精品解析：四川省泸县第五中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

泸县五中高2023级高三上期开学考试 数 学 第I卷 选择题 58分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合交集的定义，计算即可得答案. 【详解】因为集合是所有非正整数组成的集合，所以． 故选：D． 2. 已知命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据含有一个量词的否定得到答案即可. 【详解】命题p：，，则命题p的否定为，, 故选：D. 3. 设，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念及复平面内点的位置判断. 【详解】因为， 所以， 所以在复平面内对应的点为在第一象限. 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式把弦化切即可得解. 【详解】. 故选：A. 5. 等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 18 B. 24 C. 12 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式及性质求解即可. 【详解】因为， 所以， 根据等差数列下标和性质， 所以． 故选：C. 6. 直线被圆所截得的弦长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式求解. 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 所以所求弦长为. 故选：A 7. 的展开式中的系数为（ ） A. 252 B. 162 C. 126 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】方法1：先求得展开式中的项的系数，结合与多项式相乘，即可求得答案. 方法2：将变形为，求得展开式中的项的系数，结合与多项式相乘，即可求得答案. 【详解】方法1：的通项公式为， 分别令可得，，， 所以的展开式中含的项为， ∴的系数为． 方法2：由， 的通项公式为， 分别令可得项的系数分别为， 所以的展开式中含的项为 所以的系数为． 故选：B． 8. 在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正三棱柱特点，则（或其补角）为异面直线与所成的角，再在中，应用余弦定理求解即可. 【详解】 在正三棱柱中， ，则（或其补角）为异面直线与所成的角． 设，在中， ，， 由余弦定理得 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质逐项判断即可. 【详解】选项A：，是偶函数，定义域为， 因为幂函数，由于幂指数，所以在上单调递减，A不满足题意； 选项B：，是偶函数，定义域为， 由二次函数的图象与性质得在上单调递增，B正确； 选项C：，是偶函数，定义域为， 当时，，则在上单调递增，C正确； 选项D：，则定义域为，不是偶函数，D不满足题意； 故选：BC 10. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，则（ ） A. 的准线方程为 B. 若，则 C. 的最大值为16 D. 为钝角 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接求抛物线准线方程判断A；直线的斜率不存在时和直线的斜率存在两种情况分别求解，当直线的斜率存在时，设其方程为)，与抛物线方程联立，得出根与系数的关系，再由抛物线定义表示出，可判断BC；由判断D． 【详解】如图： 由已知得焦点，准线方程为，A正确； 当直线的斜率不存在时，，其中， 当直线的斜率存在时，设其方程为， 与抛物线方程联立，得， ，， 由抛物线定义知，， 若，则，B正确； ， 所以的最小值为16，C错误； 由 ， 所以为钝角，D正确. 故选：ABD 11. 若，随机变量，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 当p在变化时，的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据及正态分布的性质即可判断选项A；当时，根据二项分布的方差公式求出的值，再利用正态分布的方差即可判断选项B；根据正态分布的方差求出的值，结合二项分布的方差公式即可判断选项C；根据二项分布的概率分布列公式，可得 .构造函数，利用导数研究函数单调性即可判断选项D. 【详解】因为，=6，所以由正态分布的性质可知，故选项A正确； 当时，即，即，解得或，当时，，当时，，故选项B错误； 当时，即，因为，所以，所以，故选项C正确； 因为，所以. 设函数， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 最大值为，故选项D正确. 故选：ACD. 第II卷 非选择题 92分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某班共42人，其中20人喜爱篮球运动，25人喜爱乒乓球运动，12人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据集合的韦恩图即可求解. 【详解】设集合表示：喜爱篮球运动的学生，集合表示：喜爱乒乓球运动的学生，整个班级学生为集合, 则由题可知，的元素个数为20，的元素个数为25， 则的元素个数为12，所以的元素个数为， 所以的元素个数为， 所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为人， 故答案为:5. 13. 若在上单调递减，则实数的最大值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可知在上恒成立，分离参数，令，由基本不等式求出的最小值，即可得出答案. 【详解】因为在上单调递减， 所以在上恒成立，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，令， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以， 故实数的最大值为. 故答案为：. 14. 过原点的直线与双曲线交于两点，且点在第二象限，过点作的垂线与交于点，过点作x轴的垂线与交于点，与直线交于点E，若则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，则，利用点差法可得，结合已知可求得的值，进而可求得离心率. 【详解】设，，则， 由，得.因为点均在双曲线上， 所以，两式相减得， 则，因为，所以， 又， 所以， 故双曲线的离心率. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了研究高二学生数学和物理成绩的相关情况，学校在高二学生中采用随机抽样的方法抽取了150名学生，调查他们平时的数学与物理成绩情况，统计数据如下． 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 物理成绩优秀 55 20 75 物理成绩不优秀 30 45 75 合计 85 65 150 （1）依据列联表判断，能否有99.9%的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关？ （2）从调查的物理成绩不优秀的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取15人．若从这15人中随机抽取2人，记X为数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）能； （2）分布列： X 0 1 2 P 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）求出的观测值，与临界值比对得解; （2）先通过采用分层抽样得抽取的成绩优秀与不优秀的人数，求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 由题意可知， 由查表可得，由于， 所以能有的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关． 【小问2详解】 由于物理成绩不优秀的学生中，数学成绩优秀与数学成绩不优秀的人数比为， 所以采用分层抽样的方法抽取的15人中，数学成绩优秀的有6人，数学成绩不优秀的有9人， 可知可取0,1,2， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 P 从而． 16. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由与的关系代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由错位相减法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由 ，得， 两式相减，得：， ， 即，， ， . 【小问2详解】 ， ， ① ② ①②，得： ， . 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且满足． （1）求的方程； （2）设直线与交于两点，若线段中点的纵坐标为1，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入椭圆的方程，结合的坐标运算列方程求解即可. （2）设直线方程为，与椭圆方程联立，韦达定理，求出和点到直线的距离，代入面积公式并化简得，利用二次函数性质求解最大值即可. 【小问1详解】 因为在上，所以①． 由题意知，所以． 由，得，解得②． 由①②联立解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，线段的中点的纵坐标为0，故直线的斜率存在． 设其方程为，联立消得． 由，得③． 如图，设， 则． 所以，则． 所以，代入③得， 所以． ， 点到直线的距离， ， ． 当时，最大，最大值为． 18. 如图，平面四边形中，点是线段上一点，，且，，，沿着将三角形折叠得到四棱锥，折叠后． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的正切值； （3）若，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，证明：当球的半径最小时，点在平面内． 【答案】（1） 在四边形中，因为，所以折叠后有，． 又，平面，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2） （3） 由（1）知平面平面， 设和的外心分别和， 因为、、、均在以为球心的球面上， 则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点， 过点作于，连接， 设，显然四边形为矩形， 所以． 在中，设（）， 由及余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径． 在中，，，， 由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径． 所以， 即， 所以，故当时，球的半径最小， 此时点与点重合，所以点在平面内． 【解析】 【分析】（1）由图翻折可知，，再利用面面垂直的判定证明即可； （2）过点作交于，通过证明平面，得到为二面角的平面角，再求正切值即可； （3）设和的外心分别和，则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点，过点作于，连接，可知四边形为矩形，设，通过计算可得外接球半径，当时，球的半径最小，此时点与点重合即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，又，故， 过点作交于，则，连接，， 因为平面平面，面面，平面， 且，所以平面． 因为平面，所以，同理， 因为，，，所以由余弦定理得， 所以， 因为，平面，平面，所以平面． 因为平面，所以，所以为二面角的平面角． 所以在中，， 所以平面与平面夹角的正切值为． 【小问3详解】 略 19. 已知函数． （1）求的极值点； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据参数和分类讨论计算单调性及极值； （2）根据不等式恒成立计算最值计算求解得出参数范围； （3）构造函数计算得出不等式，再应用不等式性质，结合数列求和计算证明. 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，，在上是增函数，故在上无极值点． 当时，令，则． 当时，，在上是增函数； 当时，，在上是减函数． 所以当时，取得极大值． 综上可知，当时，无极值点； 当时，有唯一极大值点． 【小问2详解】 由（1）可知，当时，，不恒成立，故只需考虑． 由（1）知，， 若恒成立，只需即可， 化简得，所以的取值范围是． 【小问3详解】 设， 当单调递增； 当单调递减； 所以，所以 因为，所以， 则有， 从而， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸县五中高2023级高三上期开学考试 数 学 第I卷 选择题 58分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（   ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 18 B. 24 C. 12 D. 32 6. 直线被圆所截得的弦长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 的展开式中的系数为（ ） A. 252 B. 162 C. 126 D. 36 8. 在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，则（ ） A. 的准线方程为 B. 若，则 C. 的最大值为16 D. 为钝角 11. 若，随机变量，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 当p在变化时，的最大值为 第II卷 非选择题 92分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某班共42人，其中20人喜爱篮球运动，25人喜爱乒乓球运动，12人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为__________. 13. 若在上单调递减，则实数的最大值为_______． 14. 过原点的直线与双曲线交于两点，且点在第二象限，过点作的垂线与交于点，过点作x轴的垂线与交于点，与直线交于点E，若则的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了研究高二学生数学和物理成绩的相关情况，学校在高二学生中采用随机抽样的方法抽取了150名学生，调查他们平时的数学与物理成绩情况，统计数据如下． 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 物理成绩优秀 55 20 75 物理成绩不优秀 30 45 75 合计 85 65 150 （1）依据列联表判断，能否有99.9%的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关？ （2）从调查的物理成绩不优秀的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取15人．若从这15人中随机抽取2人，记X为数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 16. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且满足． （1）求的方程； （2）设直线与交于两点，若线段中点的纵坐标为1，求面积的最大值． 18. 如图，平面四边形中，点是线段上一点，，且，，，沿着将三角形折叠得到四棱锥，折叠后． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的正切值； （3）若，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，证明：当球的半径最小时，点在平面内． 19. 已知函数． （1）求的极值点； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $