24.3 正多边形和圆-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(人教版)

第 二十四章 圆 24.3 正多边形和圆 学习目标 1.了解理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心角等概念. 2.应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题. 学习重难点 理解正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系. 应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题. 难点 重点 导入新知 情境引入 我们知道，各边相等、各角也相等的多边形是正多边形？请欣赏生活中常见的正多边形形状. 你还能举出一些这样的例子吗？ 知识点1 正多边形及有关概念 ① 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？ 思考 正多边形各边相等、各角相等，缺一不可 不是，因为矩形不符合各边相等； 不是，因为菱形不符合各角相等； 4 思考 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ 正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形. 5 探究 正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆. 以圆内接正五边形为例证明. 6 探究 如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到正五边形ABCDE. ∵AB=BC=CD=DE=EA , ∴ AB=BC=CD=DE=EA, BCE=3AB=CDA , ∴ ∠A=∠B. 同理∠B =∠C =∠D =∠E. 又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上, ∴ 五边形ABCDE是⊙O 的内接正五边形, ⊙O是五边形ABCDE的外接圆. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A B C D E O 7 把圆分成n(n ≥ 3)等份，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆. 圆的内接正多边形 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 8 (1)中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. (2)半径：正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径. (3)中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. (4)边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 正多边形的有关概念 9 例1 三角形AOB 是正三角形，以点O 为圆心，OA 为半径作⊙ O，直径FC ∥ AB，AO，BO 的延长线交⊙ O 于点D，E，求证： 六边形ABCDEF 为圆内接正六边形. 证明：∵三角形AOB 是正三角形， ∴ ∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60 °，OB=OA. ∴点B 在⊙ O 上.∵ FC ∥ AB， ∴∠ FOA= ∠ OAB=60°，∠ COB= ∠ OBA=60°. ∴ ∠ AOB= ∠ BOC= ∠ COD= ∠ DOE= ∠ EOF= ∠ FOA=60° .∴AB = BC = CD = DE = EF = FA . ∴六边形ABCDEF 为圆内接正六边形. ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ 10 拓宽 1. 任意三角形都有外接圆和内切圆，但是只有正三角形的外接圆和内切圆是同心圆. 2. 任意多边形(边数大于3)不一定有外接圆和内切圆，但当多边形是正多边形时，一定有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆. 11 知识点2 与正多边形有关的计算 ② 填一填 正n边形呢？ 正六边形的一个内角的度数是____________; 中心角是___________; 正多边形的中心角与外角的大小关系是________. 12 有关公式 1. 正n 边形的每个内角都等于 2. 正n 边形的每个中心角都等于 3. 正n 边形的每个外角都等于 4. 设正n 边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则： （1）半径、边长、边心距的关系为R2=r2+ (2)周长l=na； (3)面积S= 13 例2 已知正六边形ABCDEF 的半径为6，求这个正六边形 的边长a，周长l和面积S. 解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为点O， 过点O 作OG ⊥ AB 于点G，连接OA，OB. ∵∠ AOB= =60°，OA=OB， ∴∠ AOG=30°.∴ AG= AO=3. ∴ a=AB=2AG=6. ∴ l=6a=6×6=36. 在Rt △ AOG 中，OG= ∴ S6= ×AB×OG×6= ×6×3 ×6=54 14 1.弦与直径的关系：直径是过圆心最长的弦，但弦不一定是直径. 2.弧与半圆的关系：半圆是弧，但弧不一定是半圆. 3. 弦与弧的关系：①弦是圆上两点间的线段，有无数条；弧是圆上两点间的部分，是曲线，也有无数条. ②每条弧对一条弦；而每条弦对的弧有两条:一条优弧、一条劣弧或两个半圆. 4.等弧不等同于长度相等的弧，等弧仅仅存在于同圆或等圆中. 归纳 15 知识点3 正多边形的画法 ③ 正n 边形的画法：将圆n 等分，然后顺次连接各等分点，即得到所要作的正n 边形. 16 1. 用量角器等分圆 先用量角器画一个度数为 的圆心角，则此圆心角所对的弧就是圆的 ，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n 等分点，顺次连接各等分点，就得到圆的内接正n 边形，如图. 17 2. 用尺规等分圆 对于一些特殊的正n 边形，如正方形、正八边形，可以用圆规和直尺作图. 如图 . 在⊙ O 中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可把圆周四等分，从而作出正方形，若再逐次平分各边所对的弧，就可以作边数逐次倍增的正多边形，如正八边形、正十六边形等. 18 1. 画圆内接正n边形，实质是找圆的n等分点. 2. 用量角器等分圆是一种简单常用的方法，但边数很大时，容易产生较大误差. 3. 尺规作图是一种比较准确的等分圆的方法，但只限于作一些特殊的正多边形. 注意 19 随堂演练 C 1.下列说法中正确的是( ) A.各边都相等的多边形是正多边形 B.正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C.各边都相等的圆内接多边形是正多边形 D.各角都相等的圆内接多边形是正多边形 20 2.如果一个正多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形的中心角 等于( ) A.36° B.18° C.72° D.54° A 21 3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积． 解：∵正方形的面积等于4， ∴正方形的边长AB=2. 则半径为， ∴⊙O的面积为 22 4.如图，要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为多少？ 解：如图，∠ABC=120°. AB＝BC＝a, AC＝b. 过B作BD⊥AC于点D, 则AD=DC= b. 在Rt△ABD中，∠BAC=30°, ∴BD= AB=3mm. ∴b=2AD=6 mm. 即扳手张开的开口b至少要6 mm. A C B D 23 课堂小结 正多边形和圆 概念 中心 半径 有关计算 中心角 用量角器等分圆 用尺规等分圆 边心距 有关作图 24 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 25 绿卡图书—走向成功的通行证 26 $$