1.1.2空间向量的数量积运算课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版 选择性必修 第一册 1.1.2空间向量的数量积运算 第一章 空间向量与立体几何 1.平面向量的夹角: 课前回顾 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作　　　　　　　　　　　　 则∠AOB=θ (0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． （共起点） 0≤θ≤π 当θ=0时，a与b同向; 当θ=π时，a与b反向. 如果a与b的夹角是 ，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 课前回顾 2.平面向量的数量积: 【规定】零向量与任一向量的数量积为0 学习目标 1.掌握空间向量的夹角的概念； 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法； 3.能用向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题. 问题1：空间向量的夹角。 问题2：空间向量的数量积及其性质。 问题3：向量的投影。 自学指导 阅读课本6--7页，完成以下问题： 教师点拨 空间向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作　　　　　　　　　　　 则∠AOB叫做向量a 与b 的夹角．记作<a,b>. （共起点） 6 知识要点2 练习 如图所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,下列各对向量的夹角为135°的是(　　) 小组互助 B 教师点拨 空间向量的数量积 注意： 　①两个向量的数量积是数量，而不是向量. 　②零向量与任意向量的数量积等于0. 已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做a,b的数量积,记作a·b. 当a≠0,b≠0时,a⊥b⇔a·b=0 a·a=|a||a|cos<a,a>=|a|2 性质 运算律 小组互助 练习 (1)下列式子正确的是(　　) A.|a|a=a2 B.(a·b)2=a2b2 C.a(a·b)=b·a2 D.|a·b|≤|a||b| (2)已知向量a和b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a=(　　) D D 在平面向量中，我们学习了向量的投影。类似地，在空间，向量 向向量 的投影有什么意义？向量 向直线l 的投影呢？向量 向平面β的投影呢？ 教师点拨 向量的投影 c=|a|cos<a,b> 向量c称为向量a在向量b上的投影向量. 教师点拨 向量的投影 练习 已知|a|=4,|b|=6,a与b的夹角为60°,则向量a在向量b上的投影向量是　　　　　.  小组互助 小组互助 例1 如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算: 小组互助 练习 － － － － － － － － － － － － － － 2.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，设=a，=b,=c，求: (1)a·(b+c) (2)a·(a+b+c) (3)(a+b)(b+c) 小组互助 例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥平面B1AC. 小组互助 变式2 如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,CD'与DC'相交于点O,连接AO,求证: (1)AO⊥CD'; (2)AC'⊥平面B'CD'. 小组互助 小组互助 变式3 如图,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5, ∠OAC=45°,∠OAB=60°,求向量 的夹角的余弦值. 练习 － － － － － － － － － － － － － － B A B A1 C1 B1 C 1.如图，在正三棱柱ABC-中，若AB=B，则与 所成角的大小为( ) (A)60° (B)90° (C)105° (D)75° 小组互助 变式4 如图,在空间四边形OABC中,OA,OB,OC两两成60°角,且OA=OB=OC=2,E为OA的中点,F为BC的中点,求点E,F间的距离. 小组互助 练习 － － － － － － － － － － － － － － 3.如图，在平行六面体ABCD-A‘BCD’中，AB=4,AD=3，AA‘=5， 求: (1)AA'.AB; (2)AB'的长; (3)AC'的长. 练习 － － － － － － － － － － － － － － 4.如图，线段AB，BD在平面 内，BDAB，AC,且AB=a，BD=b，AC=c.求C，D两点间的距离. 课后反思 1、空间向量的夹角 2、空间向量的数量积 3、投影向量 27 A. B. C. D. A.12 B.8+ C.4 D.13 分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量 ,向量 称为向量a在平面β上的投影向量. 向量a, 的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. b (1);(2);(3). 变式1 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都为2,若=a,=b,=c,且∠BAA1=∠CAA1=60°,计算:(1)a·b; (2). 例3 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求向量的夹角的大小. 例4 已知正四面体ABCD的棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且||=2||,||=|,求线段MN的长. $$