24.1.4 圆周角-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(人教版)

第 二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角 学习目标 1.理解圆周角的概念. 2.探究并掌握圆周角定理及其推论. 3.利用圆周角定理解决简单的几何问题. 学习重难点 圆周角定理及推论 运用圆周角定理及推论解决几何问题. 难点 重点 复习引入 1. 什么叫圆心角？指出图中的圆心角. 顶点在圆心的角叫圆心角, 图中∠BOC 是圆心角. 2.如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点? ∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点. A 3 知识点1 圆周角的概念 ① 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 圆周角必须满足两个条件： ①顶点在圆上； ②两边都和圆相交. 概念 两个条件同时具备，缺一不可 4 图中圆周角∠ACB 和圆心角∠AOB 有怎样的关系？ 先猜一猜，再用量角器量一量. O 探究 A B C ∠ACB= 5 （1）在圆上任取BC，画出圆心角∠BOC 和圆周角∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？ B C O A B C O A B C O A 6 （2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？ B C O A 第一种情况： 证明：如图， ∵　OA=OC， ∴　∠A=∠C． 又∵　∠BOC=∠A+∠C， ∴∠BAC=∠BOC. 7 （2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？ 第二种情况： 证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D． ∵OA=OB， ∴∠BAD=∠B． 又∵∠BOD=∠BAD+∠B， ∴∠BAD=∠BOD. 同理，∠CAD=∠COD. ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠BOC. B C O A D 8 第三种情况请同学们自行证明 B C O A 9 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 圆周角定理 10 例1 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝50°，则∠A等于（ ） A.40° B.50° C.60° D.70° 解析：⊙O是△ABC的外接圆，OB=OC, 所以∠OBC=∠OCB=50°，∠BOC=80°， ∠A= ∠BOC= ×80°=40°. A 11 上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，即： 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等. 那么，圆周角与弧、弦有什么关系吗？ 12 知识点2 圆周角定理的推论 ② 如图,∠BAC与∠BDC 所对的弧都是弧BC，∠BAC与∠BDC 有什么关系？ 根据圆周角定理可知，∠BAC = ∠BOC ，∠BDC= ∠BOC ∴∠BAC = ∠BDC . 探究 A D B C O 同弧所对的圆周角相等． 等弧所对的圆周角相等吗？ 13 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等. 显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等. 14 思考 半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？ C1 A O B C2 C3 15 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等. 16 例2 ︵ ︵ 如图，以△ ABC 的一边AB 为直径的半圆与其他两边AC，BC 的交点分别为D，E，且DE = BE，试判断△ ABC 的形状，并说明理由. 17 ︵ ︵ 解：△ ABC 为等腰三角形. 理由如下： 如图，连接AE. ∵DE = BE ，∴∠ CAE= ∠ BAE. ∵ AB 为半圆O 的直径， ∴∠ AEB= ∠ AEC=90° . 又∵ AE=AE， ∴△ ABE ≌△ ACE(ASA). ∴ AB=AC. ∴△ ABC 为等腰三角形. 18 知识点3 圆内接多边形 ③ 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. B A C D O 19 归纳 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的数量关系是什么？ 连接OB，OD. ∵ 弧BCD 和弧BAD 所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°. 20 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补. 还可得到一个推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角 . 21 例3 如图，四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形，已知 ∠ BOD=100°，则∠ BCD 的度数为( ) A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 解析：∵∠ BAD 与∠ BOD 是同弧所对的圆周角和圆心， ∴∠ BAD= ∠ BOD= ×100°=50°. 又∵四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形， ∴∠ BCD+ ∠ BAD ＝ 180°. ∴∠ BCD ＝ 180°－∠ BAD ＝ 180°－50°＝ 130°. D 22 解读 1.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 2.“同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”结论就不成立了. 因为一条弦所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角. 3.每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆. 23 随堂演练 C 1.下列四个图中，∠x是圆周角的是( ) 24 D 2.如图，⊙O中，弦AB、CD相交于E点，且∠A=40°，∠AED=75°，则∠B=( ) A.15° B.40° C.45° D.35° 25 3.已知经过原点的⊙ P 与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，点C 是弧AB 上一点，则∠ ACB 的度数是( ) A. 80° B. 90° C. 100° D. 无法确定 B 26 4.如图，A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，判断△ABC的形状并证明你的结论. 解：△ABC是等边三角形. 证明如下： ∵∠APC=∠ABC=60°， ∠CPB=∠BAC=60°， ∴∠ACB=180°- ∠ABC-∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形. 27 5.如图， 10.如图，BC为半圆O的直径，点F是BC上一动点(点F 不与B、C 重合)，A是弧BF上的中点，设∠FBC=α，∠ACB=β． (1)当α=50°时，求β的度数; (2)猜想α与β之间的关系，并给予证明. C 28 C 解：(1)连接OA，交BF于点M. ∵A是弧BF上的中点，∴OA垂直平分BF. ∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°. ∴∠C= ∠AOB= ×40°=20°, 即β=20°. (2)β=45°- α. 证明：由(1)知∠BOM＝90°-α. 又∠C＝β＝ ∠AOB, ∴β＝ (90°-α)＝45°- α. 29 课堂小结 圆周角 圆周角的概念 圆内接四边形 定义 圆心角定理及推论 性质 30 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 31 绿卡图书—走向成功的通行证 32 $$