素养提升小题专项训练28：数列-2026届高三数学一轮复习

素养提升小题专项训练27：数列（高考第T7、T8、T10、T11、T14） 一.单选题 1.（湖南省岳阳市2025届高三下学期考情信息卷（一））数列中，，若是数列的前项积，则的最大值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】依题意得，，所以， 所以 ， 因为，所以当或8时，取得最大值为， 故选：A. 2.记数列的前n项和为，已知，，则 （   ） A. 1024 B. 1023 C. 513 D. 256 【答案】B 【解析】由，得， 因为，所以，所以， 所以是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，所以， 所以. 故选：B. 3.若，，，，构成等差数列，公差，，且其中三项构成等比数列，设，，则下列说法正确的是(    ) A．k一定大于0 B．，，可能构成等比数列 C．若，，则为5的倍数 D． 【答案】C 【解析】A. 取，则，，为等比数列，，故A错误. B. ，与公差，矛盾，故B错误. C. 为5的倍数，故C正确. D. ，故D错误. 4.已知函数．若数列的前项和为，且满足，，则的最大值为（ ） A. 23 B. 12 C. 20 D. 【答案】D 【解析】由题意可知：， 当时，； 当时，， 两式相减可得：，整理得：， 所以，或， 当是公差为的等差数列，且时，最小，可能最大， 此时，解得，此时； 当且是公差为的等差数列时，最大，可能最大， 此时，解得，此时； 综上所述：的最大值为. 故选：D. 5.记数列的前项和为，若，则的值不可能为（ ） A. 96 B. 98 C. 100 D. 102 【答案】D 【详解】当时，，设， 当时，，则， 即，所以， 时取等，故D错误； 若，，且，，， 此时； 若，，且，，， 此时. 故A，B，C正确. 故选：D. 6.设等比数列的前项和为，前项的乘积为．若，则（ ） A. 无最小值，无最大值 B. 有最小值，无最大值 C. 无最小值，有最大值 D. 有最小值，有最大值 【答案】D 【详解】由已知，是等比数列，，即，可得， 若，则，可计算当时，， 结合，可得即为的最小值， 同理，当，，当，，可知的最小值为， 综上可得，有最小值. 由可得，， 根据等比数列的性质，，必有满足对于所有，， 因为一定是正负交替出现，可得一定存在最大值. 综上，对于满足已知条件的等比数列，满足有最小值，有最大值. 故选：D 2、 多选题 7.已知等比数列的公比为，前项和为，则（ ） A. B. 对任意成等比数列 C. 对任意，都存在，使得成等差数列 D. 若，则数列递增的充要条件是 【答案】ACD 【解析】对于A：当时，，，故成立， 当时，，，所以成立，故A正确； 对于B：当时，，所以不成等比数列，故B错误； 对于C：当时，，故不成等差数列， 当时，若存在，使成等差数列， 则，则， 整理得，所以，所以， 所以对任意，都存在，使得成等差数列，故C正确； 对于D：，若是递增数列， 则可得，因为，所以，可解得， 所以若，则数列递增的充要条件是，故D正确. 故选：ACD. 8.（江西省新余市2025届高三下学期二模T10）已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，则（ ） A. 存在公差为1的等差数列，使得 B. 存在公比为2的等比数列，使得 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】对于A，设公差为的等差数列的首项为，． 根据等差数列前项和公式可得． 若，则，解得，所以不存在这样的等差数列，A选项错误．  对于B，设公比为的等比数列的首项为，． 根据等比数列前项和公式可得． 若，则，解得，所以存在这样的等比数列，B选项正确．  对于C，已知，因为数列是递增数列且各项均为正整数． 要使尽可能大，则前面的项要尽可能小，设，，，，，． 则． 由，可得，即，解得． 所以，所以成立，C选项正确．  对于D，同样因为，要使尽可能小，则前面的项要尽可能小，设，，，，． 由前面计算可知，解得，所以，所以成立，D选项正确． 故选：BCD 9.（山东省青岛市2026届高三上学期部分学生8月调研检测T10） 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 对任意正整数， C. 数列一定是等差数列 D. 数列一定是等比数列 【答案】ABC 【详解】设等差数列的公差为，则，所以，. 对于A选项，，所以，为等差数列，A对； 对于B选项，对任意的，，由等比中项的性质可得， 由基本不等式可得，B对； 对于C选项，令， 所以，， 故数列一定是等差数列，C对； 对于D选项，设等比数列的公比为， 当时，， 此时，数列不是等比数列，D错. 故选：ABC. 11. 已知数列满足对任意正整数，恒有且，设，则（ ） A. 中前个奇数的和为 B. 前100项的和为10100 C. 不存在等差数列，使其前项和为 D. 【答案】BCD 【解析】因为对任意正整数，，恒成立， 令，，得，所以，， 所以，所以是首项为1，公差为1的等差数列， 故，经检验符合题意. 中前个奇数的和为，故A错误； 所以，所以， 所以的前100项的和为 ，故B正确； 假设存在，其前项和，则， 当时，，所以，， 所以不是等差数列，故C正确； ，， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12.记为不超过的最大整数，已知各项均为正数的数列满足：，且，为的前项和，则 . 【答案】18 【详解】由数列满足：，可得，且， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，故， 因为，所以当时，， 即， 所以 ， 所以， 综上所述，故. 故答案为：. 13.某工厂加工一种电子零件，去年12月份生产1万个，产品合格率为87%.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年1月份的产量在去年12月份的基础上提高4%，产品合格率比去年12月份增加0.4%，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格产品个数达到最大是两年内的第________月. 【答案】7 【解析】设从今年1月份起，每月的产量和产品的合格率都按题中的标准增长， 该工厂每月的产量、不合格率分别用、表示，月份用表示， 则，，， 则从今年1月份起，各月不合格产品数量为（万个）， ， 当时，，即，此时数列单调递增， 当且时，，即，此时数列单调递减，即， 则当时，最大，所以该工厂的月不合格产品个数达到最大是今年的7月份. 故答案为：7 14.已知数列满足，，给出下列四个结论： ①存在，使得为常数列； ②对任意的，为递增数列； ③对任意的，既不是等差数列也不是等比数列； ④对于任意的，都有. 其中所有正确结论的序号是_______________. 【答案】②③④ 【详解】对于①，若为常数列，则，根据递推公式， 可得，进而可得，解得，又， 故不存在，使得为常数列，故①错误； 对于②，对于，由递推公式，可得， 所以，，所以， 所以数列是递增数列，结论②正确； 对于③，若是等差数列，则为常数，可得常数， 则可得是常数数列，则，与矛盾， 故对任意的，既不是等差数列， 若是等比数列，则为常数。根据递推公式， 即为常数，则为常数数列，则可得，这与矛盾， 所以对任意，不是等比数列； 综上所述：对任意的，既不是等差数列也不是等比数列，故③正确； 对于④，由，两边平方得，故④正确. 故答案为：②③④. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 素养提升小题专项训练27：数列（高考第T7、T8、T10、T11、T14） 一.单选题 1.数列中，，若是数列的前项积，则的最大值（ ） A. B. C. D. 2.记数列的前n项和为，已知，，则 （   ） A. 1024 B. 1023 C. 513 D. 256 3.若，，，，构成等差数列，公差，，且其中三项构成等比数列，设，，则下列说法正确的是(    ) A．k一定大于0 B．，，可能构成等比数列 C．若，，则为5的倍数 D． 4.已知函数．若数列的前项和为，且满足，，则的最大值为（ ） A. 23 B. 12 C. 20 D. 5.记数列的前项和为，若，则的值不可能为（ ） A. 96 B. 98 C. 100 D. 102 6.设等比数列的前项和为，前项的乘积为．若，则（ ） A. 无最小值，无最大值 B. 有最小值，无最大值 C. 无最小值，有最大值 D. 有最小值，有最大值 2、 多选题 7.已知等比数列的公比为，前项和为，则（ ） A. B. 对任意成等比数列 C. 对任意，都存在，使得成等差数列 D. 若，则数列递增的充要条件是 8.已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，则（ ） A. 存在公差为1的等差数列，使得 B. 存在公比为2的等比数列，使得 C. 若，则 D. 若，则 9. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 对任意正整数， C. 数列一定是等差数列 D. 数列一定是等比数列 11．已知数列满足对任意正整数，恒有且，设，则（ ） A. 中前个奇数的和为 B. 前100项的和为10100 C. 不存在等差数列，使其前项和为 D. 三、填空题 12.记为不超过的最大整数，已知各项均为正数的数列满足：，且，为的前项和，则 . 13.某工厂加工一种电子零件，去年12月份生产1万个，产品合格率为87%.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年1月份的产量在去年12月份的基础上提高4%，产品合格率比去年12月份增加0.4%，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格产品个数达到最大是两年内的第________月. 14.已知数列满足，，给出下列四个结论： ①存在，使得为常数列；②对任意的，为递增数列； ③对任意的，既不是等差数列也不是等比数列；④对于任意的，都有.其中所有正确结论的序号是_______________. 学科网（北京）股份有限公司 $$