24.2.2 第3课时 切线长定理及内切圆-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(人教版)

课题

切线长定理及内切圆

课型

新授课

教学内容

教材第97-98页的内容（切线的性质与判定）

教学目标

1．了解切线长的概念，理解切线长定理，并利用它进行有关计算．

2．在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题．

教学重难点

教学重点：理解切线长定理。

教学难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题。

教具学具

多媒体课件

教  学  过  程

备  注

1.创设情境，导入新课

新农村建设中，李村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．

[师]（1）已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？

（2）直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？

情境+复习引入，激发学生兴趣，且复习与本节内容相关的知识。

2.探究互动，获得新知

从上面的复习，我们可以知道，过⊙O上任一点A都可以作一条切线，并且只有一条，根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题．

    问题：在你手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，连接PO，沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？[来源:学§科§网]

我们把PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

    从上面的操作几何我们可以得到：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

下面，我们给予逻辑证明。

如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．

求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB．

    证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线．

    ∴OA⊥AP，OB⊥BP[来源:学科网ZXXK]

    又OA=OB，OP=OP，

    ∴Rt△AOP≌Rt△BOP[来源:学#科#网]

    ∴PA=PB，∠OPA=∠OPB

    因此，我们得到切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，

让学生先自主探索，再小组合作，分析、总结、交流。

让学生注意切线与切线长的区别：切线是直线，无法度量；切线长是且线上一条线段的长，可以度量。

对于切线，常有5个性质。若两条切线相交，又多了切线长相等这一性质。

这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

我们刚才已经复习，三角形的三条角平分线于一点，并且这个点到三条边的距离相等．

（同刚才画的图）设交点为I，那么I到AB、AC、BC的距离相等，如图所示，因此以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切．

    与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．

【例】如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径r．

    解：连接AO、BO、CO（图略）

    ∵⊙O是△ABC的内切圆且D、E、F是切点．

    ∴AF=AE=1，BD=BF=3，CE=CD=2

    ∴AB=4，BC=5，AC=3

    又∵S△ABC=6

    ∴（4+5+3）r=6

    ∴r=1

    答：所求的内切圆的半径为1．

3.学以致用，应用新知

考点1  切线长定理

【例1】如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上．若PA长为2，则△PEF的周长是________．

直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，因此要转化为面积法来求．就需添加辅助线，如果连接AO、BO、CO，就可把三角形ABC分为三块，那么就可解决。

利用切线长定理求