24.1.2 垂直于弦的直径-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(人教版)

第 二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径 学习目标 1.通过探究了解圆的轴对称性. 2.理解垂径定理及其推论，并能运用其定理和推论解决问题. 学习重难点 理解垂径定理及其推论. 运用垂径定理及其推论解决问题. 难点 重点 知识点1 圆的轴对称性 ① 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？ 探究 发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 下面我们来证明这个结论. 3 已知：CD是⊙O 中任意一条直径， AB是弦， CD⊥AB，垂足为E. B O A C D E 连接OA，OB.则OA＝OB． ∴△OAB是等腰三角形. 又∵CD⊥AB， ∴AE=BE. 即CD 是AB 的垂直平分线. 这就是说对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD 的对称点，即⊙O关于直线CD 对称. 即 4 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. O 直径是是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”. 圆有无数条对称轴. 5 例1 下列说法中，不正确的是( ) A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合 C. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D. 圆的每一条直径都是它的对称轴 解析：圆的每条直径所在的直线都是它的对称轴，D错误.故选D. D 6 知识点2 垂径定理 ② 垂径定理 B O A C D E 问题：如图,AB是⊙O 的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E. 你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧吗? 为什么? 7 B O A C D E 相等的线段: AE=BE 相等的弧: 弧 AC=BC, 弧 AD=BD 理由： 把圆沿着直径CD 折叠时，点A 与点B 重合，AE 与BE 重合， 弧AC 和弧BC 重合,弧AD 与弧BD 重合． 这样，我们就得到垂径定理: 8 B O A C D E 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 定理 指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆. 此处的“直径”可以是过圆心且垂直于弦的线段、直线 9 几何语言 如图，CD ⊥ AB ，垂足为点E，CD是⊙ O 的直径，那么可用几何语言表述为： 10 例2 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm. · O A B E 解析：如图，连接OA. ∵ OE⊥AB， ∴AE==8（cm）. ∴AB=2AE=16 cm. 16 11 探究 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换，命题是真命题吗？ 12 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2）弧AC与弧BC相等吗?弧AD与弧BD相等吗? B O A C D 解：（1）如图，连接AO,BO,则AO=BO, 又AE=BE，OE=OE, ∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. （2）由垂径定理可得弧AC=弧BC，弧AD =弧BD. E 13 B O A C D E 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. “不是直径”的条件能去掉吗？ 注意 “不是直径”的条件不能去掉.因为圆的任意两条直径都是互相平分的. 14 几何语言 如图，CD 是⊙ O 的直径，AB 是弦(非直径)，AB 与CD 相交于点E，且AE=BE，那么CD 垂直于AB，并且AC = CB，AD = DB . 可用几何语言表述为: 15 归纳 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备： （1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦； （4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任意两个条件都可以推出其他三个结论. 简记为：知二推三 16 例3 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O 是这段弧所在圆的圆心，点C 是AB的中点，半径OC 与AB相交于点D，AB=120 m，CD=20 m，求这段弯路所在圆的半径. ︵ 17 ︵ 解：连接OB，如图. ∵点C 是AB的中点， ∴ OC ⊥ AB，AD=BD= AB=60 m. 设OB=OC=r m， 在Rt △ OBD 中，OB2=OD2+BD2, ∴ r2=(r－20)2+602. ∴ r=100，即这段弯路所在圆的半径为100 m. 18 随堂演练 B 1.下列说法中正确的是( ) A.在同一个圆中最长的弦只有一条 B.垂直于弦的直径必平分弦 C.平分弦的直径必垂直于弦 D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴 19 10 2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= . 20 3.如图，在⊙ O 中，AB 为⊙ O 的弦，C，D 是直线AB 上的两点，且AC=BD. 求证：△ OCD 为等腰三角形. 证明：过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M，如图. ∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM. ∵ AC=BD，∴ CM=DM. 又∵ OM ⊥ CD，∴ OC=OD. ∴△ OCD 为等腰三角形. 21 4.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求⊙O的半径. 解：连接OC. ∵OM平分CD,∴OM⊥CD且CM=MD= CD=2m. 设半径为r，在Rt△OCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r, 由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.解得r= . 即⊙O的半径为 m. 22 课堂小结 垂直于弦的直径 圆的轴对称性 垂径定理 定理 推论 23 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 24 绿卡图书—走向成功的通行证 25 $$