23.1 第2课时 图形旋转的性质-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(人教版)

23.1 图形的旋转 第2课时 图形旋转的性质 课题 图形旋转的性质 课型 新授课 教学内容 教材第60页的内容（图形旋转的性质） 教学目标 1.理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 2.理解旋转前、后的图形全等．掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用． 3.先复习旋转及其旋转中心、旋转角和旋转的对应点概念，接着用操作几何、实验探究图形的旋转的基本性质． 教学重难点 教学重点：图形的旋转的基本性质及其应用。 教学难点：运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质。 教具学具 黑板，三角尺 教 学 过 程 备 注 1.复习引入 （学生活动）老师口问，学生口答． 1．什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？ 2．什么叫旋转的对应点？ 3．请独立完成下面的题目． 如图，O是六个正三角形的公共顶点，正六边形ABCDEF能否看做是某条线段绕O点旋转若干次所形成的图形？ （老师点评）分析：能．看做是一条边（如线段AB）绕O点，按照同一方法连续旋转60°、120°、180°、240°、300°形成的． 2.类比旧知，探索新知 上面的解题过程中，能否得出什么结论，请回答下面的问题： 1．A、B、C、D、E、F到O点的距离是否相等？ 2．对应点与旋转中心所连线段的夹角∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF、∠FOA是否相等？ 3．旋转前、后的图形这里指三角形△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA全等吗？ 老师点评：（1）距离相等，（2）夹角相等，（3）前后图形全等，那么这个是否有一般性？下面请看这个实验． 请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，�再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然后围绕旋转中心O转动硬纸板，�在黑板上再描出这个挖掉的三角形（△A′B′C′），移去硬纸板． （分组讨论）根据图回答下面问题（一组推荐一人上台说明） 1．线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？ 2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？ 3．△ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系？ 老师点评：1．OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，也就是对应点到旋转中心相等． 2．∠AOA′=∠BOB′=∠COC′，我们把这三个相等的角，�即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角． 3．△ABC和△A′B′C′形状相同和大小相等，即全等． 综合以上的实验操作和刚才作的（3），得出 （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后的图形全等． 例1．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B�对应点的位置，以及旋转后的三角形． 分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′=ACD，�又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB′，就可确定B′的位置，如图所示． 解：（1）连结CD （2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD （3）在射线CE上截取CB′=CB 则B′即为所求的B的对应点． （4）连结DB′ 则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形． 例2．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=，△ABF是△ADE的旋转图形． （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）AF的长度是多少？ （4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？ 分析：由△ABF是△ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF�的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到．�△ABF与△ADE是完全重合的，所以它是直角三角形． 解：（1）旋转中心是A点． （2）∵△ABF是由△ADE旋转而成的 ∴B是D的对应点 ∴∠DAB=90°就是旋转角 （3）∵AD=1，DE= ∴AE== ∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点 ∴AF= （4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE ∴△EAF是等腰直角三角形． 3.学以致用，应用新知 考点1 旋转性质的理解 【例1】如图，四边形ABCD是边长为4的正方形且DE＝1，△ABF是△ADE旋转后的图形． (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)AF的长度是多少？ (4)如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？ 解：(1)旋转中心是A点． (2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的，∴B是D的对应点，又∵∠DAB＝90°，∴旋转了90°. (3)∵AD＝4，DE＝1，∴AE＝＝.∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点，∴AF＝AE＝. (4)∵∠EAF＝90°(旋转角相等)且AF＝AE，∴△EAF是等腰直角三角形． 考点2 旋转性质的应用 【例2】如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3则∠BE′C＝________度． 解析：连接EE′，由旋转性质知BE＝BE′，∠EBE′＝90°，∴EE′＝2.在△EE′C中，EE′＝2，E′C＝1，EC＝3，由勾股定理逆定理可知∠EE′C＝90°，∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝135°. 4.随堂训练，巩固新知 一、选择题 1．△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′，若∠BAC′=130°，∠BAC=80°，�则旋转角等于（ ） A．50° B．210° C．50°或210° D．130° 2．在图形旋转中，下列说法错误的是（ ） A．在图形上的每一点到旋转中心的距离相等 B．图形上每一点移动的角度相同 C．图形上可能存在不动的点 D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等 3．如图，下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（ ） 二、填空题 1．在作旋转图形中，各对应点与旋转中心的距离________． 2．如图，△ABC和△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，图中的△ABD绕A旋转42°后得到的图形是________，它们之间的关系是______，�其中BD=_________． 3．如图，自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，�∠EAF=45°，在保持∠EAF=45°的前提下，当点E、F分别在边BC、CD上移动时，BE+�DF�与EF的关系是________． 三、综合提高题 1．如图，正方形ABCD的中心为O，M为边上任意一点，过OM随意连一条曲线，�将所画的曲线绕O点按同一方向连续旋转3次，每次旋转角度都是90°，这四个部分之间有何关系？ 2．如图，以△ABC的三顶点为圆心，半径为1，作两两不相交的扇形，�则图中三个扇形面积之和是多少？ 3．如图，已知正方形ABCD的对角线交于O点，若点E在AC的延长线上，�AG�⊥EB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，则△OAF与△OBE重合吗？如果重合给予证明，如果不重合请说明理由？ 答案: 一、1．C 2．A 3．D 二、1．相等 2．△ACE 图形全等 CE 3．相等 三、1．这四个部分是全等图形 2．∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴绕AB、AC的中点旋转180°，可以得到一个半圆， ∴面积之和=． 3．重合：证明：∵EG⊥AF ∴∠2+∠3=90° ∵∠3+∠1+90°=180° ∵∠1+∠3=90° ∴∠1=∠2 同理∠E=∠F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC ∴△ABF≌△BCE，∴BF=CE，∴OE=OF，∵OA=OB ∴△OBE绕O点旋转90°便可和△OAF重合． 5.课堂小结，自我完善 1．对应点到旋转中心的距离相等； 2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3．旋转前、后的图形全等及其它们的应用． 6.布置作业 课本P61练习第1-3题，P63习题23.1第9-11题。 复习旋转的概念，再探索旋转的性质。 旋转通常与全等三角形结合。 可以根据旋转的性质进行旋转作图。 学生自主解答，教师适时引导思路。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 图形旋转的性质 根据旋转图形研究旋转的性质，进而进行旋转画图。 教后反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，让学生自行按不同的方向旋转图形，体会图形变换思想。 学科网（北京）股份有限公司 $$