22.3 第1课时 几何图形的最大面积问题-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(人教版)

该教案聚焦“实际问题与二次函数”中几何图形最大面积问题，通过调运农用车运费的一次函数最值问题导入，衔接课本探究1的矩形面积分析，搭建从一次函数到二次函数的学习支架，梳理变量关系与最值求解脉络。 以真实情境与几何问题为载体，发展数学眼光（观察实际问题数量关系）、数学思维（抽象函数关系、推理最值条件）、数学语言（构建面积模型）。如探究1用矩形面积公式抽象函数解析式，例2结合墙长限制分析自变量范围，体现几何直观与创新意识。采用自主探索与合作交流，学生经历“问题—抽象—建模—求解”过程，提升模型意识与应用能力，教师可通过结构化流程高效教学，夯实二次函数应用基础。

22.3 实际问题与二次函数 第1课时 几何图形的最大面积问题 课题 实际问题与二次函数 课型 新授课 教学内容 教材第49-50页的探究1 教学目标 1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系． 2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值． 3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题． 教学重难点 教学重点：会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。 教学难点：能分析实际问题中变量之间的二次函数关系。 教具学具 黑板，多媒体 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆．现在需要调往A县10辆，需要调往B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元． (1)设乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求最低总运费是多少元？ 解：(1)设乙仓库调往A县农用车x辆，则乙仓库调往B县农用车(6－x)辆，甲仓库调往A县农用车(10－x)辆，调往B县农用车(2＋x)辆． 根据题意，得y＝30x＋50(6－x)＋40(10－x)＋80(2＋x)＝20x＋860(0≤x≤6)； (2)∵k＝20>0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝0时，y最小值＝860. ∴最低总运费是860元． 【探究】 · 课本第49页问题 提出问题： (1)请将二次函数h＝30t－5t2(0≤t≤6)化成顶点式，并指出其对称轴和顶点坐标； (2)请解释该顶点横、纵坐标的含义？ 学生完成并交流展示． · 课本第49页探究1 提出问题： (1)矩形的面积公式是什么？ (2)如何用l表示另一边？面积S关于l的函数解析式是什么？ (3)由函数解析式S＝－l2＋30l(0＜l＜30)可知抛物线的开口方向如何？所以面积S在何时取得最大值？ 学生完成并交流展示． 2.探索新知，归纳知识 一般地，当a＞0(a＜0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最_低_(_高_)点，也就是说，当x＝_－_时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值__. 3.学以致用，应用新知 【例1】某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形的一边长为xm，面积为Sm2. (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用． 解：(1)∵矩形的一边长为xm， ∴另一边长为(6－x)m， ∴S＝x(6－x)＝－x2＋6x，其中0＜x＜6； (2)∵S＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，∴当x＝3，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2，这时设计费最多，为9×1000＝9000(元). 【例2】如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃，设花圃的一边AB为xm，面积为ym2. (1)求y与x的函数解析式； (2)y是否有最大值？如果有，请求出y的最大值． 解：(1)y＝－3x2＋30x； (2)当x＝时，y最大值＝. 4.随堂训练，巩固新知 1.用一根长60cm的铁丝围城一个矩形，则矩形的最大面积为（ ） A.125cm2 B.225cm2 C.200cm2 D.250cm2 2.如图，从长宽比为2：1的矩形ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E应选在 . 3.用长12m的铝合金条制成矩形窗框（如图所示），那么这个窗户的最大透光面积是 （中间横框所占的面积忽略不计）. 参考答案 1.B 2.AD中点 3.6m2 5.课堂小结，自我完善 （1）如何求二次函数的最小（大）值，如何利用二次函数的最小（大）值解决实际问题？ （2）在解决问题的过程中应注意哪些问题？学到了哪些思考问题的方法。 6.布置作业 课本P51-52习题22.3第1，3,4题。 正如一次函数能解决实际问题一样，二次函数的实际应用也十分广泛，让我们一起去看看二次函数的实际应用吧。 引导学生独立完成并交流，教师适时指点。 实际问题中，先求出函数解析式，再求出使函数值最大的自变量的值。 让学生得出求二次函数的最小（大）值的结论，体会由特殊到一般的思想方法。 教师总结，学生体会。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 二次函数与一元二次方程 利用二次函数最大（小）值求面积最大问题。 教后反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况。 学科网（北京）股份有限公司 $$