发现的规律填空:_=_; (2)用含的等式表示上面的规律:_; (3)用你发现的规律解决下列问题: 计算. 16.(24-25七年级上 安徽 单元测试)探究规律: (1)计算: ① ② ③ ④ (2)根据上面结果猜想: ① ② ③ 17.(24-25七年级上 江苏扬州 阶段练习)在有些情况下,不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉.例如:;. (1)根据上面的规律,把下列各式写成去掉绝对值符号的形式: ①_; ②_. (2)用合理的方法计算: . (3)用简便方法计算: . 18.(24-25七年级上 重庆 期中)阅读材料,根据材料回答: 例如1: . 例如2: . (1)仿照上面材料的计算方法计算:; (2)由上面的计算可总结出一个规律:(用字母表示)_; (3)用(2)的规律计算:. 【经典例题三 有理数四则混合运算的实际应用】 19.(24-25七年级上 全国 期中)看图列式计算. 20.(24-25七年级上 内蒙古赤峰 期中)国庆节期间,某同学到市百货中心商场购物,发现商场正在搞购物促销活动,活动规则如下:购物每满100元,返购物券50元,此购物券在本商场通用,且用购物券购买商品不再返券,该同学只购买了单价分别为60元、80元和120元的背包、球拍、球鞋,在使用购物券参与购买的情况下,请你帮他设计一下购物方案,计算出他的最少花费为多少元? 21.(24-25七年级上 广东珠海 开学考试)珠海市咪表停车收费标准如下表: 收费项目 收费标准 30分钟以内 2元 超过30分钟部分(不足30分钟按30分钟计算) 3元/30分钟 21:00至次日8:30时段 5元/次 李叔叔某日19:00把车停在咪表车位,次日8:30开车离开,他应付多少元停车费? 22.(24-25七年级上 湖南永州 期中)小明家买了一辆轿车,他连续5天记录了他家轿车每天行驶的路程,以为标准,超过或不足部分分别用正数、负数表示,得到的数据分别如下(单位:):,,,+5,. (1)请你计算这五天小明家轿车行驶的总路程; (2)若已知该轿车每行驶耗用汽油,则这5天共耗油多少? 23.(24-25七年级上 山西大同 期中)阅读理解 在求的值时,小明发现:从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的2倍,于是他设:①然后在①式的两边都乘以2,得: ②;②-①得,,即 . (1)求的值; (2)求(且)的值. 24.(24-25七年级上 吉林长春 阶段练习)阅读下列材料: 计算:. 李明同学的计算过程如下: 原式 张岩同学的计算过程如下: 原式 赵爽同学的计算过程如下: 原式的倒数为:==. 故原式 上述得出的结果不同,肯定有错误的解法,你认为 同学的解法是错误的,利用正确方法计算: . 25.(24-25七年级上 新疆乌鲁木齐 期中)七年级某班开展“我爱我校”志愿者校园废纸清理活动,全班分成六个小组清理废纸,每组清理,纸重量均以为标准,超过的记为“”,不足的记为“”,六个小组的清理废纸情况如表所示统计员王强不小心将一个数据弄脏看不清了,但他记得第三组清理废纸最少,且清理废纸最多最少的小组的重量差为. 组别 一 二 三 四 五 六 超过(不足)() (1)填空:第二小组看不清的数据应是_; (2)若本次活动清理废纸重量排名前三的小组可获得荣誉称号,请计算获得荣誉称号的小组清理纸的总重量; (3)若六个小组将本次活动清理的废纸以元/千克集中卖出,求清理的废纸卖出的总收入. 26.(24-25七年级上 山东德州 阶段练习)某市已经全面实行了居民新型合作医疗保险制度,享受医保的居民可在规定的医院就医,并按规定标准报销部分医疗费用(题目中涉及的医疗费均指允许报销的医疗费),下表是某医院医疗费用报销的标准: 医疗费 用范围 门诊 住院 不超过300元的部分 超过300元的部分 不超过500元的部分 超过500元且不超过10000元的部分 超过10000元的部分 报销比 例标准 不报销 不报销 (1)某人今年第一次在规定的医院门诊看病报销医疗费180元,则他在这次门诊看病的实际医疗费为_元; (2)设某居民在规定的医院一次住院的实际医疗费用为x元,那么按照标准报销的金额为_元(用含x的式子表示,写化简后的结果); (3)若家住幸福社区的王爷爷在规定的医院一次住院中个人自付了住院医疗费4000元(自付医疗费实际医疗费-按标准报销的金额),则他在这一次住院中的实际医疗费用为多少元? 【经典例题四 有理数的新定义计算】 27.(24-25七年级上 陕西咸阳 期中)定义一种新运算“”,对于任何有理数a、b有,例如. (1)求的值; (2)求的值. 28.(24-25七年级上 江苏无锡 阶段练习)定义一种新运算:.如, 仿照例题计算: (1); (2). 29.(24-25七年级上 湖北恩施 期中)我们定义一种新运算:. 如,有理数的运算法则适用于新运算.按照上述定义计算下列各式: (1); (2). 30.(24-25七年级上 山西忻州 阶段练习)已知x、y均为有理数,现规定一种新运算“※”,满足.例如. (1)求的值; (2)计算和的值,并根据计算结果判断这种新定义是否满足交换律. 31.(24-25七年级上 江苏盐城 期中)定义新运算“⊙”:对于有理数a,b,都有. 例如:. (1)计算的结果是 . (2)有理数m,n满足,求的值. 32.(24-25七年级上 福建厦门 期末)对于有理数a、b,定义一种新运算“※”,规定. (1)计算的值. (2)当a、b在数轴上的位置如图所示时,化简. (3)当时,是否一定有或者?若是,则说明理由;若不是,请举例说明. 33.(24-25七年级上 浙江杭州 期末)规定关于任意正整数x,y的一种新运算:. 例如:若,则. 请根据这种新运算解决以下问题: (1)若,求的值. (2)若,求的值. (3)若,化简:.(用含a的代数式表示) 34.(24-25七年级上 湖南长沙 期中)定义新运算:,(右边的运算为平常的加、减、乘、除). 例如:,. 若,则称有理数为“隔一数对”. 例如:,,,所以2,3就是一对“隔一数对”. (1)下列各组数是“隔一数对”的是 (请填序号) ①; ②; ③. (2)计算: (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”. 计算:. 35.(24-25七年级上 山东淄博 期末)定义新运算:,(右边的运算为平常的加、减、乘、除). 例如∶,. 若,则称有理数a,b为“隔一数对”. 例如∶,,即,所以2,3就是一对“隔一数对”. 请同学们解答下列问题: (1),1是“隔一数对”吗?请说明理由; (2)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”,计算: . 【经典例题五 含乘方的有理数混合运算】 36.(24-25七年级上 四川泸州 期末)计算: (1); (2). 37.(2025七年级上 全国 模拟预测)计算: (1). (2). (3). 38.(24-25七年级上 全国 随堂练习)计算: (1); (2); (3); (4). 39.(24-25七年级上 广东东莞 阶段练习)计算,能用简便方法用简便方法计算: (1); (2); (3); (4). 40.(2025七年级上 全国 模拟预测)计算: (1) (2) (3) 41.(24-25七年级上 河北邢台 期末)规定三角形框“”表示,方框“”表示“”. 例如:算式. 已知:算式,其中方框中缺少了一个数字,用“”表示. (1)若表示3. ①求已知中的算式的值; ②直接写出的值. (2)如果已知中的算式的值为,直接写出表示的数. 42.(24-25七年级上 湖北十堰 期末)计算: (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8); (9已知 求的值. 43.(24-25七年级上 福建漳州 阶段练习)探究规律,完成相关题目. 定义“”运算:;; ;; ;. (1)归纳运算的法则:两数,进行运算时,_,特别地,0和任何数进行运算,或任何数和0进行运算,_.(文字语言或符号语言均可) (2)计算: (3)是否存在有理数,,使得,若存在,求出,的值,若不存在,说明理由; 44.(24-25七年级上 广东深圳 阶段练习)综合与探究: 【概念学习】 现规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的商的运算叫做除方,比如,等,类比有理数的乘方,我们把写作,读作“2的圈3次方”, 写作,读作“的圈4次方”,一般地把()写作,读作“a的圈n次方”. 【初步探究】 (1)直接写出计算结果: ; . 【深入思考】 我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢? 除方 乘方幂的形式 (2)试一试:仿照上面的算式,把下列除方运算直接写成乘方幂的形式: , (3)算一算:. (`4)小明深入思考后发现:“除方”运算能够转化成乘方运算,且结果可以写成幂的形式,请推导出“除方”的运算公式(n为正整数,,),要求写出推导过程将结果写成乘方幂的形式;(结果用含a,n的式子表示) 【经典例题六 新考向—材料阅读型问题】 45.(2025七年级上 全国 模拟预测)学习情境•过程纠错 下面是小胡同学做过的一道题,请先阅读解题过程,然后回答所提出的问题. 计算:. 解:原式 …………第①步 …………………………………第②步 (1)上述解题过程中,从第_步开始出错(填“①”或“②”); (2)写出本题的正确解答过程. 46.(24-25七年级上 湖北省直辖县级单位 阶段练习)阅读材料,回答下列问题. 通过计算容易发现:①;②;③. (1)观察上面的三个算式,直接写出算式:_. (2)运用你观察到的规律,计算的值. (3)探究上述的运算规律,试计算的值. 47.(2025七年级上 全国 模拟预测)先阅读解答过程,再回答问题: 计算:. 解: . 上面的方法叫作拆项法.依照拆项法计算:. 48.(24-25七年级上 广东梅州 阶段练习)阅读下列解题过程: 计算:的值. 解:设,(1) 则(2) (2)(1),得, 通过阅读,你一定学会了一种解决问题的方法,请用你学到的方法计算: (1) (2). 49.(24-25七年级上 云南昆明 期中)读一读:式子“”表示1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比较长,书写也不方便,为了简便起见,我们可以将“”表示为,这里“”是求和符号.例如:,即从1开始的100以内的连续奇数的和,可表示为;又如可表示为.通过对上以材料的阅读,请解答下列问题. (1)(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符号可表示为_; (2)计算: 50.(24-25七年级上 山西临汾 期末)阅读与思考 阅读下列材料,完成后面的任务. 点在数轴上分别表示实数两点之间的距离表示为. 如图,从数轴上看,若点表示的数分别是1,4则或. 【归纳】若点表示的数分别是,则或. 任务: (1)若点表示的数是最大的负整数,点表示的数为,且,则_或_. (2)试用数轴探究,当时,的值为_. (3)利用数轴求出的最小值,并写出此时可取哪些整数值? 51.(24-25七年级上 浙江杭州 期中)阅读下面材料: 圆圆在研究数学问题时遇到一个定义:对于排好顺序的三个数,,称为数列,,.计算,,的值,将这三个数的最小值称为数列,,的价值.例如,对于数列,,,因为,,,所以数列,,的价值为. 圆圆进一步研究发现:改变数列,,三个数的顺序,可得若干个数列,这些数列都可以按照上述方法计算其相应的价值.如数列,,的价值为;数列,,的价值为;经过研究,圆圆发现,对于“,,”这三个数,按照不同的排列顺序得到的不同数列中,价值的最小值为. 根据以上材料,回答下列问题: (1)求数列,,的价值; (2)填空:将“,,”这三个数按照不同的顺序排列,可得到若干个数列,这些数列的价值的最小值为 ,取得价值最小值的数列为 (写出所有答案). (3)已知,将“,,”这三个数按照不同的顺序排列,可得若干个数列,若这些数列的价值的最小值为,求的值. 52.(24-25七年级上 全国 期中)综合与实践 阅读材料 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制,逢二进一就是二进制.也就是说,“逢几进一”就是几进制,几进制的基数就是几.为了区分不同的进位制,常在数的右下角标明基数,基数通常用字母k来表示. 日常生活中的十进制是用 0——9 这十个数字来表示数,满十进一.而计算机常用二进制来表示字符代码,它是用 0 和 1 两个数来表示,满二进一, 例:; 解决问题 (1) 请将十进制数转化为三进制数为 . (2) 将转化成十进制数是 . (3)计算:( ) 拓展应用 (4)会员等级用四个标识图展示,从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠,并采用“满四进一”制,一开始是星星,一个星星为1级,4个星星等于一个月亮,4个月亮等于一个太阳,4个太阳等于一个皇冠,若某用户的会员等级标识图为一个皇冠两个太阳三颗星,则其会员等级为 级. 53.(24-25七年级上 江苏徐州 期中)【材料阅读】西汉前期民间流传着一则故事.大禹治水时,洛阳西南洛宁县的洛河中浮出一只神龟,龟背上有一张象征吉祥的图案,人称“洛书”.如图1,洛书上有三行三列的纵横图,用实心点或空心点的个数表示数字,分别对应着这9个数字,每行、列及两条对角线上的三个数相加的结果相同.“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方(如图2)又名九宫格,是一种将9个数字(数字不重复使用)安排在三行三列的正方形格子中,使每行、列和对角线上的数字之和都相等. 【问题解决】 (1)根据“洛书”中表达的意思,将图2中的三阶幻方补充完整; (2)如图3,是一个新的三阶幻方,请根据图中给出的数据,将1,2,3,4,5这五个数字填入表格,补全这个新的三阶幻方; 【拓展思考】 (3)有3个正方形,每个正方形的顶点处都有一个“〇”.如图4,将这12个数字填入恰当的位置后(数字不重复使用),每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都相等,求的值. 学科网(北京)股份有限公司 $$ 专题05 有理数的运算章末53道压轴题型专训（6大题型） 题型一 有理数的简便运算 题型二 有理数的规律计算问题 题型三 有理数四则混合运算的实际应用 题型四 有理数的新定义计算 题型五 含乘方的有理数混合运算 题型六 新考向—材料阅读型问题 【经典例题一 有理数的简便运算】 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，注意使用结合律即可． （1）运用结合律即可进行简便运算； （2）运用结合律即可进行简便运算； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）计算：（每题要写出必要的解题步骤） (1)（用简便方法）． (2)（用乘法分配律） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法分配律： （1）先把原式变形为，再利用有理数乘法分配律进行求解即可； （2）直接利用有理数乘法分配律进行求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 3．（2025七年级上·四川成都·模拟预测）简便计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)5； (2)50； (3)； (4)． 【分析】本题考查了分数的简便运算． （1）（2）逆用乘法分配律，简便计算即可求解； （3）把写成，写成，，利用裂项相消法求解即可； （4）把写成，，利用裂项相消法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 4．（24-25七年级上·四川德阳·阶段练习）简便计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，有理数的乘法运算律： （1）利用乘法分配律进行简算即可； （2）逆用乘法分配律进行简算即可； （3）带分数化为假分数，利用乘法法则和乘法分配律进行简算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 5．（24-25七年级上·海南三亚·开学考试）计算下列各题，能用简便方法的要用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查有理数的简便运算，涉及有理数加减乘除相关运算，分配律、结合律及其相应逆运算，熟记相关运算法则及运算律是解决问题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 6．（24-25七年级上·全国·阶段练习）计算： 用简便方法计算． 解： ① ② ． （i）例题的求解过程中，第②步变形是利用 （填乘法公式的名称）； （ii）用简便方法计算：． 【答案】（i）平方差公式；（ii） 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （i）根据公式变形可知其满足平方差公式； （ii）将变形成符合平方差公式的形式求解即可． 【详解】解：（i）由可知其符合平方差公式， 故答案为：平方差公式； （ii） ． 7．（2025七年级上·全国·模拟预测）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)99900 【分析】本题考查有理数乘法分配律． （1）将999写作，然后使用乘法分配律进行计算使得计算简便； （2）使用乘法分配律使得计算简便． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）请你参考黑板中老师的讲解（如图），用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：． 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握分配律，准确计算是解题的关键． （1）将变为，然后运用分配律进行计算； （2）运用分配律，提取公因数999，即可进行简便计算。 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 9．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小强和小华两位同学经过仔细思考，用不同的方法做了解答： 小强的解法：原式 ； 小华的解法：原式的倒数 ，故原式 ； 通过对比，发现小华的解法更简便、新颖，请你先完成以上填空，再用小华的解法计算下面的问题：． 【答案】；，，； 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，倒数，有理数的四则混合运算等知识点，明确题意，仿照例题解答是解题的关键． 先求出原式的倒数，再求原式即可． 【详解】解：小强的解法： 原式 ， 故答案为：； 小华的解法： 原式的倒数 ， 故原式， 故答案为：，，； 对于下面的问题：， 原式的倒数 ， 故原式． 【经典例题二 有理数的规律计算问题】 10．（24-25七年级上·广东韶关·期中）观察下列各式，用你发现的规律解答问题： ①，②，③，… (1)请你按上述规律写出第4个等式：_______________； (2)猜想并写出第个等式：_______________； (3)用你发现的规律计算的值． 【答案】(1) (2) (3)4250 【分析】本题考查了数字类规律探究，根据所给式子找出规律解答即可． （1）根据所给3个算式探究规律求解即可； （2）根据规律总结即可； （3）利用规律求解即可． 【详解】（1）∵①， ②， ③， …， ∴④． 故答案为：； （2）由（1）可知第个等式：． 故答案为：； （3）原式 ． 11．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）观察下列等式．第一个等式：；第二个等式：；第三等式：；第四个等式：；……；按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第五个等式：________； (2)简便计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及规律型—数字的变化类，解题的关键是探索出式子的一般规律，第n个式子为：； （1）根据题意，找出规律，即可， （2）根据所找出的规律，进行化简求值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ． 12．（24-25七年级上·广东河源·阶段练习）观察算式：；；；；… (1)按照这个规律可得：__________； (2)请你用以上规律计算：； (3)解方程：． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）按照题目中得出的规律得出结果即可； （2）按照题目中得出的规律进行计算即可； （3）将方程变形为，根据解析（2）中的结果原方程可变为，求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； … ∴； 故答案为：． （2）解： ； （3）解： ， ． 【点睛】本题主要考查了数字规律探索，解题的关键是根据已知条件得出一般规律． 13．（24-25七年级上·山西长治·期末）（1）计算： （2）观察下列等式，发现规律． ①， ②， ③， …… I：第4个等式为_________． II：请用含有（且为整数）的等式表示你发现的规律_______． 【答案】（1）；（2）I：；II：（且为整数）． 【分析】（1）先计算括号内的运算，同步计算乘方运算，最后计算减法运算，从而可得答案； （2）I：先根据①②③三个等式，抓住等式中的不变的量，寻找变化的量与序号及前后对应位置上的数之间的联系，确定第个等式即可；II：根据I中的发现，用含的代数式表示其中规律，从而可得答案． 【详解】解：（1） （2）I：探究规律： ①， ②， ③， ④， …… 所以第4个等式为． 故答案为：． II：总结规律： 第个等式为：（且为整数）， 故答案为：（且为整数）． 【点睛】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，运算的规律探究，掌握有理数的运算法则与运算顺序，规律的探究的方法是解题的关键． 14．（24-25七年级上·浙江台州·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|=6+7；|6﹣7|=7﹣6；|7﹣6|=7﹣6；|﹣6﹣7|=6+7. (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式； ①|7﹣21|=___________； ②|﹣|=___________； (2)用合理的方法计算：|﹣|+|﹣|﹣|﹣|； (3)用简单的方法计算：|﹣1|+|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|. 【答案】(1)①21﹣7，② (2) (3) 【分析】（1）根据绝对值的性质进行化简； （2）先把式子写成去掉绝对值符号的形式，再进行计算； （3）先把式子写成去掉绝对值符号的形式，再进行计算． 【详解】（1）解：①|7﹣21|＝21﹣7，②， 故答案为：21﹣7，； （2）解：原式； （3）解：原式=． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，有理数的加减，正确求绝对值是解题的关键． 15．（2025·安徽滁州·模拟预测）观察下列等式： ① ② ③ ④ …… (1)请根据你发现的规律填空：________=________； (2)用含的等式表示上面的规律：_________； (3)用你发现的规律解决下列问题： 计算． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进行计算是解题的关键． （1）通过观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，总结出一般规律即可； （3）将每个小括号进行通分为，再根据（2）的规律，将所求的式子变形为，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：49，． （2）解：∵①， ②， ③， ④， …… ∴， 故答案为：． （3）解：原式， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·安徽·单元测试）探究规律： (1)计算： ① ② ③ ④ (2)根据上面结果猜想： ① ② ③ 【答案】(1)①1；②1；③1；④1； (2)①1；②1；③64 【分析】本题考查幂的运算，根据规律进行猜想，并对比分析将式子变形计算是解题关键． （1）①简单计算即可得到结果； ②，代入计算即可； ③，代入计算即可； ④，代入计算即可． （2）①根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ②根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ③对比规律可发现，需要将式子变形为： ，计算即可． 【详解】（1）解：（1）计算：① ②； ③ ； ④； （2）①； ②； ③ = = =． 17．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：；． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①______； ②______． (2)用合理的方法计算： ． (3)用简便方法计算： ． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，绝对值的意义，本题是阅读型题目，理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键． （1）利用题干中的方法解答即可； （2）利用（1）中的方法去掉绝对值符号后化简运算即可； （3）利用（1）中的方法去掉绝对值符号后化简运算即可． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：①；②； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 18．（24-25七年级上·重庆·期中）阅读材料，根据材料回答： 例如1： ． 例如2： ． (1)仿照上面材料的计算方法计算：； (2)由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）______； (3)用（2）的规律计算：． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据所给材料中的方法进行计算即可； （2）根据题意找到规律即可； （3）根据得到的规律将原式变形，然后计算即可． 【详解】（1） ； （2）根据题意可得：； （3） ． 【点睛】此题考查有理数的乘方，解题关键是灵活运用材料中得出的规律． 【经典例题三 有理数四则混合运算的实际应用】 19．（24-25七年级上·全国·期中）看图列式计算．    【答案】240万吨 【分析】增产后与增产前之比为，由此可解． 【详解】解： （万吨） 答：增产前为240万吨． 【点睛】本题考查有理数混合运算的实际应用，列出算式并正确计算是解题的关键． 20．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）国庆节期间，某同学到市百货中心商场购物，发现商场正在搞购物促销活动，活动规则如下：购物每满100元，返购物券50元，此购物券在本商场通用，且用购物券购买商品不再返券，该同学只购买了单价分别为60元、80元和120元的背包、球拍、球鞋，在使用购物券参与购买的情况下，请你帮他设计一下购物方案，计算出他的最少花费为多少元？ 【答案】先付120元，80元，得到100元的优惠券，再去付60元的书包花费最少，且最少花费为200元 【分析】分情况讨论：先付60元，80元，得到50元优惠券，再去买120元的运动鞋；先付60元，120元，得到50元的优惠券，再去买80元的T恤；先付120元，得到50元的优惠券，再去付60元，80元的书包和T恤；先付120元，80元，得到100元的优惠券，再去付60元的书包；分别列出算式，算出花费，进行比较即可． 【详解】解：①先付60元，80元，得到50元优惠券，再去买120元的运动鞋；实际花费为：（元）； ②先付60元，120元，得到50元的优惠券，再去买80元的T恤；实际花费为：（元）； ③先付120元，得到50元的优惠券，再去付60元，80元的书包和T恤；实际花费为：（元）； ④先付120元，80元，得到100元的优惠券，再去付60元的书包；实际花费为：（元）； 综上可得：他的实际花费为210元或200元， ∴先付120元，80元，得到100元的优惠券，再去付60元的书包花费最少，且最少花费为200元． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的实际应用，解题的关键是分类讨论，分别求出各种情况下的花费． 21．（24-25七年级上·广东珠海·开学考试）珠海市咪表停车收费标准如下表： 收费项目 收费标准 30分钟以内 2元 超过30分钟部分（不足30分钟按30分钟计算） 3元/30分钟 21：00至次日8：30时段 5元/次 李叔叔某日19：00把车停在咪表车位，次日8：30开车离开，他应付多少元停车费？ 【答案】他应付16元停车费． 【分析】根据表格中的计费方法列式求解即可． 【详解】根据题意可得， （元）． ∴他应付16元停车费． 【点睛】此题考查了有理数的四则运算的实际应用，解题的关键是根据题意正确列出算式． 22．（24-25七年级上·湖南永州·期中）小明家买了一辆轿车，他连续5天记录了他家轿车每天行驶的路程，以为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据分别如下（单位：）：，，，+5，． (1)请你计算这五天小明家轿车行驶的总路程； (2)若已知该轿车每行驶耗用汽油，则这5天共耗油多少？ 【答案】(1)这五天小明家轿车总路程为； (2)这五天共耗油． 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用． （1）把得到的数据加起来再加上10×5，即可求解； （2）用这五天小明家轿车行驶的总路程乘以7再除以100，即可求解． 【详解】（1）解： ． 答：这五天小明家轿车总路程为； （2）解：． 答：这五天共耗油． 23．（24-25七年级上·山西大同·期中）阅读理解 在求的值时，小明发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的2倍，于是他设：①然后在①式的两边都乘以2，得： ②；②－①得，，即 ． (1)求的值； (2)求（且）的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，总结归纳出数字的变化规律得出正确的倍数关系是解题的关键． （1）根据题中的探究过程用即可求解； （2）同理利用整理即可得解． 【详解】（1）设①， ②， ②－①得：， 即 （2）设①， 则②， ②－①得：， 即， ∵， 24．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）阅读下列材料： 计算：． 李明同学的计算过程如下： 原式 张岩同学的计算过程如下： 原式 赵爽同学的计算过程如下： 原式的倒数为：＝＝． 故原式 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为　 　同学的解法是错误的，利用正确方法计算： ． 【答案】李明，35 【分析】根据有理数混合运算法则计算判断及解答． 【详解】解：李明同学的解法是错误的； 原式 ． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，乘法运算律，正确掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 25．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）七年级某班开展“我爱我校”志愿者校园废纸清理活动，全班分成六个小组清理废纸，每组清理，纸重量均以为标准，超过的记为“”，不足的记为“”，六个小组的清理废纸情况如表所示统计员王强不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得第三组清理废纸最少，且清理废纸最多最少的小组的重量差为． 组别 一 二 三 四 五 六 超过（不足）（） (1)填空：第二小组看不清的数据应是______； (2)若本次活动清理废纸重量排名前三的小组可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的小组清理纸的总重量； (3)若六个小组将本次活动清理的废纸以元/千克集中卖出，求清理的废纸卖出的总收入． 【答案】(1) (2)清理纸的总重量为 (3)清理的废纸卖出的总收入为元 【分析】本题主要考查正负数的实际运用，有理数的加减混合运算，掌握正负数的意义，有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据第三组清理废纸最少，清理废纸最多最少的小组的重量差为，由此即可求解； （2）根据超过的记为“”可判定清理废纸多少的小组，再运用有理的混合运算即可求解； （3）运用有理数的混合运算可求出总重量，由此即可求出总收入． 【详解】（1）解：以为标准，超过的记为“”，不足的记为“”， 第三组清理废纸最少，为， ∴， ∴第二小组看不清的数据应是， 故答案为：． （2）解：根据题意可得，前三名的是：第二组，第六组，第三组， ∴ ∴清理纸的总重量为． （3）解：根据题意列式得，， ∴（元）， ∴清理的废纸卖出的总收入为元． 26．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）某市已经全面实行了居民新型合作医疗保险制度，享受医保的居民可在规定的医院就医，并按规定标准报销部分医疗费用（题目中涉及的医疗费均指允许报销的医疗费），下表是某医院医疗费用报销的标准： 医疗费 用范围 门诊 住院 不超过300元的部分 超过300元的部分 不超过500元的部分 超过500元且不超过10000元的部分 超过10000元的部分 报销比 例标准 不报销 不报销 (1)某人今年第一次在规定的医院门诊看病报销医疗费180元，则他在这次门诊看病的实际医疗费为______元； (2)设某居民在规定的医院一次住院的实际医疗费用为x元，那么按照标准报销的金额为______元（用含x的式子表示，写化简后的结果）； (3)若家住幸福社区的王爷爷在规定的医院一次住院中个人自付了住院医疗费4000元（自付医疗费实际医疗费-按标准报销的金额），则他在这一次住院中的实际医疗费用为多少元？ 【答案】(1)900 (2) (3)王爷爷这次实际医疗费用共26000元 【分析】本题考查了列代数式及一元一次方程的应用，解题关键是要弄懂题意，能根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出代数式或方程，再求解． （1）根据门诊报销规则，因有报销费用可知医疗费超300元，设实际医疗费为，利用“超过300元部分的等于报销的180元”列方程求解． （2）依据住院分段报销标准，分别算出“超500元且≤10000元部分”“超10000元部分”的报销金额，相加后化简得到含的报销金额表达式． （3）分、、三种情况，结合“自付费用实际费用报销金额”列方程，得出实际医疗费用． 【详解】（1）解：∵看病报销医疗费180元， ∴门诊医疗费超过300元， 设实际医疗费为元 ，超过300元部分的费用是元，根据题意得 解得： ∴实际医疗费为900元， 故答案为：900； （2）解：住院报销分阶段：不超过500元不报销；超过500元且不超过10000元的部分，报销；超过10000元的部分，报销． ∴超过500元且不超过10000元部分可报销：（元） 超过10000元部分为元，可报销元． 则总的报销金额为（元）； 故答案为：； （3）设实际医疗费用为元，分情况讨论： 当时，自付费用为，不可能是4000， 当时，自付费用为． 令， ， ， ，此情况不成立． 当时， 自付费用为． 令， ， ． 所以实际医疗费用是26000元． 【经典例题四 有理数的新定义计算】 27．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）定义一种新运算“”，对于任何有理数a、b有，例如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解新定义法则是解题关键． （1）根据已知新运算法则计算即可； （2）根据已知新运算法则先计算的值，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 28．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）定义一种新运算：．如， 仿照例题计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新运算的定义，结合有理数运算法则计算即可． （2）根据新运算的定义，结合有理数运算法则计算即可． 【详解】（1）原式． （2）． ． 【点睛】本题主要考查有理数的运算，牢记有理数加减和乘法的运算法则是解题的关键． 29．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）我们定义一种新运算：． 如，有理数的运算法则适用于新运算．按照上述定义计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据题干信息列式计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 30．（24-25七年级上·山西忻州·阶段练习）已知x、y均为有理数，现规定一种新运算“※”，满足．例如． (1)求的值； (2)计算和的值，并根据计算结果判断这种新定义是否满足交换律． 【答案】(1) (2)，，满足交换律 【分析】（1）利用新运算的规定先算括号内的再算括号外； （2）利用新运算的规定分别计算两个算式，比较结果即可得出结论． 【详解】（1）解：原式※4 ※4 ※4 ； （2）这种新定义满足交换律，理由： ※， 5※， ※※2， 这种新定义满足交换律． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，利用新运算的规定并熟练应用是解题的关键． 31．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）定义新运算“⊙”：对于有理数a，b，都有． 例如：． (1)计算的结果是　　． (2)有理数m，n满足，求的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的混合运算，正确理解题目所给新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据题目所给的新定义的运算法则进行计算即可； （2）根据平方和绝对值的非负性，得出m和n的值，再根据题目所给的新定义的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：9； （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴ ． 32．（24-25七年级上·福建厦门·期末）对于有理数a、b，定义一种新运算“※”，规定． (1)计算的值． (2)当a、b在数轴上的位置如图所示时，化简． (3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，请举例说明． 【答案】(1) (2) (3)不一定有或者，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算、绝对值的意义、数轴，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题干的运算法则计算即可得解； （2）由数轴可得：，，从而得出，，再根据运算法则结合绝对值的意义求解即可； （3）举出反例即可得解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由数轴可得：，， ∴，， ∴； （3）解：不一定有或者，理由如下： 若，，， 则，， ∴，但此时或． 33．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）规定关于任意正整数x，y的一种新运算：． 例如：若，则． 请根据这种新运算解决以下问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，化简：．（用含a的代数式表示） 【答案】(1)4，8 (2) (3) 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，根据新运算的定义进行有关计算是解题的关键． （1）分别根据新运算的定义计算即可． （2）分别根据新运算的定义计算即可． （3）分别根据新运算的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解： ． 34．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数为“隔一数对”． 例如:，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． （1）下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①；        ②；         ③． （2）计算： （3）已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【答案】（1）①③；（2）；（3） 【分析】（1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】解：（1）①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②不是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③是“隔一数对”； 故答案为：①③； （2）根据定义，原式 ； （3）根据定义，原式 ． 【点睛】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． 35．（24-25七年级上·山东淄博·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如∶，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如∶，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”． 请同学们解答下列问题： (1)，1是“隔一数对”吗？请说明理由； (2)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算： ． 【答案】(1)不是“隔一数对” (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、数字的变化规律等知识点，理解“隔一数对”的定义并掌握有理数混合运算法则是解题关键． （1）根据“隔一数对”的新定义进行计算判断即可； （2）先根据新定义计算再根据有理数加减运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得∶，， ∴， ∴不是“隔一数对”． （2）解：由题意可得∶ ． 【经典例题五 含乘方的有理数混合运算】 36．（24-25七年级上·四川泸州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）利用乘法分配律计算即可； （2）先计算括号和绝对值，再按先乘方、再乘除、后加减的运算顺序计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 37．（2025七年级上·全国·模拟预测）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）有理数的混合运算，先乘法，绝对值，再算乘法，最后加减. （2）先算括号内的运算，再算除法. （3）先观察规律：每4项为一组，一共组，每组和为，最后再加剩余项. 【详解】（1）解：原式. （2）解：原式 （3）原式 38．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （3）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （4）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 39．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）计算，能用简便方法用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）先化简，再计算加减，即可解答； （2）先把小数化为分数，再算同分母分数，最后相加即可求解； （3）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算； （4）先算乘方，再算乘除，再利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2） ． （3） ． （4） ． 40．（2025七年级上·全国·模拟预测）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，简化运算过程． （1）先算乘法，再去括号，再算同分母分数，再计算加减法； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算； （3）根据乘法分配律简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 41．（24-25七年级上·河北邢台·期末）规定三角形框“”表示，方框“”表示“”． 例如：算式． 已知：算式，其中方框中缺少了一个数字，用“”表示． (1)若表示3． ①求已知中的算式的值； ②直接写出的值． (2)如果已知中的算式的值为，直接写出表示的数． 【答案】(1)① ② (2)2 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用，根据题意正确列式计算即可． （1）①根据题意列式计算即可；②因为①中算式与②中算式的被除数与除数交换了位置，根据除法的意义即可得到答案； （2）根据除法的意义得到除数，根据题中规定的运算列式即可得到答案． 【详解】（1）解：①原式． ． ②因为①中算式与②中算式的被除数与除数交换了位置， 所以它们的结果互为倒数． 由①中算式的值为，可得②中算式的值为． （2）因为被除数，商． 所以除数； 所以，所以， 所以． 42．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9已知 求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，牢记法则是解题关键， （1）根据连续两个数的差相同，由此进行简便计算； （2）把原式化为，再进行简便计算即可； （3）将百分数、小数化为分数，利用乘法分配律进行简便计算即可； （4）利用积不变的规律进行变形，再利用乘法分配律进行简便计算即可； （5）利用乘法分配律计算即可； （6）第一个括号里提出3，由此简便计算即可； （7）把带分数拆分为整数和分数的和，利用乘法分配律计算即可； （8）利用平方差公式简便计算即可； （9）把原式化为，再整体代入即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） （9）， ． 43．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）探究规律，完成相关题目． 定义“”运算：；； ；； ；． (1)归纳运算的法则：两数，进行运算时，_______________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________．（文字语言或符号语言均可） (2)计算： (3)是否存在有理数，，使得，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由； 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把两数平方相加；结果是这个数的平方． (2) (3)存在，，． 【分析】本题主要考查了定义新运算、平方数的非负性以及分类讨论的思想．熟练掌握根据所给示例归纳新运算规则，以及根据新规则进行计算和分类讨论是解题的关键． （1）通过观察所给运算的多个例子，分析和进行“”运算时与、各自平方的关系，以及参与运算的特殊情况，从而归纳出运算规则． （2）根据（1）中归纳出的“*”运算规则，将和代入规则进行计算． （3）先根据（1）中规则将转化为关于和的等式，再分情况讨论和的值． 【详解】（1）解：通过观察所给运算式： ； ； ； ． 可以发现两数，进行“”运算时，当，同号时结果为正，异号时结果为负，且结果都是，平方和的绝对值形式，所以归纳出两数，进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把两数平方相加； 由；；，可知和任何数进行“”运算，或任何数和进行“”运算，结果是这个数的平方． 故答案依次为：同号得正，异号得负，并把两数平方相加；结果是这个数的平方． （2）解： ． （3）解：∵， ， ∴且， ∴，． 44．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）综合与探究： 【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”， 写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ； ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成乘方幂的形式： ， （3）算一算：． （`4）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数，，），要求写出推导过程将结果写成乘方幂的形式；（结果用含a，n的式子表示） 【答案】（1），；（2），；（3）；（4） 【分析】本题考查有理数的混合运算，涉及新定义，解题的关键是熟练掌握有理数相关运算法则，能根据新定义列出算式． （1）由新定义列出算式计算即可； （2）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； （3）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； （4）根据新定义计算即可． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）， ； 故答案为：，； （3） ； （4） 【经典例题六 新考向—材料阅读型问题】 45．（2025七年级上·全国·模拟预测）学习情境•过程纠错 下面是小胡同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题． 计算：． 解：原式 …………第①步 …………………………………第②步 (1)上述解题过程中，从第___________步开始出错（填“①”或“②”）； (2)写出本题的正确解答过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则及运算顺序． （1）检查解题过程发现第①步有误， （2）根据从左到右的顺序写出正确的解法即可． 【详解】（1）解：第①步出错，运算的顺序有误； 故答案是：①； （2）解：． 46．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读材料，回答下列问题． 通过计算容易发现：①；②；③． (1)观察上面的三个算式，直接写出算式：_________． (2)运用你观察到的规律，计算的值． (3)探究上述的运算规律，试计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了裂项法在有理数的混合运算中的应用，明确裂项法的形式是解题的关键． （1）观察①②③三个算式，可知分母中两个乘数的差为1，分子的差也为1，直接写出一个类似的算式即可； （2）根据上述规律得原式，计算即可得出答案； （3）所给算式分母中两个乘数的差为2，但分子的差为1，故前面乘以，则可以用裂项法进行计算． 【详解】（1）解：； ； ； ； （2）解： ； （3）解： ． 47．（2025七年级上·全国·模拟预测）先阅读解答过程，再回答问题： 计算：． 解： ． 上面的方法叫作拆项法．依照拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，读懂题意，理解拆项法是解决问题的关键．按照拆项法先将带分数拆成整数部分与分数部分，然后分别把整数部分、分数部分相加，最后由异分母分数加法运算求解即可得到答案， 【详解】解： ． 48．（24-25七年级上·广东梅州·阶段练习）阅读下列解题过程： 计算：的值． 解：设，（1） 则（2） （2）（1），得， 通过阅读，你一定学会了一种解决问题的方法，请用你学到的方法计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． （1）仿照题干解题过程，设，则，两式相减求解即可； （2）仿照题干解题过程，设， ，则，两式相减求解即可； 【详解】（1）解：设， 则， 两式相减得：， 则； （2）解：设， 则， 两式相减得：， 则． 49．（24-25七年级上·云南昆明·期中）读一读：式子“”表示1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“”表示为，这里“”是求和符号．例如：，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为；又如可表示为．通过对上以材料的阅读，请解答下列问题． (1)（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为______； (2)计算： 【答案】(1) (2)2525 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是关键． （1）根据求和符号的含义和表示方法，判断出（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符合可表示即可． （2）先列出有理数的混合运算，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符合可表示为：； 故答案为：； （2）解： ． 50．（24-25七年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务． 点在数轴上分别表示实数两点之间的距离表示为． 如图，从数轴上看，若点表示的数分别是1，4则或．   【归纳】若点表示的数分别是，则或． 任务： (1)若点表示的数是最大的负整数，点表示的数为，且，则______或______． (2)试用数轴探究，当时，的值为______． (3)利用数轴求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值？ 【答案】(1)2， (2)1或7 (3)可取的整数值为2，3，4，5 【分析】本题考查数轴上两点间的距离、绝对值、有理数的加减，解题的关键是利用分类讨论的思想去绝对值符号． （1）先求得点A表示的数是，再求解b值即可； （2）先得到表示数轴上，数m表示的点与4表示的点的距离为3，再分两种情况：当m表示的点在4的右边时和点m表示的点在4的左边时，利用数轴上两点的距离求解即可； （3）先得到表示数轴上，数x表示的点与数2、数5表示的点的距离之和，然后分三种情况：数x表示的点在2的左边、在2和5之间、在5的右边，利用数轴求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数是最大的负整数， ∴点A表示的数为， ∵点表示的数为，且， ∴或， 故答案为：2，； （2）解：由题意，表示数轴上，数m表示的点与4表示的点的距离为3， 当m表示的点在4的右边时，； 点m表示的点在4的左边时，， 综上，m的值为1或7， 故答案为：1或7； （3）解：由题意，表示数轴上，数x表示的点与数2、数5表示的点的距离之和， 当数x表示的点在2的左边时，， 当数x表示的点在2和5之间（包括2和5）时， 当数x表示的点在5的右边，， ∴， 则当数x表示的点在2和5之间时，取得最小值3， 此时，可取的整数值为2，3，4，5． 51．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）阅读下面材料： 圆圆在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数，，称为数列，，．计算，，的值，将这三个数的最小值称为数列，，的价值．例如，对于数列，，，因为，，，所以数列，，的价值为． 圆圆进一步研究发现：改变数列，，三个数的顺序，可得若干个数列，这些数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列，，的价值为；数列，，的价值为；经过研究，圆圆发现，对于“，，”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为． 根据以上材料，回答下列问题： (1)求数列，，的价值； (2)填空：将“，，”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为 ，取得价值最小值的数列为 （写出所有答案）． (3)已知，将“，，”这三个数按照不同的顺序排列，可得若干个数列，若这些数列的价值的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)；，，或，， (3)，或 【分析】本题考查绝对值，有理数的大小比较，有理数的四则混合运算，理解新定义运算法则，会利用绝对值的性质计算是解答的关键． （1）根据上述材料给出的方法计算，，，结果的最小值即为数列的价值； （2）分类讨论，列举计算即可得解； （3）由题意，数列不同顺序排列后的计算价值时，所有的情况有：，，，，，，，则分情况建立方程，，，，求出满足条件的的数值即可． 【详解】（1）解：因为，，， 所以数列，，的价值为； （2）解：①数列，，的价值为； ②当数列为、、时，，，， 所以数列、、的价值为； ③当数列为，，时，，，， 所以数列，，的价值为； ④当数列为，，时，，，， 所以数列，，的价值为； ⑤当数列为，，时，，，， 所以数列，，的价值为； ⑥当数列为，，时，，，， 所以数列，，的价值为； 综上，这些数列的价值的最小值为，此时数列为，，或，，； 故答案为：；，，或，，； （3）解：由题意，数列不同顺序排列后的计算价值时，所有的情况有：，，，，，，， ∵这些数列的价值的最小值为， ∴当时， 解得：或， ∵， ∴， 此时，，， 故满足条件； 当时， 解得：或， ∵， ∴不合题意，舍去； 当时， 解得：或， 当时，， ∴不合题意，舍去； 当时， 解得：或， 当时，， ∴不合题意，舍去； 综上，若这些数列的价值的最小值为，则的值为，或. 52．（24-25七年级上·全国·期中）综合与实践 阅读材料 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，基数通常用字母k来表示． 日常生活中的十进制是用 0——9 这十个数字来表示数，满十进一．而计算机常用二进制来表示字符代码，它是用 0 和 1 两个数来表示，满二进一， 例：； 解决问题 （1） 请将十进制数转化为三进制数为 ． （2） 将转化成十进制数是 ． （3）计算：（       ） 拓展应用 （4）会员等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，并采用“满四进一”制，一开始是星星，一个星星为1级，4个星星等于一个月亮，4个月亮等于一个太阳，4个太阳等于一个皇冠，若某用户的会员等级标识图为一个皇冠两个太阳三颗星，则其会员等级为 级． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了进位制的换算（含乘方的有理数混合运算），熟练掌握进位制的换算方法（含乘方的有理数混合运算）是解题的关键． （1）十进制整数转化为三进制整数采用“除以3取余数，逆序排列写数”，除到商为0为止； （2）根据二进制转化成十进制，进行有理数混合运算，即可求解； （3）先把与相加得到，再根据“满五进一”把相应数位上的超过或等于5的数向前一位进一，即可得到结果； （4）按照四进制转化为十进制，进行有理数混合运算，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， 转化为三进制数为． 故答案为：； （2）由题意可得， ， 故答案为：； （3）由题意可得， ， 故答案为：； （4）由题意可得，会员等级采用“满四进一”制， 一个皇冠两个太阳三颗星的等级为级， 故答案为：． 53．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】西汉前期民间流传着一则故事．大禹治水时，洛阳西南洛宁县的洛河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案，人称“洛书”．如图1，洛书上有三行三列的纵横图，用实心点或空心点的个数表示数字，分别对应着这9个数字，每行、列及两条对角线上的三个数相加的结果相同．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． 【问题解决】 （1）根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； （2）如图3，是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将1，2，3，4，5这五个数字填入表格，补全这个新的三阶幻方； 【拓展思考】 （3）有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．如图4，将这12个数字填入恰当的位置后（数字不重复使用），每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都相等，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或111 【分析】本题考查了有理数的四则运算，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）根据题意可知，每行、列和对角线上的数字之和都为15，进而求解即可； （2）根据题意，新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：，进而求解即可； （3）根据题意，每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都为：，进而代入求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可知，每行、列和对角线上的数字之和都相等， ∴对角线上的数字之和为：， 第一行第三列的数为：， 第一行第二列的数为：， 第三行第一列的数为：， 第三行第二列数为：， 第二行第一列数字为：， 所以三阶幻方补充如图2； （2）根据题意，新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：， 第一行第一列的数为：， 第三行第一列的数为：， 第二行第二列的数为：， 第二行第三列的数为：， 第三行第三列的数为：； 补全的三阶幻方如图3所示； （3）根据题意，每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都为：， ∴， 解得， 又∵，且数字不重复， ∴或， 当时， ∴； 当时， ∴； 综上，的值为或111． 学科网（北京）股份有限公司 $$