精品解析： 吉林省吉林市吉化第九中学校2024-2025学年八年级上学期数学期末测试卷

吉化九中2024-2025学年度第一学期 八年级期末质量检测数学试题 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 要使分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义的条件为分母不为0列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ， ， 故选：A． 2. 和点P（﹣3，2）关于x轴对称的点是（　　） A. （3，2） B. （﹣3，2） C. （3，﹣2） D. （﹣3，﹣2） 【答案】D 【解析】 【分析】关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：点P（-3，2）关于x轴的对称点的坐标为：（-3，-2）． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标，准确计算是解题的关键． 3. 三角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等两部分的是【 】 A. 中线 B. 角平分线 C. 高 D. 中位线 【答案】A 【解析】 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答即可． 【详解】∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形， ∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分． 故选A． 【点睛】本题考查三角形的中线，角平分线，高和中位线的性质，熟练掌握三角形中线段的性质是关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. 2a+3b=5ab B. （x+2）2=x2+4 C. （ab3）2=ab6 D. （﹣1）0=1 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，零指数幂运算法则逐一计算作出判断即可． 【详解】A、2a和3b不是同类项，不能合并，故此选项错误； B、按完全平方公式展开（x+2）2=x2+4x+4，故此选项错误； C、按积的乘方运算计算（ab3）2=a2b6，故此选项错误； D、（﹣1）0=1，故此选项正确． 故选D 5. 等腰在平面直角坐标系中，底边的两端点坐标是，，则其顶点的坐标能确定的是（ ） A. 横坐标 B. 纵坐标 C. 横坐标及纵坐标 D. 横坐标或纵坐标 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，利用等腰三角形的三线合一的性质得出顶点的位置是解本题的关键． 根据题目条件可以求出等腰三角形底边中点的坐标，从而得出答案． 【详解】解：∵等腰三角形底边的两端点坐标是，， ∴两点都在y轴上， ∴底边中点的坐标为：，即， ∴由等腰三角形的性质可以知道其顶角顶点的纵坐标为． 故选：B． 6. 如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 先根据尺规作图可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：由同圆的半径相等得：， ， ， ． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 分解因式=____________． 【答案】． 【解析】 【分析】直接提取公因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查提公因式法因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 8. 已知点和点关于轴对称，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查关于轴对称的点的坐标，关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程求出m、n，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 9. 已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角度数是__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况讨论：若顶角的外角等于和若底角的外角等于，根据等腰三角形的定义即可求解，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：若顶角的外角等于，则顶角为； 若底角的外角等于，则底角为， ∵，不能构成三角形， ∴不存在此种情况； 综上所述，顶角的度数是． 故答案为：． 10. 如图，在中，点是高、的交点，且，则=____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，先根据三角形高的定义得到，进而利用三角形内角和定理证明，进一步证明得到，即可得到． 【详解】解：∵、都是的高， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，∠ABD=76°，∠C=38°，BC=30cm，则BD的长为_____． 【答案】30cm． 【解析】 【详解】解：∵∠ABD=76°，∠C=38°， ∴∠D=∠ABD﹣∠C=76°﹣38°=38°， ∴∠C=∠D， ∴BD=BC=30cm． 故答案为30cm． 12. 已知，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及因式分解、解二元一次方程组等知识，由题中所给等式，利用因式分解化简后联立方程组求解得到的值，代入代数式即可得到答案，根据条件与所求代数式的关系变形化简求值是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 联立方程组得，解得， ， 故答案为：． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可以求得的度数，再利用平行线的性质，角平分线的定义求解，再利用含的直角三角形的性质求解，证明，求解，从而可以求得BC的长． 【详解】解： ∵CM平分∠ACB， ， ∴ ∵ ∴， ， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（每小题5分，共20分） 14. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法公式，单项式乘多项式，先利用完全平方公式、单项式乘多项式和平方差公式计算，再合并即可． 【详解】解：原式． 15. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤去解答：去分母将分式方程化为整式方程、解整式方程、检验、回答． 【详解】解：原方程可化为：． 方程两边同时乘以，得 ． 化简，得． 解得 ． 检验：时， 所以不是原分式方程的解， 所以原分式方程无解． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，尤其是检验是解分式方程的重要步骤． 16. 如图所示，中，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据题意证得都是等腰三角形，推出，再根据三角形内角和定理求出，，由平角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴都是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17. 先化简，再求值：，其中x＝﹣1． 【答案】3x+2，-1 【解析】 【分析】先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给数值代入计算． 【详解】解：原式＝× = ＝3x+2， 当x＝﹣1时， 原式=3×(-1)+2＝﹣1． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． 四、解答题（每小题7分，共28分） 18. 如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2． （1）求证：Rt△ADE≌Rt△BEC； （2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵∠1=∠2， ∴ED=CE， ∵∠A=∠B=90°， 在Rt△ADE和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）； （2） △DEC为直角三角形， 证明：由（1）得Rt△ADE≌Rt△BEC， ∴∠AED=∠BCE， ∵∠B=90°， ∴∠BCE+∠CEB=90°， ∴∠AED+∠CEB=90°， ∴∠DEC=180°-90°=90°， ∴△DEC为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据HL证明Rt△ADE和Rt△BEC全等解答即可； （2）根据全等三角形的性质及平角的定义解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，根据HL证明Rt△ADE≌Rt△BEC是解题的关键． 19. 老师布置了这样一道作业题：“先化简，再求值，其中”小明同学把“”错抄成“”，但他的计算结果却是正确的，你知道原因吗？ 【答案】 ； 则该式的结果与的值无关， ∴无论取何值，结果都为， ∴小明的计算结果是正确的． 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．利用多项式乘多项式，单项式乘多项式运算法则化简原式，可知该式的结果与的值无关，即可说明他的计算结果是正确的． 【详解】略 20. 小明打算利用寒假到朱雀山滑雪场玩雪圈，从家到目的地全程80千米，由于假期车流量大，实际行驶速度是原计划的，结果实际比原计划多用了15分钟，求原计划的行驶速度是多少？ 【答案】原计划的行驶速度是 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系．设原计划的行驶速度是，则实际行驶速度是，根据“实际比原计划多用了15分钟”，列出等量关系，即可求解． 【详解】解：设原计划的行驶速度是，则实际行驶速度是， 根据题意：， 解得：， 经检验，当是原分式方程的解， 答：原计划的行驶速度是． 21. 有一块边长为的正方形铁皮，计划制成一个有盖的长方体铁盒，使得盒盖与相对的盒底都是正方形．如图（1）、（2）给出了两种不同的裁剪方案（其中实线是剪开的线迹，虚线是折叠的线迹，阴影部分是余料），问哪一种方案制成的铁盒体积更大些？说明理由．（接缝的地方忽略不计） 【答案】 解：图（2）比图（1）的体积最大，理由如下： 图（1）中长方体铁盒的长为，则宽为，高为， 则体积为； 图（2）中长方体铁盒的长为，则宽为，高为， 则体积为； ∵，且， ∴， ∴， ∴图（2）比图（1）的体积更大． 【解析】 【分析】本题考查了长方体的体积公式，长方体的展开图，单项式乘单项式的应用，根据展开图分别计算出图（1）、（2）的体积，比较即可． 【详解】略 五、解答题（每小题8分，共16分） 22. 如图,在平面直角坐标系中,A(-1，5)，B（-1，0），C（-4，3）. （1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （2）写出点A1、B1、C1的坐标； （3）在y轴上画出点P，使PA+PC最小；   （4）求六边形AA1C1B1BC的面积．. 【答案】 （1）如图所示； （2）A1（1，5）、B1（1，0）、C1（4，3）； （3）连接A1C与y轴交于点P，则P点即为所求； （4）25. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据题意画出△A1B1C1即可； （2）根据△A1B1C1在坐标系中的位置即可得出各点坐标； （3）连接A1C与y轴交于点P，则P点即为所求； （4）根据S六边形AA1C1B1BC=S△ABC+S△A1B1C1+S矩形AA1C1B1B即可得出结论． 试题解析：（1）略 （2）由图可知，A1（1，5）、B1（1，0）、C1（4，3）； （3）略 （4）S六边形AA1C1B1BC=S△ABC+S△A1B1C1+S矩形AA1C1B1B =×5×3+×5×3+2×5 =15+10 =25． 23. 数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1： ；方法2： ． （2）请你直接写出三个代数式：，，ab之间的等量关系． （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知，，求和的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的运用能力、列代数式，关键是能根据完全平方公式的几何背景准确列式，并能运用公式解决问题． （1）利用阴影两部分直接相加求和用总面积减去空白部分面积两种方法求解即可； （2）根据阴影部分的面积相等即可得出答案； （3）由（2）可得：，代入数值计算即可得出，再根据进行计算即可． 【小问1详解】 解：由图可得： 阴影两部分求和为：， 总面积减去空白部分面积为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可得：； 【小问3详解】 解：由（2）可得：， ，， ， ， ． 六、解答题（每小题10分，共20分） 24. 某学校计划利用暑假时间（共51天）对教室墙壁进行粉刷，现有甲乙两个工程队来承包，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的倍；甲、乙两队合作完成工程需要30天．甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为600元．根据以上信息，求： （1）甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）①从时间的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ ②从资金的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ 【答案】（1）甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天 （2）①从时间的角度考虑，学校应选择甲工程队；②从资金角度，学校应选择甲工程队 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要30天”，列出分式方程，解方程即可； （2）①根据（1）中的结果比较即可解答；②根据（1）中的结果求出甲单独完成，乙单独完成的费用比较，再结合暑假时间即可解答． 【小问1详解】 解：设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队天， 由题意：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 则（天）， 答：甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天； 【小问2详解】 解：①由（1）知甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天， ， 则暑假共51天，甲能在计划时间内完成，乙不能在计划时间内完成， 从时间的角度考虑，学校应选择甲工程队； ②若甲单独完成，其费用为：（元）， 若乙单独完成，其费用为：（元）， ， 从资金的角度考虑，学校应选择乙工程队， ， 则暑假共51天，甲能在计划时间内完成，乙不能在计划时间内完成， 综上：从资金角度，学校应选择能在暑假内完成且费用合理，学校应选择甲工程队． 25. 如图：已知中，，，的面积是12，于点D，点M在直线上，且，动点P从点M出发，以每秒1个单位的速度从点M沿射线运动，设运动的时间为t秒，回答下列问题． （1）直接写出线段__________； （2）用含t的代数式表示线段的长； （3）在上取点Q，使，连结，当与全等时，求t值； （4）在点P运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】（1）4 （2）当时，；当时， （3）或 （4）或或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理和等腰三角形的性质，求出结果即可； （2）根据点的运动速度和运动时间，分两种情况求出线段的长即可； （3）分两种情况：当点在点左侧，时，点在点右侧，时，分别列出方程，解方程即可； （4）分两种情况讨论：当时，当时，分别求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ， 故答案为：4． 【小问2详解】 解：， ， ， ∵动点从点出发，以每秒 1 个单位长度的速度从点沿射线运动，运动的时间为秒， ∴当时，； 当时，； 【小问3详解】 解：∵， ， ， ， 当点在点左侧，时，， ， 解得：； 当点在点右侧，时，， ， 解得：； 综上分析可知：或时，与全等； 【小问4详解】 解：当时，， ， ，即点P与点B重合， ， 当，点在点左侧时，， ， ， 当点在点右侧，， ， ， 综上，或或时，是以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉化九中2024-2025学年度第一学期 八年级期末质量检测数学试题 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 要使分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 和点P（﹣3，2）关于x轴对称的点是（　　） A. （3，2） B. （﹣3，2） C. （3，﹣2） D. （﹣3，﹣2） 3. 三角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等两部分的是【 】 A. 中线 B. 角平分线 C. 高 D. 中位线 4. 下列计算正确的是（ ） A. 2a+3b=5ab B. （x+2）2=x2+4 C. （ab3）2=ab6 D. （﹣1）0=1 5. 等腰在平面直角坐标系中，底边的两端点坐标是，，则其顶点的坐标能确定的是（ ） A. 横坐标 B. 纵坐标 C. 横坐标及纵坐标 D. 横坐标或纵坐标 6. 如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 分解因式=____________． 8. 已知点和点关于轴对称，则_______． 9. 已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角度数是__________ 10. 如图，在中，点是高、的交点，且，则=____度． 11. 如图，∠ABD=76°，∠C=38°，BC=30cm，则BD的长为_____． 12. 已知，，则的值为________． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为_____． 三、解答题（每小题5分，共20分） 14. 化简：． 15. 解方程：． 16. 如图所示，中，，求的度数． 17. 先化简，再求值：，其中x＝﹣1． 四、解答题（每小题7分，共28分） 18. 如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2． （1）求证：Rt△ADE≌Rt△BEC； （2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由． 19. 老师布置了这样一道作业题：“先化简，再求值，其中”小明同学把“”错抄成“”，但他的计算结果却是正确的，你知道原因吗？ 20. 小明打算利用寒假到朱雀山滑雪场玩雪圈，从家到目的地全程80千米，由于假期车流量大，实际行驶速度是原计划的，结果实际比原计划多用了15分钟，求原计划的行驶速度是多少？ 21. 有一块边长为的正方形铁皮，计划制成一个有盖的长方体铁盒，使得盒盖与相对的盒底都是正方形．如图（1）、（2）给出了两种不同的裁剪方案（其中实线是剪开的线迹，虚线是折叠的线迹，阴影部分是余料），问哪一种方案制成的铁盒体积更大些？说明理由．（接缝的地方忽略不计） 五、解答题（每小题8分，共16分） 22. 如图,在平面直角坐标系中,A(-1，5)，B（-1，0），C（-4，3）. （1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （2）写出点A1、B1、C1的坐标； （3）在y轴上画出点P，使PA+PC最小；   （4）求六边形AA1C1B1BC的面积．. 23. 数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1： ；方法2： ． （2）请你直接写出三个代数式：，，ab之间的等量关系． （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知，，求和的值． 六、解答题（每小题10分，共20分） 24. 某学校计划利用暑假时间（共51天）对教室墙壁进行粉刷，现有甲乙两个工程队来承包，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的倍；甲、乙两队合作完成工程需要30天．甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为600元．根据以上信息，求： （1）甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）①从时间的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ ②从资金的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ 25. 如图：已知中，，，的面积是12，于点D，点M在直线上，且，动点P从点M出发，以每秒1个单位的速度从点M沿射线运动，设运动的时间为t秒，回答下列问题． （1）直接写出线段__________； （2）用含t的代数式表示线段的长； （3）在上取点Q，使，连结，当与全等时，求t值； （4）在点P运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $