2.2 一元二次方程的解法 暑假巩固练习2024-2025学年浙教版八年级数学下册

浙教版八年级下册 2.2 一元二次方程的解法 暑假巩固 一、配方法解一元二次方程 1.方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方式后所得的方程为（　　） A.（x+3）2＝14 B.（x﹣3）2＝14 C. D.以上答案都不对 2.用配方法解方程2x2﹣6x+1＝0时，若将方程化为（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为（　　） A.﹣1 B. C. D.1 3.一元二次方程x2+4x+1＝0配方后可变形为（x+2）2＝k，则k的值是（　　） A.3 B.2 C.1 D.0 4.将方程x2+4x+1＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为 　  　． 5.如图，在用配方法解一元二次方程x2+6x＝40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是（x+6）、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m的值是 　    　． 6.（1）计算：（﹣3）2+（2024﹣π）0﹣|﹣4|； （2）下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x﹣8＝0的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ①小明同学的解答过程，从第 　　步开始出现错误； ②请写出你认为正确的解答过程． 7.阅读下列材料： 有人研究了利用几何图形求解方程x2+34x﹣71000＝0的方法，该方法求解的过程如下： 第一步：构造 已知小正方形边长为x，将其边长增加17，得到大正方形（如图）． 第二步：推理 根据图形中面积之间的关系，可得（x+17）2＝x2+2×17x+172． 由原方程x2+34x﹣71000＝0，得x2+34x＝71000． 所以（x+17）2＝71000+172． 所以（x+17）2＝71289． 直接开方可得正根x＝250． 依照上述解法，要解方程x2+bx+c＝0（b＞0），请写出第一步“构造”的具体内容：　                       　； 与第二步中“（x+17）2＝71000+172“相应的等式是 　              　． 二、根据一元二次方程根的情况求字母的取值范围 1.关于x的方程ax2+2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A.a≤1 B.a≤1且a≠0 C.a取一切实数 D.a＜1 2.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A.k＜﹣1 B.k≥﹣1 C.k＞﹣1 D.k≥﹣1且k≠0 3.若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m﹣2＝0无实数根，则m的取值范围是（　　） A.m≤2 B.m≥2 C.m＜2 D.m＞2 4.关于x的方程x2﹣x+c＝0有两个不相等的实数，则实数c的取值范围是 　     　． 5.若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是 　     　． 6.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+1﹣k＝0． （1）若这个方程没有实数根，求k的取值范围． （2）当k＝﹣2时，若等腰三角形的两边长分别为该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 7.已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m取满足条件的最小奇数时，求方程的根． 三、开平方法解一元二次方程 1.如图，这是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（　　） A.x1＝2，x2＝﹣2 B.x1＝3，x2＝﹣3 C.x1＝3，x2＝﹣1 D.x1＝﹣3，x2＝1 2.若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A.1，4 B.1，﹣1 C.2，﹣2 D.3，0 3.若x＝3是关于x的一元二次方程x2＝a的一个解，则a的值为（　　） A.9 B.6 C.3 D.1 4.已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣5）2+n＝0的解是 　    　． 5.对于实数a，b，定义一种运算“⊕”为：a⊕b＝a2﹣2b，若关于x的方程（x+1）⊕（3m）＝0没有实数根，则实数m的取值范围为 　    　． 6.解方程：（3x﹣1）2＝4（2x+3）2． 7.关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是1，且a，b满足b＝﹣3，求关于y的方程﹣c＝0的根． 四、换元法解一元二次方程 1.若（x2+y2﹣3）2＝25，则x2+y2等于（　　） A.8 B.8或﹣2 C.﹣2 D.以上都不对 2.已知（m+n）2+2m+2n＝0，则m+n的值是（　　） A.0 B.﹣2 C.0或﹣2 D.0或2 3.已知关于x的一元二次方程3x2﹣2xy﹣y2＝0，则＝（　　） A.1 B.1或 C.1或 D. 4.实数x，y满足（x2+y2）2﹣x2﹣y2﹣5＝0，则x2+y2＝　    　． 5.已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3＝0，那么x2+x+1的值为 　   　． 6.对于方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们不妨将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则有（x2﹣1）2＝y2，从而将原方程转化为y2﹣5y+4＝0． 解得y1＝1，y2＝4． 当y1＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2，x＝±； 当y2＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，x＝±． ∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣． 问题：利用上述方法解方程（x2+x）（x2+x﹣2）＝﹣1． 7.阅读理解 解方程时，我们经常将整体多次出现的部分打包进行换元处理，从而达到了降次、转整等目的，这一“神奇”的方法叫换元法． 例如：解方程：（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12＝0． 解：设x2﹣x＝y．原方程化为y2﹣8y+12＝0．∴（y﹣2）（y﹣6）＝0．∴y﹣2＝0或y﹣6＝0．∴y1＝2，y2＝6． 当y＝2时，即x2﹣x＝2．∴（x﹣2）（x+1）＝0，∴x﹣2＝0或x+1＝0．∴x1＝2，x2＝﹣1 当y＝6时，即x2﹣x＝6．∴（x﹣3）（x+2）＝0．∴x﹣3＝0或x+2＝0．∴x3＝3，x4＝﹣2．∴原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1，x3＝3，x4＝﹣2． 请你利用换元法解方程：（x2﹣7）2﹣（x2﹣7）﹣2＝0． 五、根据一元二次方程根的情况求字母的值 1.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 2.若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A.﹣4 B. C. D.4 3.若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等实数根，则实数m的值为（　　） A. B.﹣4 C. D.4 4.关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣m＝0没有实数根，写出一个符合条件的整数m的值为 　    　． 5.已知关于x的方程有两个实数根，请写出一个符合条件的m的值 　   　． 6.已知a，b，c为三角形的三边长，且关于x的方程bx2+（a+b）x+a＝0有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状． 7.已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）等腰三角形ABC中，AB＝3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值． 浙教版八年级下册 2.2 一元二次方程的解法 暑假巩固（参考答案） 一、配方法解一元二次方程 1.方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方式后所得的方程为（　　） A.（x+3）2＝14 B.（x﹣3）2＝14 C. D.以上答案都不对 【答案】A 【解析】先变形得到x2+6x＝5，再把方程两边加上9得x2+6x+9＝5+9，然后根据完全平方公式得到（x+3）2＝14． 先移项得x2+6x＝5， 方程两边加上9得x2+6x+9＝5+9， 所以（x+3）2＝14． 故选：A． 2.用配方法解方程2x2﹣6x+1＝0时，若将方程化为（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为（　　） A.﹣1 B. C. D.1 【答案】B 【解析】根据配方法进行计算即可求解 2x2﹣6x+1＝0， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3.一元二次方程x2+4x+1＝0配方后可变形为（x+2）2＝k，则k的值是（　　） A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】A 【解析】利用配方法将原方程x2+4x+1＝0变形成与（x+2）2＝k的形式，即可求解． x2+4x+1＝0， x2+4x＝﹣1， x2+4x+4＝﹣1+4， （x+2）2＝3， ∴k＝3， 故选：A． 4.将方程x2+4x+1＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为 　  　． 【答案】5． 【解析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答． x2+4x+1＝0， ∴x2+4x＝﹣1， ∴x2+4x+4＝﹣1+4， ∴（x+2）2＝3， ∴m＝2，n＝3， ∴m+n＝2+3＝5 故答案为：5． 5.如图，在用配方法解一元二次方程x2+6x＝40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是（x+6）、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m的值是 　    　． 【答案】3． 【解析】用配方法求解即可． 由题意，得x(x+6)=40, ∴x2+6x＝40， ∴x2+6x+9＝40+9， （x+3）2＝49， ∴m＝3． 故答案为：3． 6.（1）计算：（﹣3）2+（2024﹣π）0﹣|﹣4|； （2）下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x﹣8＝0的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ①小明同学的解答过程，从第 　　步开始出现错误； ②请写出你认为正确的解答过程． 【答案】解：（1）（﹣3）2+（2024﹣π）0﹣|﹣4| ＝9+1﹣4 ＝10﹣4 ＝6； （2）①小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误， 故答案为：三； ②正确的解答过程如下： 2x2+4x﹣8＝0， 2x2+4x＝8， x2+2x＝4， x2+2x+1＝4+1， （x+1）2＝5， x+1＝±， x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣． 7.阅读下列材料： 有人研究了利用几何图形求解方程x2+34x﹣71000＝0的方法，该方法求解的过程如下： 第一步：构造 已知小正方形边长为x，将其边长增加17，得到大正方形（如图）． 第二步：推理 根据图形中面积之间的关系，可得（x+17）2＝x2+2×17x+172． 由原方程x2+34x﹣71000＝0，得x2+34x＝71000． 所以（x+17）2＝71000+172． 所以（x+17）2＝71289． 直接开方可得正根x＝250． 依照上述解法，要解方程x2+bx+c＝0（b＞0），请写出第一步“构造”的具体内容：　                       　； 与第二步中“（x+17）2＝71000+172“相应的等式是 　              　． 【答案】已知小正方形边长为x，将其边长增加，得到大正方形； （x+）2＝﹣c+（）2． 【解析】第一步：仿照材料中的内容构造具体内容； 第二步：根据图形面积关系和等式的性质列出相应的等式． 解方程x2+bx+c＝0（b＞0）， 第一步“构造”：已知小正方形边长为x，将其边长增加，得到大正方形， 故答案为：已知小正方形边长为x，将其边长增加，得到大正方形； 第二步：推理， 根据图形面积之间的关系，可得（x+）2＝x2+2×x+（）2． 由原方程x2+bx+c＝0，得x2+bx＝﹣c． 所以（x+）2＝﹣c+（）2， 故答案为：（x+）2＝﹣c+（）2． 二、根据一元二次方程根的情况求字母的取值范围 1.关于x的方程ax2+2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A.a≤1 B.a≤1且a≠0 C.a取一切实数 D.a＜1 【答案】A 【解析】分为两种情况：①当a＝0，②a≠0，根据已知得出△≥0，求出即可． 分为两种情况：①当a＝0时，2x+1＝0， 解得：x＝﹣； ②当a≠0时，∵关于x的方程ax2+2x+1＝0有实数根， ∴Δ＝22﹣4×a×1＝4﹣4a≥0， 解得：a≤1， 故选：A． 2.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A.k＜﹣1 B.k≥﹣1 C.k＞﹣1 D.k≥﹣1且k≠0 【答案】D 【解析】先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． ∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）≥0，k≠0， 解得：k≥﹣1且k≠0． 故选：D． 3.若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m﹣2＝0无实数根，则m的取值范围是（　　） A.m≤2 B.m≥2 C.m＜2 D.m＞2 【答案】D 【解析】由方程无实数根即Δ＝b2﹣4ac＜0，从而得出关于m的不等式，解之可得． ∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m﹣2＝0无实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4（3m﹣2）＝16﹣12m+8＜0， 解得：m＞2． 故选：D． 4.关于x的方程x2﹣x+c＝0有两个不相等的实数，则实数c的取值范围是 　     　． 【答案】． 【解析】根据一元二次方程根的情况求参数，根据两个不相等的实数，得Δ＝b2﹣4ac＞0，代入数值进行计算，即可作答． ∵关于x的方程x2﹣x+c＝0有两个不相等的实数， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×c＞0， 解得， 故答案为：． 5.若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是 　     　． 【答案】m＞． 【解析】由方程的系数结合根的判别式Δ＜0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围． ∵关于x的一元二次方程x2+x+m＝0没有实数根， ∴Δ＝12﹣4×1×m＝1﹣4m＜0， 解得：m＞． 故答案为：m＞． 6.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+1﹣k＝0． （1）若这个方程没有实数根，求k的取值范围． （2）当k＝﹣2时，若等腰三角形的两边长分别为该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】解：（1）根据题意，得Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（1﹣k）＝16﹣4（1﹣k）＜0， ∴16﹣4+4k＜0， ∴4k＜﹣12， 解得k＜﹣3． （2）当k＝﹣2时，方程为x2﹣4x+3＝0， 解得x1＝3，x2＝1． 若3为腰，则周长＝3+3+1＝7； 若1为腰，∵1+1＜3， ∴构不成三角形，舍去， ∴等腰三角形的周长为7． 7.已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m取满足条件的最小奇数时，求方程的根． 【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0 有两个不相等的实数根， ∴m+1≠0且Δ＞0． ∵Δ＝（2m）2﹣4（m+1）（m﹣3）＝4（2m+3）， ∴2m+3＞0． 解得 m＞． ∴m的取值范围是 m＞且m≠﹣1． （2）在m＞且m≠﹣1的范围内，最小奇数m为1． 此时，方程化为x2+x﹣1＝0． ∵Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5， ∴． ∴方程的根为 ，． 三、开平方法解一元二次方程 1.如图，这是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（　　） A.x1＝2，x2＝﹣2 B.x1＝3，x2＝﹣3 C.x1＝3，x2＝﹣1 D.x1＝﹣3，x2＝1 【答案】C 【解析】利用程序图中的程序列出方程，解方程即可解答． 由题意得：2（x﹣1）2＝8， 整理得：（x﹣1）2＝4， 直接开平方得：x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2， 解得x1＝3，x2＝﹣1． 故选：C． 2.若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A.1，4 B.1，﹣1 C.2，﹣2 D.3，0 【答案】C 【解析】方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数，据此可得m+1+2m﹣4＝0，求得m的值，继而可得答案． 由题意知，方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数， ∴m+1+2m﹣4＝0， 解得m＝1， ∴m+1＝2，2m﹣4＝﹣2， 故选：C． 3.若x＝3是关于x的一元二次方程x2＝a的一个解，则a的值为（　　） A.9 B.6 C.3 D.1 【答案】A 【解析】把方程的解x＝3代入方程，即可求出a的值． ∵x＝3是方程x2＝a的解， ∴a＝32＝9， 故选：A． 4.已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣5）2+n＝0的解是 　    　． 【答案】x1＝2，x2＝6． 【解析】把关于x的方程m（x+a﹣5）2+n＝0看作关于（x﹣5）的一元二次方程，则x﹣5＝﹣3或x﹣5＝1，然后解一次方程即可． ∵关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1， ∴关于（x﹣5）的方程m（x+a﹣5）2+n＝0的解满足x﹣5＝﹣3或x﹣5＝1， 解得x1＝2，x2＝6． 故答案为：x1＝2，x2＝6． 5.对于实数a，b，定义一种运算“⊕”为：a⊕b＝a2﹣2b，若关于x的方程（x+1）⊕（3m）＝0没有实数根，则实数m的取值范围为 　    　． 【答案】m＜0． 【解析】根据定义的新运算可得：（x+1）2﹣6m＝0，从而可得（x+1）2＝6m，然后利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答． ∵（x+1）⊕（3m）＝0， ∴（x+1）2﹣6m＝0， ∴（x+1）2＝6m， ∵方程（x+1）⊕（3m）＝0没有实数根， ∴6m＜0， ∴m＜0， 故答案为：m＜0． 6.解方程：（3x﹣1）2＝4（2x+3）2． 【答案】解：由原方程，得 3x﹣1＝±2|2x+3|， 则3x﹣1＝4x+6或3x﹣1＝﹣4x﹣6， 整理，得 x＝﹣7或7x＝﹣5， 解得 x1＝﹣7，x2＝﹣． 7.关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是1，且a，b满足b＝﹣3，求关于y的方程﹣c＝0的根． 【答案】解：由题意得：a﹣2≥0，4﹣2a≥0， 解得：a＝2， ∴b＝﹣3， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是1， ∴a+b+c＝0， ∴c＝1， 则方程为y2﹣1＝0， 整理得：y2＝4， ∴y1＝2，y2＝﹣2． 四、换元法解一元二次方程 1.若（x2+y2﹣3）2＝25，则x2+y2等于（　　） A.8 B.8或﹣2 C.﹣2 D.以上都不对 【答案】A 【解析】根据开平方法求解即可． 另x2+y2＝m，则（m﹣3）2＝25， m﹣3＝±5， m﹣3＝5或m﹣3＝﹣5， 解得：m＝8或m＝﹣2， ∵x2+y2＝m≥0， ∴x2+y2＝m＝8， 故选：A． 2.已知（m+n）2+2m+2n＝0，则m+n的值是（　　） A.0 B.﹣2 C.0或﹣2 D.0或2 【答案】C 【解析】设m+n＝x，则原方程化为x2+2x＝0，求出方程的解，再求出答案即可． （m+n）2+2m+2n＝0， 设m+n＝x，则原方程化为：x2+2x＝0， x（x+2）＝0， x＝0或x+2＝0， x＝0或﹣2， 所以m+n＝0或﹣2． 故选：C． 3.已知关于x的一元二次方程3x2﹣2xy﹣y2＝0，则＝（　　） A.1 B.1或 C.1或 D. 【答案】C 【解析】方程两边同时除以y2，构造以为未知数的一元二次方程，据此求解． ∵3x2﹣2xy﹣y2＝0 ∴3（）2﹣2﹣1＝0， 解得：＝1或﹣． 故选：C． 4.实数x，y满足（x2+y2）2﹣x2﹣y2﹣5＝0，则x2+y2＝　    　． 【答案】． 【解析】设x2+y2＝t，则t≥0，原方程化为t2﹣t﹣5＝0，解方程得t＝或（舍去），即可得出答案． 设x2+y2＝t，则t≥0， ∴原方程化为t2﹣t﹣5＝0， 解得t＝或（舍去）， ∴x2+y2＝． 故答案为：． 5.已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3＝0，那么x2+x+1的值为 　   　． 【答案】1． 【解析】首先利用换元思想，把x2+x+1看作一个整体换为y，化为含y一元二次方程，解这个方程即可． 另y＝x2+x+1，则y2+2y﹣3＝0，即（y﹣1）（y+3）＝0， 解得：y＝1或y＝﹣3， 当x2+x+1＝﹣3时，即x2+x+4＝0， Δ＝12﹣4×1×4＝﹣15＜0，此时方程无解， 当x2+x+1＝1时，即x2+x＝0， Δ＝12﹣4×1×0＝1＞0，此时方程有解， ∴x2+x+1＝1， 故答案为：1． 6.对于方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们不妨将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则有（x2﹣1）2＝y2，从而将原方程转化为y2﹣5y+4＝0． 解得y1＝1，y2＝4． 当y1＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2，x＝±； 当y2＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，x＝±． ∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣． 问题：利用上述方法解方程（x2+x）（x2+x﹣2）＝﹣1． 【答案】解：设x2+x＝y，则y（y﹣2）＝﹣1， （y﹣1）2＝0， y1＝y2＝1， 当y＝1时，x2+x＝1， ∴x＝， ∴原方程的解为：x1＝，x2＝． 7.阅读理解 解方程时，我们经常将整体多次出现的部分打包进行换元处理，从而达到了降次、转整等目的，这一“神奇”的方法叫换元法． 例如：解方程：（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12＝0． 解：设x2﹣x＝y．原方程化为y2﹣8y+12＝0．∴（y﹣2）（y﹣6）＝0．∴y﹣2＝0或y﹣6＝0．∴y1＝2，y2＝6． 当y＝2时，即x2﹣x＝2．∴（x﹣2）（x+1）＝0，∴x﹣2＝0或x+1＝0．∴x1＝2，x2＝﹣1 当y＝6时，即x2﹣x＝6．∴（x﹣3）（x+2）＝0．∴x﹣3＝0或x+2＝0．∴x3＝3，x4＝﹣2．∴原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1，x3＝3，x4＝﹣2． 请你利用换元法解方程：（x2﹣7）2﹣（x2﹣7）﹣2＝0． 【答案】解：设x2﹣7＝y． 原方程化为y2﹣y﹣2＝0， ∴（y﹣2）（y+1）＝0， ∴y﹣2＝0或y+1＝0， y1＝2，y2＝﹣1． 当y＝2时，即x2﹣7＝2． ∴x2＝9， ∴x1＝3，x2＝﹣3； 当y＝﹣1时，即x2﹣7＝﹣1． ∴x2＝6， ∴x1＝，x2＝﹣． ∴原方程的解是x1＝3，x2＝﹣﹣3，x3＝，x4＝﹣． 五、根据一元二次方程根的情况求字母的值 1.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】D 【解析】先根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根得出关于m的不等式，求出m的取值范围，进而可得出结论． ∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即Δ＝（﹣3）2﹣4m＞0， 解得m＜， ∴实数m的值可以是2． 故选：D． 2.若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A.﹣4 B. C. D.4 【答案】B 【解析】利用根的判别式的意义得到Δ＝12+4m＝0，然后解方程即可． 根据题意得Δ＝12+4m＝0， 解得m＝， 即m的值为﹣， 故选：B． 3.若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等实数根，则实数m的值为（　　） A. B.﹣4 C. D.4 【答案】A 【解析】利用方程有两个相等的实数根，得到Δ＝0，建立关于m的方程，解答即可． ∵一元二次方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0， ∴12﹣4×1×（﹣m）＝0， 解得， 故选：A． 4.关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣m＝0没有实数根，写出一个符合条件的整数m的值为 　    　． 【答案】﹣5（答案不唯一）． 【解析】先根据根和＝的判别式得出Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣m）＝9+4m＜0，求出m＜﹣，再找出一个符合的数即可． ∵关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣m＝0没有实数根， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣m）＝9+4m＜0， ∴m＜﹣， 取m＝﹣5． 故答案为：﹣5（答案不唯一）． 5.已知关于x的方程有两个实数根，请写出一个符合条件的m的值 　   　． 【答案】见试题解答内容 【解析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0和被开方数2﹣m≥0． ∵关于x方程（m﹣1）x2﹣＝0的有两个实数根， ∴， 解得：0≤m≤2且m≠1． 故答案为：1.2． 6.已知a，b，c为三角形的三边长，且关于x的方程bx2+（a+b）x+a＝0有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状． 【答案】解：由题意可知：Δ＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＝0 ∴a＝b ∴该三角形是等腰三角形． 7.已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）等腰三角形ABC中，AB＝3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值． 【答案】（1）证明：∵Δ＝（k+1）2﹣4（2k﹣3） ＝k2+2k+1﹣8k+12 ＝k2﹣6k+13 ＝（k﹣3）2+4＞0， ∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）当AB＝3为腰时，则AC或BC有一条边为腰， x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的解为3， ∴9﹣3（k+1）+2k﹣3＝0， 解得：k＝3， 当AB＝3为底时，则AC，BC为腰， 方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0有两个相等的实数根， 由（1）得无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根，故这种情况不存在； 综上所述，k＝3． 学科网（北京）股份有限公司 $$