22.1.3 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(人教版)

第 二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 学习目标 学习重难点 会画二次函数y=ax²+k的图象；理解y=ax²与 y=ax²+k之间的联系. 掌握二次函数y=ax²+k的性质并会应用. 难点 重点 （1）会画二次函数y=ax2+k的图象. （2）掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用. （3）理解y=ax²与 y=ax²+k之间的联系. 课时导入 前面我们已经学习了二次函数 y=ax2 的图象和性质，同学们能说出二次函数y=ax2的图象的开口方向、大小、对称轴、顶点坐标、最值、以及增减性吗? 今天我们将学习只有二次项和常数项的二次函数y=ax2+k的图象和性质. 导入新知 知识点1 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0) ① 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象. 解：先列表： x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y =2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 … y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 … 4 然后描点画图： 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y = 2x2 -1 y = 2x2+1 -1 抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 思考1 解析式 形状 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2x2-1 y=2x2 y=2x2+1 向上 直线x=0 (0,0) (0,1) (0,-1) 抛物线 5 思考2 抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 与抛物线y=2x2 有什么关系？ 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y = 2x2 -1 y = 2x2+1 -1 y = 2x2 观察图象可发现： 把抛物线y=2x2 平移 个单位就得到抛物线y=2x2+1;把抛物线y=2x2 平移 个单位就得到抛物线y=2x2-1. 向上 1 向下 1 所以，y = 2x2 -1的图象还可以由抛物线y = 2x2+1 平移 个单位得到. 向下 2 抛物线y = ax2+k 与抛物线y=ax2 有什么关系？ y O x y = ax2 +k(k<0) y = ax2+k (k>0) k k 结论： 抛物线y=ax2+k的图象相当于把抛物线y=ax2的图象 （k＞0）或 （k＜0）平移 个单位. 向上 向下 |k| 思考3 知识点2 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0) ② 在同一坐标系中，画出二次函数 ， ， 的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，指明抛物线 通 过怎样的平移可得到抛物线 . -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 如图所示 归纳 a的符号 a>0 a<0 图象 k>0 k<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 向上 向下 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） （0，k） （0，k） x=0时，y最小值=k x=0时，y最大值=k 二次函数y = ax2 +k的图象和性质: 典型例题 例1 已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________. 解析：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c. c 二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数． 归纳 例2 如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标． 解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2， 即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)， ∴AB＝4. ∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b， ∴ ×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2. 当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝± ， 此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)； 当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝± ， 此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)． 巩固练习 二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(　　) A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到 B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到 C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到 D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到 解析：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．故选D. D 12 随堂演练 1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 ．　　 y = 2x2－４ 2.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上. 3.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k . 在 =2 >2 <2 13 随堂演练 4.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为(　　) D 5.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______. 8 14 Administrator (A) - 课堂小结 二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质 图象 性质 与y=ax2的关系 开口方向由a的符号决定； k决定顶点位置； 对称轴是y轴. 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 平移规律： k正向上； k负向下. 15 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 16 绿卡图书—走向成功的通行证 17 $$