第1章 三角形 单元练习2025-2026学年苏科版（2024）八年级数学上册

第1章 三角形 一、单选题 1．如图，已知，垂足为D．下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 3．如图，已知，于点D，于点E，与相交于点F，连接，则图中的全等三角形有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 4．小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（   ） A． B． C． D． 5．如图，在等腰三角形 中， 是底边 上的高线， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 的长为（     ） A．1 B．3 C．5 D．6 6．如图，在中，，点在的延长线上．若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，则的长为（　　） A． B．6 C． D．7 8．如图，在中，相交于点．当时，则的大小是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为，上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 10．如图，在中，，，，，是的平分线，，垂足为，则的周长为 ． 11．已知某三角形的三条边长分别为，，关于的不等式有且只有个正整数解，则a的取值范围为 ． 12．如图，在中，，D是的中点，垂直平分，交于点，交于点F，M是上一点，连接，，若，，则周长的最小值为 ． 13．如图，在中，，，，点、分别是AB，BC上的动点，则的最小值为 ． 三、解答题 14．如图，已知，于点E，于点F，，连接交于点O．求证：是的中点． 15．如图，，，．求证． 16．如图，在中，是边上的高，是边上的中线，为垂足．求证：是中点． 17．如图，点C是的中点，，且．求证． 18．如图，，，． (1)求证：． (2)若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余写出各角的关系，然后选择答案即可． 【详解】解：∵， ， ， ∴A、B、D选项结论不一定正确，C选项正确． 故选：C． 2．A 【分析】根据基本作图，同圆的半径相等，可以判定是根据，解答即可． 本题考查了基本作图，三角形全等的判定和性质，熟练掌握基本作图是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得到判定二角相等的依据是， 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 由条件先根据证明，可得，根据证明，可得，根据证明，可得，根据证明，进一步证明可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，． 在和中， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，． 在和中， ∴， 在与中， ∴， ∴全等的三角形共有5对， 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，是解本题的关键． 根据三角形三边关系得出第三边的取值范围，判断即可． 【详解】解：两根长度为和的木棒， 则第三边的取值范围为：， 即：， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，证明是解答本题的关键．先证明，即有，再根据“三线合一”的性质即可求解． 【详解】解：∵，是底边上的高线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵根据题意有，， ∴， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查等腰三角形三线合一的性质，含30度角的直角三角形的性质，作于点E，由三线合一可得，再证，由30度角所对的直角边等于斜边的一半，可得，进而即可求解． 【详解】解：如图，作于点E， 中，，， ，即， ，， ， ， ， ， 故选C． 7．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形对应边相等易得，然后求出的长度，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和平行线的性质，求出的度数是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，再由平行线的性质得，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得的度数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．11 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定与性质．作点Q关于的对称点，连接，则，则，可得当点P，E，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，从而得到的最小值为的长，再证明为等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵等边中，D为中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接，则，则， 当点P，E，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 即的最小值为11． 故答案为：11 10． 【分析】本题考查了三角形全等的判定和角平分线的性质，熟练掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键. 首先根据三角形全等的判定定理得到，然后根据三角形全等得出、，即可求得的长，则可知的周长. 【详解】解：是的平分线 是公共边 在和中 的周长为： 故答案为： ． 11． 【分析】本题考查了三角形三边关系，一元一次不等式的正整数解，掌握三角形两边之和大于第三边，结合不等式正整数解的个数确定参数范围是解题的关键． 根据三角形的三边关系得到，求得，由不等式有且只有3个正整数解，得到，于是得到结论． 【详解】解：三角形的三边长为，， ， ， 有且只有个正整数解，即有且只有 个正整数解， ， ， 的取值范围为 故答案为： ． 12．9 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，根据等腰三角形的三线合一得到，，求出的面积，再根据垂直平分线的性质得到，求出的周长，得到当，，三点共线时，的值最小，进而求出结果即可 【详解】解：如图，连接，． 在中，，是边的中点， ， ， 解得． 垂直平分， 的周长为． 当，，三点共线时，的值最小， 即当最小值为的长时，的周长最小，为， 故答案为：9 13． 【分析】本题考查作轴对称，两点之间，线段最短，垂线段最短，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 作E关于的对称点F，作关于的对称，连接根据两点之间，线段最短，得点D为的交点，继而，根据垂线段最短，当时，取得最小值，即可解答． 【详解】解：作E关于的对称点F，作关于的对称，连接如图，有 ，点F在上，，，， ∴，根据两点之间，线段最短，得点D为的交点． 当时，根据垂线段最短，此时取得最小值． ∵， ∴， 即， 解得， 则的最小值为． 故答案为：． 14．证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴． ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中点． 15．见解析 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，证得是解题的关键． 根据题意证明出，即可得到． 【详解】证明：∵，， ∴ ∴． 16．见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定， 先连接，根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得为等腰三角形，然后根据“三线合一”解答即可. 【详解】证明：连接， 为边上中线， ． 又 ， 为等腰三角形． 又 ∴点是的中点． 17．见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，证明是关键．证明，则，根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵点C是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解答该题的关键是证明三角形全等. （1）根据平行线得出，再由全等三角形的判定定理即可证明； （2）根据可得，即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴. （2）解：∵， ∴， ∴， ∴. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$