22.3 第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(人教版)

该教案聚焦二次函数在拱桥及运动抛物线中的应用，以现实抛物线形拱桥图片创设情境，通过探究3引导学生思考建立坐标系、求解析式等问题，衔接二次函数知识，搭建从数学模型到实际应用的学习支架。 特色在于融合核心素养，以情境导入培养数学眼光，引导学生从拱桥等现实问题中抽象函数模型；通过建立坐标系、设解析式发展数学思维，提升抽象能力与几何直观；例题与训练强化数学语言表达，如例1拱桥宽度计算、例2秋千最低点问题，助力学生用函数解决实际问题，为教师提供清晰教学流程与实例参考。

22.3 实际问题与二次函数 第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线 课题 实际问题与二次函数（3） 课型 新授课 教学内容 教材第51页的探究3 教学目标 1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 3．能运用二次函数的图象与性质进行决策． 教学重难点 教学重点：建坐标系解决拱桥问题。 教学难点：建立适当的坐标系解决抛物线形实际问题。 教具学具 黑板，多媒体 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥(如图)吧？能不能利用二次函数的知识解决与之相关的问题呢？ 【探究】 · 课本第51页探究3 提出问题： (1)对于抛物线形拱桥，要是能知道此抛物线的解析式就好了．你能确定这条抛物线的表达式吗？ (2)水面下降1m的含义是什么？怎样把距离转化成坐标？如何求宽度增加多少？你能先在图中建立一个恰当的平面直角坐标系，使抛物线形拱桥转化为坐标系中的抛物线吗？ (3)你还有其他的解决方法吗？ 学生完成并交流展示． 2.探索新知，归纳知识 1．将线段长度转化为点的坐标问题． 2．利用点的坐标以及抛物线的特点，设出函数解析式并求解． 3．利用函数解析式求点的坐标，转化为线段的长度． 3.学以致用，应用新知 【例1】　如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米． 解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y＝ax2，把点(2，－2)代入，得－2＝a×22，a＝－，∴y＝－x2，当y＝－3时，－x2＝－3，x＝±.故答案为2. 答案：2 【例2】如图，小明的父亲在相距2m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方A，B距地面高都是2.5m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1m的小明距较近的那棵树0.5m时，头部刚好接触到绳子C处，求绳子的最低点距地面的距离为多少米？ 解：建立如图所示的平面直角坐标系．可设它的函数解析式为y＝ax2＋k.把B(1，2.5)，C(－0.5，1)代入，可求得a＝2，k＝0.5，∴抛物线的解析式为y＝2x2＋0.5.∵a＝2＞0，∴y有最小值，∴当x＝0时，y最小＝0.5. 答：绳子的最低点距地面的距离为0.5m． 4.随堂训练，巩固新知 1．欢欢在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数h＝3.5t－4.9t2(t的单位：s，h的单位：m)可以描述她跳跃时重心高度随时间的变化关系，则她起跳后到重心到达最高时所用的时间是___s. 2．某学校九年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m. (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲面前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，则他能否获得成功？ 参考答案 1. 2.解：(1)能投中； (2)当x＝1时，y＝3＜3.1，∴能成功． 5.课堂小结，自我完善 利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤： ①建立适当的直角坐标系；②写出抛物线上的关键点的坐标；③运用待定系数法求出函数解析式；④求解数学问题；⑤求解抛物线形实际问题。 6.布置作业 课本P52习题22.3第9题。 二次函数在拱桥等抛物线型问题中的应用也十分广泛。 引导学生独立完成并交流，教师适时指点。 教师总结，学生体会。 在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题． 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 实际问题与二次函数（3） 利用二次函数可以求各种抛物线型问题。 教后反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。 学科网（北京）股份有限公司 $$