精品解析：内蒙古乌兰察布市集宁区第五中学2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年内蒙古乌兰察布市集宁五中八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式：、、、中，是最简二次根式的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 要使代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 且 3. 张老师随机抽取九年级（3）班5名学生的数学网课检测成绩（单位：分）如下：80，98，98，83，91，关于这组数据的说法错误的是（ ） A. 众数是98 B. 平均数是90 C. 中位数是91 D. 方差是56 4. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ，则下列说法正确的有（ ） ①y随x的增大而减小：②；③关于x的方程的解为；④当时，． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，函数 和（为常数，）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O， ，E，F，G分别是， ，的中点，下列结论：①；② ；③；④ 平分．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：______． 10. 如图所示，有种动画程序，屏幕上正方形是黑色区域(含正方形边界)，其中，用信号枪沿直线发信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能使黑色区域变白的的取值范围是__________． 11. 如图，一只螳螂在树干的点处，发现它的正上方点处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是就绕到虫子后面吃掉它，已知树干的半径为10cm，，两点的距离为45cm，则螳螂爬行的最短距离为 __．取 12. 如图， 中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为_____． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. （1）计算： ； （2）解方程： 14. 已知一元二次方程 （1）当 时，解这个方程； （2）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （3）设此方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 15. 为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，求出空地的面积． 16. 如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）． （1）求m的值及l2的解析式； （2）求S△AOC﹣S△BOC的值； （3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值． 17. 如图，在中， ，垂足为点D，是外角 的平分线， ，垂足为点E． （1）求证：四边形 为矩形； （2）当满足什么条件时，四边形 为正方形？给出证明． 18. 为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元． （1）求出y关于x的函数解析式； （2）该市一户某月若用水x=10立方米时，求应缴水费； （3）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年内蒙古乌兰察布市集宁五中八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式：、、、中，是最简二次根式的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是最简二次根式的定义，解题关键是熟练掌握最简二次根式的定义． 根据最简二次根式的定义，逐一判断各二次根式是否符合条件：被开方数不含分母，且不含能开方的因数或因式． 【详解】解：：被开方数 是质数，无平方因子，且不含分母，故为最简二次根式； ：被开方数含分母，需化为，故不是最简二次根式； ：被开方数 含平方因子，可化简为，故不是最简二次根式； ：被开方数无法分解为平方和以外的形式，无平方因子，故为最简二次根式； 综上，最简二次根式有 个． 故选：． 2. 要使代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，列出不等式组，求出x的取值范围即可． 本题考查的是分式有意义及二次根式有意义的条件，即分式的分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 【详解】解：代数式有意义， ， 解得：且 故选：D 3. 张老师随机抽取九年级（3）班5名学生的数学网课检测成绩（单位：分）如下：80，98，98，83，91，关于这组数据的说法错误的是（ ） A. 众数是98 B. 平均数是90 C. 中位数是91 D. 方差是56 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数、中位数的概念、平均数、方差的计算公式计算． 【详解】解：98出现的次数最多， ∴这组数据的众数是98，故A说法正确； ，故B说法正确； 这组数据的中位数是91，故C说法正确； ==55.6，故D说法错误； 故选：D． 【点睛】本题考查的是众数、中位数的概念、平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式是解题的关键． 4. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键． 根据函数的定义：一个变化的过程中，有两个变量，因变量随着自变量的变化而变化，对于每一个确定的自变量，都有唯一确定的因变量与之对应，进行判断即可． 【详解】解：A、 的值与的值一一对应，是函数，符合题意； B、部分 的值对应多个的值，不是函数，不符合题意； C、部分 的值对应多个的值，不是函数，不符合题意； D、部分 的值对应多个的值，不是函数，不符合题意． 故选A． 5. 如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ，则下列说法正确的有（ ） ①y随x的增大而减小：②；③关于x的方程的解为；④当时，． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各个小项分析判断即可得解 【详解】解：①由图可得：y随x的增大而增大，故错误 ②由图可得：，故错误 ③一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ，即 ，故正确 ④由图可得：当时，，故正确 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，同时考查了数形结合的思想，熟练运用一次函数的性质、一次函数与一元一次方程的关系是解本题关键． 6. 把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，再正确移动根号外的因式． 先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简． 【详解】解：∵， ∴． ∴=． 故选：C． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数 和（为常数，）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数与一次函数的图象共存的问题，根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数 和的图象经过哪几个象限，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴函数 是经过原点的直线，经过第二、四象限， 函数是经过第一、三、四象限的直线， 故选：D． 8. 如图，在平行四边形 中，对角线，相交于点O， ，E，F，G分别是， ，的中点，下列结论：①；② ；③；④ 平分．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，，则，因为，所以，而E是的中点，则，可判断①正确；由，G是的中点，得，根据三角形中位线定理得，，所以 ，可判断②正确；因为，，所以，且，则，可根据证明，可判断③正确；由，，推导出，则 平分，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形 是平行四边形，对角线，相交于点O， ，，， ，， ， ， ， 是的中点， ，即， 故①正确； ，G是的中点， ， 、F分别是、 的中点， ∵，， ， 故②正确； ∵，，G是的中点， ∴，， ∴，且， ， 在 和中， ， ， 故③正确； ， ， ∵， ， ， 平分， 故④正确． 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形中位线定理、全等三角形的判定、等边对等角、平行线的性质等知识，推导出，，且，是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据数a、b在数轴上的位置确定，，的符号，再根据二次根式的性质进行化简，再合并同类项． 【详解】解：由数轴可知， ，， ∴，，， ∴原式＝ 故答案为：0 【点睛】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键. 10. 如图所示，有种动画程序，屏幕上正方形 是黑色区域(含正方形边界)，其中，用信号枪沿直线发信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能使黑色区域变白的的取值范围是__________． 【答案】3≤b≤6． 【解析】 【分析】根据题意确定直线y=-2x+b经过哪一点b最大，哪一点b最小，然后代入求出b的取值范围． 【详解】由题意可知当直线y=-2x+b经过A（1，1）时b的值最小，即-2×1+b=1，b=3； 当直线y=-2x+b过C（2，2）时，b最大即2=-2×2+b，b=6， 故能够使黑色区域变白的b的取值范围为3≤b≤6． 【点睛】本题是一次函数在实际生活中的运用，解答此类题目时一定要注意数形结合的运用． 11. 如图，一只螳螂在树干的点 处，发现它的正上方点处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是就绕到虫子后面吃掉它，已知树干的半径为10cm， ，两点的距离为45cm，则螳螂爬行的最短距离为 __．取 【答案】75cm 【解析】 【分析】根据题意画出图形，进而得出最短路径即可． 【详解】解：如图1所示：，， 故． 答：螳螂绕行的最短距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理求最短距离，掌握勾股定理是解题的关键． 12. 如图， 中，点 在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则由线段垂直平分线的性质可得CB=CG，在EG上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠EFC=∠A=2∠CBE，再根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定可得FC=FG，设CE=EF=x，则可根据线段间的和差关系求出DF的长，进而可求出FC的长，然后根据勾股定理即可求出CD的长，再一次运用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则CB=CG，在EG上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE， ∵EA=EB，∴∠A=∠EBA， ∵∠AEB=∠CEF， ∴∠EFC=∠A=2∠CBE=2∠G， ∵∠EFC=∠G+∠FCG， ∴∠G=∠FCG， ∴FC=FG， 设CE=EF=x，则AE=BE=11－x， ∴DE=8－（11－x）=x－3， ∴DF=x－（x－3）=3， ∵DG=DB=8， ∴FG=5，∴CF=5， 在Rt△CDF中，根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和三角形的外角性质、勾股定理以及线段垂直平分线的性质等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用上述知识是解题的关键． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. （1）计算： ； （2）解方程： 【答案】（1）；（2） ， 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，解一元二次方程，掌握算理是解决问题的关键． （1）先根据零指数幂的性质计算乘方，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后把分母中含有二次根式的数化简，最后合并即可； （2）把方程化成一元二次方程的一般形式，再利用十字相乘法分解因式，把一元二次方程化成一元一次方程，解方程，求出方程的解即可． 【详解】（1） ， ； （2）， ， ， ， ， ， 14. 已知一元二次方程 （1）当 时，解这个方程； （2）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （3）设此方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】（1） ， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当 ，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系． （1）利用因式分解法解方程； （2）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式得到； （3）根据根与系数的关系得到，，而，易求得，，则． 【小问1详解】 解：当 时，方程变为， 即， ∴或， ，； 【小问2详解】 解：根据题意， 解得； 【小问3详解】 解：根据题意得，， 而， ， ， ． 15. 为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地 ，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，求出空地 的面积． 【答案】空地 的面积 【解析】 【分析】连接，在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用即可解答．本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接， 在中，， 在中，， 而， 即， 为直角三角形， ， ， 答：空地 的面积． 16. 如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）． （1）求m的值及l2的解析式； （2）求S△AOC﹣S△BOC的值； （3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值． 【答案】（1）m=2，l2的解析式为y=2x；（2）S△AOC﹣S△BOC=15；（3）k的值为或2或﹣． 【解析】 【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式； （2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，再根据A（10，0），B（0，5），可得AO=10，BO=5，进而得出S△AOC﹣S△BOC的值； （3）分三种情况：当l3经过点C（2，4）时，k=；当l2，l3平行时，k=2；当11，l3平行时，k=﹣；故k的值为或2或﹣． 【详解】解：（1）把C（m，4）代入一次函数y=﹣x+5，可得 4=﹣m+5， 解得m=2， ∴C（2，4）， 设l2的解析式为y=ax，则4=2a， 解得a=2， ∴l2的解析式为y=2x； （2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2， y=﹣x+5，令x=0，则y=5；令y=0，则x=10， ∴A（10，0），B（0，5）， ∴AO=10，BO=5， ∴S△AOC﹣S△BOC=×10×4﹣×5×2=20﹣5=15； （3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形， ∴当l3经过点C（2，4）时，k=； 当l2，l3平行时，k=2； 当11，l3平行时，k=﹣； 故k的值为或2或﹣． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰直角三形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及分类讨论思想等． 17. 如图，在中， ，垂足为点D，是外角 的平分线， ，垂足为点E． （1）求证：四边形 为矩形； （2）当满足什么条件时，四边形 为正方形？给出证明． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴ ，， ∵是外角 的平分线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 为矩形； （2） 解：当时，四边形 为正方形，理由如下： ∵ ， ∴ ， ∵， ∴平分， ∴ ， ∴ ∴， ∵四边形 为矩形， ∴四边形 为正方形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的意义，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和角平分线的意义，垂直的意义，可得 ，进而证明即可； （2）利用等腰三角形的性质可得，进而证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元． （1）求出y关于x的函数解析式； （2）该市一户某月若用水x=10立方米时，求应缴水费； （3）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量． 【答案】（1） （2）当用水量为10立方米时，应缴水费15.8元 （3）该户这月用水量为14立方米 【解析】 【分析】（1）分当时和当时两种情况，根据所给的收费标准列出函数关系式即可； （2）根据（1）所求关系式代入 求解即可； （3）先判断该户这月用水量大于8吨，然后把代入（1）所求式子求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：当时，； 当时，， 综上所述，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴当用水量为10立方米时，应缴水费15.8元； 【小问3详解】 解：∵， ∴该用户这月的用水量超过了8吨， ∴， 解得， ∴该户这月用水量为14立方米． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，求函数值或自变量的值，正确理解题意利用分类讨论的思想求出对应的函数关系式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $