22.1.4 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(人教版)

22.1 二次函数的图象和性质 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 课题 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 课型 新授课 教学内容 教材第37-39页练习的内容 教学目标 1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。 2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3．让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。 教学重难点 教学重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。 教学难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－、(－，)。 教具学具 黑板 教 学 过 程 备 注 1.提出问题，引入课题 · 提出问题，回顾旧知 1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系? (函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的) 3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质? (当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1) · 课本第37页思考 【探究1】探究新知 4．不画出图象，你能直接说出函数y＝x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 5．你能画出函数y＝x2-6x+21的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗? 可将y＝x2-6x+21配方，得到y=（x-6）2+3，进而得到函数的图象及性质。 由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y＝x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y＝x2-6x+21=（x-6）2+3的图象，进而观察得到这个函数的性质。 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表； x … 3 4 5 6 7 8 9 … y … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 … (2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。 (3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y＝x2-6x+21的图象。 说明：(1)列表时，应根据对称轴是x＝6，以6为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。 (2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。 【探究2】你能通上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗？ 2.探索新知，归纳知识 一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c可以通过配方化成y=a（x-h）2+k的形式，即y＝a(x＋)2＋。 对称轴是x＝，顶点坐标是(－，)。 如果a＞0，当x＜时，y随x的增大而减小，当x＞时，y随x的增大而增大； 如果a＜0，当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小。 3.学以致用，应用新知 考点1 二次函数与的关系 【例1】二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（　　） A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+3 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣2）2+4 答案：B 考点2 二次函数的图象和性质 【例2】如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是(　　) A．a＞1 B．－1＜a≤1 C．a＞0 D．－1＜a＜2 解析：抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，∵函数图象开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a≤1.∵－1＜x＜a，∴a>－1，∴－1<a≤1，故选择B. 答案：B 【例3】已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是(　　) 解析：∵A图和D图中直线y＝ax＋b过一、三、四象限，∴a＞0，b＜0，∴抛物线y＝ax2＋bx的开口向上，对称轴x＝－＞0，∴选项A错，选项D正确；B图和C图中直线y＝ax＋b过二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，∴抛物线的开口向下，且对称轴x＝－＜0，∴选项B，C错．故选择D. 答案：D 考点3 二次函数的平移 【例4】在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是(　　) A．(－3，－6) B．(1，－4) C．(1，－6) D．(－3，－4) 解析：二次函数y＝2x2＋4x－3配方得y＝2(x2＋2x)－3＝2(x2＋2x＋1－1)－3＝2(x＋1)2－5，将抛物线y＝2(x＋1)2－5向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x＋1－2)2－5＝2(x－1)2－5，再将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，此时二次函数图象的顶点为(1，－6)，故选择C. 答案：C 4.随堂训练，巩固新知 1.二次函数y=x2+6x+4图象的对称轴是直线（　　） A. x=-3 B．x=-6 C．x=6 D．x=4 2.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝ax2+bx+c先沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度，得到抛物线y＝x2﹣2x﹣4，则抛物线y＝ax2+bx+c的函数表达式为（　　） A．y＝x2+2x+4 B．y＝x2+4x﹣3 C．y＝x2﹣4x+3 D．y＝x2﹣8x+13 3.若抛物线y＝x2+2x+c与y轴交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．对称轴为直线x＝﹣1 C．当x＞﹣1时，y随x的增大而减少 D．c的值为﹣3 4.在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x=t. （1）当c=2，m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值； （2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c,求t的取值范围及x0的取值范围. 参考答案 1.A 2.B 3.C 4.解：（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，得m＝a+b+c，n＝9a+3b+c. ∵m=n,∴a+b+c=9a+3b+c. 整理，得b=-4a, ∴抛物线的对称轴为x=-=-=2，∴t=2. ∵c=2，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）． （2）∵m＜n＜c, ∴a+b+c＜9a+3b+c＜c,解得-4a＜b＜-3a, ∴3a＜-b＜4a, ∴＜-＜，即＜t＜2． 当t=时，x0=2； 当t=2时，x0=3． ∴x0的取值范围2＜x0＜3． 5.课堂小结，自我完善 1.能用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。 2．用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3．经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。 6.布置作业 课本P39练习，P41习题22.1第6-9题。 先复习上一节第3课时的内容，使学生能更自然地考虑配方法解决本课时思考问题。 学生填表、交流，教师指导。 运用关于二次函数y=a（x-h）2+k图象的结论。 学生画图象、老师巡视指导，让一位同学板演，学生自纠，教师点评。 先将所给的函数通过配方写成y=a（x-h）2+k的形式，然后画出所给函数的图象，并由图象得出所给函数随x增大的变化情况。 学生尝试总结，老师适当补充和引导。 抛物线的增减性：当a＞0，开口向上时，对称轴左降右升；当a＜0，开口向下时，对称轴左升右降。 多种函数图象的识别，一般可以先确定其中一种函数的图象(如一次函数)，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图象的开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论。 利用二次函数平移规律（简记为“上加下减，左加右减”）确定平移后抛物线解析式，进而判断顶点坐标。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 用配方法将二次函数y=ax2+bx+c转化为y=a（x-h）2+k的形式，再根据上节课的学习得出其图象与性质 教后反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法。 学科网（北京）股份有限公司 $$