江西省2026届高三上学期8月入学摸底考试数学试题

江西省2026届高三年级入学摸底考试 数学试题 2025.8.20 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟 注意事项： ①答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． ②回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，必须使用黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． ③考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 59 B. 61 C. 63 D. 65 3. “”是“函数为偶函数”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若随机变量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 5. 已知圆台的上底面积，下底面积分别为，体积为，则该圆台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为．直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为．若，且，则的周长为（ ） A. 24 B. 28 C. 32 D. 36 7. 已知数列满足，且函数．当时，函数恰有一个零点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知为曲线上的两点，为曲线上的两点．其中点在点左侧，点在点左侧．则矩形的面积最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若双曲线的焦距是虚轴长的倍，则（ ） A. 的离心率为 B. 的渐近线方程为 C. 的渐近线夹角的正切值为 D. 的实轴长是虚轴长的倍 10. 在直角中，且．若的内切圆半径为2，且与线段相切于点，则（ ） A. B. C. D. 11. 赣南脐橙是江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品，被誉为＂中华名果＂．近年赣南脐橙受黄龙病影响，脐橙产品合格率有所降低．现有6个脐橙，其中有3个不合格产品，每次从中抽取1个且不放回，设为抽到第2件合格品时的抽取次数，则（ ） A. 的取值为2，3，4，5 B. 时，共有108种抽取顺序 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的实部为______． 13. 已知，且，则______．（用含的代数式表示） 14. 在平面直角坐标系中，已知．若抛物线上有且仅有一点满足，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 2025年江西省城市足球联赛（即“赣超”）在江西各区市举行为了研究观看“赣超”与经常参与足球运动的关系，在城市社区随机调查了1200人，得到如下的列联表： 观看“赣超” 不观看“赣超” 经常参与足球运动 679 21 不经常参与足球运动 121 379 （1）求观看“赣超”者不经常参与足球运动的概率的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析观看“赣超”是否与经常参与足球运动有关． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 如图，三棱锥中，，，，，，． （1）若，证明：平面平面； （2）若二面角的正切值为，求三棱锥的外接球表面积． 17. 已知函数． （1）若曲线的切线过点，求与坐标轴围成的三角形面积的最小值； （2）（ⅰ）求曲线在处的切线方程； （ⅱ）设函数，判断有几个极值点并说明理由． （参考数据：） 18. 已知数列，其前项的和为．设数列，其中． （1）求； （2）设，求的值； （3）设，求使得成立的最大正整数的值．（其中符号表示不超过的最大整数） 19. 已知和为椭圆上的两点，点和也在椭圆上，点A在射线上且满足，线段与椭圆交于异于的点B，记和的面积分别为，且． （1）用表示点B的坐标； （2）（i）求； （ii）若，求点的坐标． 江西省2026届高三年级入学摸底考试 数学试题 2025.8.20 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟 注意事项： ①答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． ②回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，必须使用黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． ③考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】或 【14题答案】 【答案】32 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 【15题答案】 【答案】（1） （2）有关 【16题答案】 【答案】（1） 证明：， 解得，在中，由余弦定理， ， 代入数据得，所以， 所以，由勾股定理逆定理得，， 因为且， 所以， 又因为， 所以， 所以即，结合前述， 又因为且平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面． （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）（i）； （ⅱ）有1个极值点，理由： ，欲求有几个极值点，即求有几个变号零点，令， ①时，，则在上单调递增， ，由零点存在定理：，使得， 时，有一个极值点， ②时，，此时无零点， ③时，下证：， 令，则， 时，，故单调递减；时，，故单调递增， ， 令，则， 时，单调递增；时，单调递减， ， ， 恒成立，此时无零点， ④时，，但两者不同时取得等号， 恒成立，此时无零点， 综上可得，有1个极值点． 【18题答案】 【答案】（1）， （2） （3）64 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii）和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $