22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(人教版)

第 二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质 学习目标 学习重难点 会用描点法画二次函数y=ax²的图象，知道抛物线y=ax²是轴对称图形，知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有关. 能根据图象说出抛物线y=ax²的开口方向、对称轴、顶点坐标和抛物线的最高（低）点. 难点 重点 （1）正确理解抛物线的有关概念. （2）会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点. （3）掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用. 回顾复习 (1)一次函数的图象是什么？ 一条直线 (2)画函数图象的基本方法与步骤是什么？ 列表——描点——连线 (3)研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？ 主要工具是函数的图象 导入新知 知识点 二次函数y=ax2的图象和性质 ① 先画二次函数y = x2的图象 x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ··· 1.列表 在y = x2中，自变量x可以是任意实数，列表表示出几组对应值： 4 2.描点 根据表中x，y的数值在坐标平面中描出对应的点. 3.连线 用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2的图象. 3 6 9 y O -3 3 x 5 3 6 9 y O -3 3 x 事实上，二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c. 抛物线y = x2 观察：二次函数y = x2的图象像什么？ 观察函数y=x2的图象,总结函数性质： 3 6 9 y O -3 3 x 开口向上 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点． 关于y轴对称 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线y=x2的顶点是（0,0） 观察函数y=x2的图象,总结函数性质： 在对称轴的左侧， y随x的增大而减小. o 2 4 −2 −4 3 6 9 x y 在对称轴的右侧， y随x的增大而增大. 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 解：分别列表，再画出它们的图象，如图. x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ··· x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y = 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ··· y=2x2 例1 在同一直角坐标系中，画出函数 ，y =2x2的图象. a值越大，抛物线的开口越小． 增减性相同：当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y=2x2 顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点； 开口都向上； 对称轴都是y轴； 函数 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？ 思考 一般地，当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小. 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y=2x2 归纳 探究 画出函数 y=-x2, , y=-2x2 的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点． x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = -x2 ··· -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ··· ··· -2 0 -2 ··· y = -2x2 ··· -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 ··· y=-2x2 y=-x2 -3 -6 -9 y O -3 3 x y=-2x2 y=-x2 -3 -6 -9 y O -3 3 x 开口都向下； 对称轴都是y轴； a值越小，抛物线的开口越小． 顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最高点； 增减性相同： 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. 一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小. 共同点和不同点 典型例题 例1 已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式 m2+m 解: 依题意有: m+1>0 ① m2+m=2 ② 解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2. 14 例2 已知二次函数y＝2x2. (1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则 y1_____ y2；(填“>”“＝”或“<”)； (2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形 ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的 图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积 之和． < 15 (2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点B， ∴当x＝2时，y＝2×22＝8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它 们的对称轴， ∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积， ∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16. 归纳 二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解． 17 巩固练习 （1）其中开口向上的是________（填序号）； （2）其中开口向下且开口最大的是______（填序号）； （3）有最高点的是_______（填序号）. 已知下列二次函数①y=-x2；②y= x2；③y=15x2；④y =-4x2；⑤y = 4x2. ② ① ① ③ ⑤ ④ a>0 a<0， 开口向下 a<0 |a|越大，开口越小. 18 随堂演练 1.函数y=2x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 2.函数y=-3x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧, y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 向上 向下 y轴 y轴 (0,0) (0,0) 减小 减小 增大 增大 x x y y O O 19 随堂演练 3.若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）. （1）则a的值是 ； （2）对称轴是 ，开口 . （3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值 . 抛物线在x轴的 方（除顶点外）. (4) 若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0, 则y1 y2. 2 y轴 向上 （0,0） 小 上 > 20 随堂演练 4.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． 解：由题意得 解得 所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)． ∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4. ∴S△ACO＝ ·CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2， ∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10. 课堂小结 y＝ax2 a>0 a<0 图象 位置、开 口方向 对称性 顶点、最值 增减性 开口向上，在x轴上方 开口向下，在x轴下方 a的绝对值越大，开口越小. 关于y轴对称，对称轴是直线x＝0. 顶点坐标是（0，0）. 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 22 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 23 绿卡图书—走向成功的通行证 24 $$