21.2.3 因式分解法-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(人教版)

第 二十一章 一元二次方程 21. 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法 学习目标 学习重难点 用因式分解法解特殊的一元二次方程 选用恰当的方法解一元二次方程. 难点 重点 （1）理解用因式分解法解方程的依据，能用因式分解法解特殊的一元二次方程. （2）会选用恰当的方法解一元二次方程. 回顾复习 我们已经学过哪些解一元二次方程方法？这些方法是否能解所有的一元二次方程 导入新知 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 ① 探究 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度（单位：m）为：10x－4.9x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)? 4 设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m， 即 10x－4.9x2＝0. ① 思考 除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法 解方程①? 5 分析 10x-4.9x2 =0 x(10-4.9x) =0 ② 因式分解 x = 0 或　10 - 4.9x = 0 因式分解法的依据 如果a · b = 0，那么 a = 0或 b = 0 降次 6 定义 可以发现，上述解法中，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 7 例1 解下列方程： 解：(1)因式分解，得 (x－2)(x＋1)=0. 于是得 x－2＝0或x＋1=0, x1=2，x2=－1. (2)移项、合并同类项，得 因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0. 2x＋1=0或2x－1=0, 于是得 8 归纳 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 1.因式分解: 把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式; 2.降次:把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式; 3.计算: 解两个一次方程，求出方程的根. 9 巩固练习 1. 方程(x－2)(x+1)=x－2 的解是( ) A. x=0 B. x=2 C. x=2 或x=－1 D. x=2 或x=0 2.方程 (3x+6)(2x-4)=0的根是 . x1=-2,x2=2 D 10 知识点2 用适当的方法解方程 ② 解一元二次方程的方法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．其 中配方法和公式法适合于所有一元二次方程，直接 开方法和因式分解法适合于某些特殊方程. 11 例2 用适当的方法解方程： (1) (3x＋2)2－8(3x＋2)＋15＝0； (2)（5x + 1）2 = 1； 解：(1) 因式分解，得[(3x＋2)－3] [(3x＋2)－5]＝0， 即 (3x－1)(3x－3)＝0， ∴x1＝ ，x2＝1. （2）开平方,得 5x + 1 = ±1. 解得, x 1= 0 , x2= 12 例2 （3）2x2－7x－6＝0； （4） x2 - 12x = 4 解： (3) ∵a＝2，b＝－7，c＝－6，∴Δ＝b2－4ac＝97>0， （4）配方,得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62, 即 (x - 6)2 = 40. 开平方,得 解得 x1= , x2= 13 归纳 解一元二次方程方法的选择顺序： 在没有规定方法的前提下解一元二次方程， 首先考虑用直接开平方法和因式分解法，其次考虑用公式法．方程中系数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系数是偶数，可选用配方法. 14 随堂演练 D 1. 解下列方程： ①5(m+2)2=8,② 3y2-y-1=0,③ -3t2+t=0 ，较适当的方法为( ) A. ①直接开平方法, ②因式分解法, ③公式法 B. ①因式分解法, ②公式法, ③配方法 C. ①公式法, ②配方法,③因式分解法 D. ①直接开平方法, ②公式法, ③因式分解法 15 随堂演练 2. 解下列方程： (1)9(x－1)2=5；(2)x2+5x+7=3x+11；(3)3x2－6x=－3. 16 随堂演练 解：（2）化简，得 x2+2x=4，x2+2x+1=5， (x+1)2=5 (3)化简，得 x2－2x+1 = 0. 因式分解，得 ( x－1 )( x－1 ) = 0. 即x － 1 = 0 或 x － 1 = 0， x1=x2=1. 17 随堂演练 4.已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0 的解， 求这个三角形的周长． 解：解方程x2-4x+3=0 ， 得（x-3）（x-1）=0， ∴x1=3，x2=1. ∵三角形两边长分别为2和4， ∴第三边只能是3. ∴这个三角形的周长为9. 18 课堂小结 因式分解法 依据 方法 如果a ·b=0，那么a=0或b=0. 步骤 ①化；②分；③降次；④计算 提公因式法、公式法 19 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 20 绿卡图书—走向成功的通行证 21 解：(1)9(x－1)2＝5， (x－1)2＝，x－1＝±， ∴x1＝＋1，x2＝－＋1. $$