3.2.1双曲线及其标准方程 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学讲义 2025～2026学年上学期高二数学讲义 教材：人教A版高中数学选择性必修第一册 章节：3.2.1双曲线及其标准方程 part1 知识清单 知识点01：双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 知识点02：双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. Part2 教材重点例题与习题 1.已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程． 【答案】解：依题意可知双曲线的， 根据双曲线定义及可知，， 双曲线的方程为 故答案为：．  2.已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 【答案】设、、为曲线上任一点， 则． 点轨迹为双曲线，且， 则． ． 点轨迹方程为：  3.求适合下列条件的双曲线的标准方程： 焦点在轴上，， 焦点在轴上，经过点， 焦点为，，且经过点． 【答案】解：因为双曲线焦点在轴上，，， 所以其标准方程为． 因为双曲线焦点在轴上，可设双曲线方程为， 又双曲线经过点，， 则有，解得，， 所以其标准方程为． 因为双曲线焦点为，， 所以， ， 所以， 所以其标准方程为．  4.求证：双曲线与椭圆的焦点相同． 【答案】解：双曲线，即为：， 得，，焦点为， 椭圆的，，，焦点为， 即双曲线与椭圆的焦点相同．  5.已知方程表示双曲线，求的取值范围 【答案】解析当方程表示双曲线时，有， 解得或所以的取值范围是  6.双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，求的值． 【答案】因为双曲线的两个焦点分别是与，焦距为， 故可得，解得， 因为， 则， 故可得．  Part3 综合练习 一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，动点满足，则点的轨迹方程是(    ) A. B. C. D. 2.双曲线的焦点坐标是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.平面内动点到两定点，的距离之差为，若动点的轨迹是双曲线，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是(    ) A. B. C. D. 5.已知：，：方程表示双曲线，则是的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.已知点在双曲线上，，分别是左、右焦点，若的面积为，则下列判断正确的有(    ) A. 点到轴的距离为 B. C. 为钝角三角形 D. 三、填空题 7.已知双曲线上的点到点的距离为，则点到点的距离为          ． 8.方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是          ． 9.已知，是等轴双曲线：的左、右焦点，点在上，，则等于            ． 10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，且，若，则等于          ． 11.已知动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为          ． 12.已知双曲线的方程为，如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为          ． 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.已知双曲线经过两点，求该双曲线的标准方程及其焦距． 14.已知双曲线：中，且过点，求双曲线的标准方程和焦点坐标． 15.如图，若是双曲线的两个焦点． 若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，求点到另一个焦点的距离； 若是双曲线左支上的点，且，试求的面积． 16.如图所示，地在地的正东方向千米处，地在地的北偏东方向千米处，河流的沿岸曲线上任意一点到的距离比到的距离远千米．现要在曲线上选一处建一座码头，向，两地转运货物．经测算，从到，两地修建公路的费用都是万元千米，求修建这两条公路的最低总费用． 17.已知双曲线过点和点． 求双曲线的标准方程； 若点在双曲线上，为双曲线的左、右焦点，且，求的余弦值． 18.如图，平面上，，两点间距离为，为的中点，现一动点，它在运动过程中始终保持到点的距离比到点的距离大共面，请建立适当的平面直角坐标系． 求出动点运动的轨迹方程； 当的面积为时，在内画一个圆，求可画出圆的最大面积． Part4 综合练习答案及解析 1.【答案】  【解答】解：由题意知点满足双曲线的定义， 且点在以，为焦点的双曲线的右支上， 由此可知，，则， 因此点的轨迹方程是． 故选B． 2.【答案】  【解答】 解：双曲线方程可得双曲线的焦点在轴上，且，， 由此可得， 该双曲线的焦点坐标为，． 故选：． 3.【答案】  【解答】 解：动点的轨迹为双曲线，． ，且， ，且． 故选D． 4.【答案】  【解答】 解：由椭圆可得焦点为， 设要求的双曲线的标准方程为：， 则，， 解得，， 所求的双曲线的标准方程为：． 故选C． 5.【答案】  【解答】 解：：方程表示双曲线， ， 或． 又： ，， 故是的充分条件；反过来不成立， 则是的充分不必要条件 故选A． 6.【答案】  【解答】 解：由双曲线方程得，，则， 由的面积为， 得，得，即点到轴的距离为，故错误， 将代入双曲线方程得，根据对称性不妨设， 则， 由双曲线的定义知， 则， 则，故正确， 在中，， 则，为钝角， 则为钝角三角形，故正确， ， 则错误， 故正确的是， 故选：． 7.【答案】  【解答】 解：双曲线， 其焦点坐标为：，， 点在双曲线上， ， 或舍，由于， 故答案为：． 8.【答案】  【解答】 解：方程表示焦点在轴上的双曲线， 可得：，且， 解得：  故答案为 9.【答案】  【解答】 解：双曲线的方程为：， ，得 由此可得，，焦距 ， ，即 又点在双曲线：上， ，平方得 ，得 故答案为： 10.【答案】  【解答】 解：连接，取的中点，连接，则由， 则，即在中，， 则，即． 故答案为． 11.【答案】．  【解答】 解：由圆：，可得圆心，半径； 由圆：可得圆心，半径． 设动圆的半径为，由题意可得，． ． 由双曲线的定义可得：动圆的圆心在以定点，为焦点的双曲线的右支上． ，． 动圆圆心的轨迹方程为． 故答案为． 12.【答案】  【解答】 解：取，则点，是双曲线的左右焦点，由双曲线的定义，得， ， 又是圆上的点，圆的圆心为，半径为， 故，从而， 当点，在线段上时取等号， 即的最小值为 13.【答案】解：设双曲线方程为 依题意得 解得， 所以所求双曲线的标准方程为． 因为，所以， 故焦距为． 14.【答案】解：，． 双曲线方程为：． 又该双曲线过点， 将点代入得． 双曲线的方程为，焦点坐标为，．  15.【答案】解：是双曲线的两个焦点， 则 设点到另一个焦点的距离为， 由抛物线定义可知， 解得或， 即点到另一个焦点的距离为或． 是双曲线左支上的点， ， 则， 代入， 可得， 即， 所以为直角三角形， 所以． 16.【答案】解：如图所示，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系， 则，，连接． ， 点的轨迹是双曲线的右支． 又， 当，，三点共线时等号成立． 又总费用为万元，且， 修建这两条公路的最低总费用为万元． 17.【答案】解：设双曲线的标准方程为， 因为点和点在双曲线上， 所以， 解得， 所以双曲线的标准方程为， 因为点在双曲线上，且， 所以点在双曲线的右支上， 则有， 故，， 又， 因此在中，   ， 所以的余弦值为．  18.【答案】解：如图所示，以点为坐标原点，以所在的直线为轴， 建立直角坐标系，则，， 设点，则， 所以动点是以点，为焦点的双曲线的右支， 由题得，， 所以，， 所以， 故动点的轨迹方程为 设，则， 在中， 由余弦定理得， 则， 若的面积为， 则 ， 化简得， 解得或舍去． 要在内画一个圆，保证圆的面积最大，该圆只能为该三角形的内切圆， 设内切圆的半径为， 则， 解得， 故可画出圆的最大面积为．  第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$