13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 同步教学课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

中线、角平分线、高 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 ( 教材P7-8 ) 第十三章 三角形 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 理解三角形中线、角平分线和高的定义，掌握其画法. 认识三角形重心的概念，理解不同类型三角形高的位置特点. 通过观察、操作和推理，体会三种线段在三角形中的作用，发展空间观念与数学思维 【学习目标】 【学习目标】 复习知识 三角形的边 三角形三边关系 三角形的有关线段 两边之和大于第三边 三角形的稳定性 两边之差小于第三边 第三边c的取值范围 | a-b| < c < a+b 应用 A C B 探究新知 问题 1 任意画一个△ABC，连接顶点A和它所对的边BC的中点D 连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线. ∵ BD=CD ∴ AD是△ABC的中线 ∵ AD是△ABC的中线 ∴ BD=CD 问题 2 任意画一个△ABC，作出所有的中线，你发现了什么？ 三角形的三条中线相交于一点.这个交点叫做三角形的重心 三角形中线 ( 教材P7) 1.定义：顶点—对边中点的线段 2.作图： 3.表示： ∵ BD=CD ∴ AD是△ABC的中线 ∵ AD是△ABC的中线 ∴ BD=CD 重心 问题 3 类比三角形的中线的学习，探究三角形的角平分线相关知识 1.定义：角的平分线—对边交点的线段 2.作图： 3.表示： ∵ ∠ ABD= ∠ CBD ∴ AD是△ABC的角平分线 ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠ ABD= ∠ CBD 内心 问题 4 类比三角形的中线的学习，探究三角形的高相关知识 1.定义：顶点—垂足的线段 2.作图： 3.表示： 垂心 ∵ ∠ADB=90 ° ∴ AD是△ABC的高 ∵ AD是△ABC的高∴∠ADB=∠CDA=90° 问题 5 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？ 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 直角三角形的一条高在三角形的内部，另两条高与两直角边重合. 钝角三角形的一条高在三角形的内部，另两条高在三角形外部. 针对练习 1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的高（ ） 典例讲解 例1 如图，过△ABC的顶点C分别画出它的中线、角平分线和高. AD即为所求作的中线. AE即为所求作的角平分线. AF即为所求作的高线. 例2 如图，△ABC中，AD、AE分别为中线和高，比较S△ABD与S△ABD的大小，总结你发出的结论. 三角形的中线把三角形分成的两个三角形两个三角形的面积相等； 变式：把△ABC 面积平均分成4份，有多少种分法,有什么规律？. 把△ABC 面积平均分成4份， 解： 由△ABC的面积公式可知, 可解得BF＝ . 例3 如图所示，在△ABC中，AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，求高BF的长. ×4×·6 ＝BF×5. AD·BC＝BF·AC. 多垂图、面积法、列方程、求长度 解：根据垂线段最短，可知当BF⊥AC时，BF有最小值． 变式：如图所示，在△ABC中，AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点F在边AC上移动，求BF 的最小值. F 由△ABC的面积公式可知, 可解得BF＝ . ×4×·6 ＝BF×5. AD·BC＝BF·AC. 课堂小结 三角形的边 三边关系 三角形的角 中线 重要三线 角平分线 定义 高线 作图 表示 性质 定义 作图 表示 性质 定义 作图 表示 性质 课堂练习 1．下列说法正确的是 （　　） A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点 C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线 B 2.如图，CM是△ABC的中线，AB＝10cm，则BM的长为（　　） A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm C 3.在下图中，正确画出△ABC中边BC上高的是（ ） C A D C B A D C B A D C B A D C B A A C D 4. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC 的高的有 （　　） A．2 条 B．3 条 C．4 条 D．5 条 B 5.如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　　） A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线 C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线 B 6.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G A 7.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC= 3cm2，则S△ABC =______. 12cm2 8.如果现在你手上有一张画着一个三角形的薄纸，请折出三角形的高、中线和角平分线. A B C 9.BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，求△ABD和△BCD的周长的差. 解：∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD， ∴△ABD和△BCD的周长的差 =(AB+BD+AD)-(BC+BD+CD) =AB﹣BC， ∵AB＝5，BC＝3， ∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2 10.如图，在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长. 解：∵DB为△ABC的中线 ∴AD＝CD 设AD＝CD＝x，则AB＝2x 当x+2x＝12，解得x＝4 BC+x＝15，解得BC＝11 此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝8，BC＝11 当x+2x＝15，BC+x＝12，解得x＝5，BC＝7 此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝10，BC＝7 $$