24.1.4 第1课时 圆周角定理及其推论-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(人教版)

课题

圆周角定理及其推论

课型

新授课

教学内容

教材第85-86页的内容（圆周角定理及其推论）

教学目标

1.理解圆周角的概念，有机渗透的“由特殊到一般”思想、 “分类”思想、“化归”思想，培养学生以严谨求实的态度思考。

2.数学理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

3.理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

4.引导学生能主动地通过：观察、实验、探究“圆周角定理及其推论”，培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题的能力，从而提高数学素养。

教学重难点

教学重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题。

教学难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理。

教具学具

多媒体课件，教具（三角板等），圆形硬纸片，投影仪

教  学  过  程

备  注

1.创设情境，导入新课

 提出问题：足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图，小明、小强两名同学分别站在圆上C、D两地，他们争论不休，都说自己所在位置，射门角度大，射门的机率高。如果你是教练，请评一评他们两个人，如果仅从射门角度的大小考虑，谁的位置射门更有利？

激发学生的探索激情和求知欲望，把学生的注意力较快地集中到本课的学习中。

2.类比联想，理解概念

1、教师引导学生把实际问题抽象成数学问题：（1）什么叫做“射门位置好”？即“研究同弧所对的圆周角的大小关系问题”。（2）先认识问题中的∠C、∠D ，导入新课

2、形成概念：观察∠C、∠D，有何特点？与圆心角有何区别和联系？

圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角

3、剖析概念：圆周角应满足什么条件？下图中的角是圆周角吗？为什么？

注意：（1）图A是圆周角吗？为什么？

（2）可以适当的介绍圆外角以及圆内角.

4、下图中有哪些圆周角，并分别说出它们所对的弧？

5、同圆中，同弧所对的圆心角只有一个，那么同弧所对的圆周角有几个呢？

结论：（1）一条弧所对的圆周角有无数个（2）优弧和劣弧所对的圆周角大小不同。

3.合作学习，探究定理

1、开始的问题中“研究同弧所对的圆周角的大小关系问题”，先研究“同弧所对的圆心角与圆周角的大小关系”

如图，用量角器测量∠AOB与∠ACB的大小。

2、教师用“几何画板”动画直观测量并显示它们的大小，移

通过类比圆心角的定义，引出圆周角概念，不仅有助于概念的理解，也有助于发现同弧所对的圆周角与圆心角的关系。

设置概念的辨析巩固，从正反两个方面加深对圆周角特征的正确理解，及时巩固为定理证明做好铺垫。

1、随着圆周角顶点C的移动，直观形象的得出圆心与圆周角的三种位置关系，帮助学生理解分类讨论的必要性和完整性。

2、分类的三种情况中，第一种是特殊情况，是证明第二三中情况的基础。

3、通过”作直径”，

动点C,数量关系变化吗？移动点A，数量关系变化吗？得到结论“无论移动点C还是点A，始终有∠ACB=∠AOB”即“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”。如何证明呢？

3、小组交流的过程中，教师深入课堂对学生适时的点拨、指导、评价、激励和有度的批评、督促。

4、小组充分的交流后,教师挑选有代表性的小组在投影仪上展示，并验证。教师用几何画板移动点C，动画直观演示并引导学生对展示归纳分类，（1）圆心在圆周角一边上；（2）圆心圆周角内部；（3）圆心在圆周角外部

并适时引导学生认识到“分类验证的必要性”：

主要看各种情况的证明方法是否相同，如果不同，必须分情况证明，而且要分得准确，不重不漏.

4、教师总结验证结果,学生当堂完成证明过程

（1）

（2）

（3）

通过证明，得出：圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

5.阅读教材第86页蓝体字（圆周角定理的推论）“同弧或等弧所对的圆周角相等.”“半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.”

这个推论是圆中确定直角、构造垂直关系的重要退静，它也是圆中很重要的一个性质。

4.学以致用，应用新知

将后两种情况转化为第一种情况，体现将一般化为特殊的思想，三种情况不重不漏，逐一证明，使学生感受演绎推理的严谨性，初步体验完全归纳法的推理方法。

4、让学生有自主探索、合作交流的时间和空间。学生在动手实践和充分的独立思考的基础上如有遇到个人难以独立解决的问题可以小组合作解决，教师适时的评价、激励和有度的批评、督促。师生互动，彼此形成一个“学习共同体”。

本环节加深学生了对知识的了解，让学生体验数学的严谨性，意在培养学生自主学习的习惯、引导学生爱读书敢质疑、能自主建构圆周角、圆心角、弧、弦的关系。