22.1.1 二次函数 课件　2025—2026学年人教版数学九年级上册

问题2 如图是一个正方体，如果改变正方体的棱长 x，那么正方体的表面积y会随之改变，y与x之间是函数关系吗？是一次函数关系吗？ 课堂引入 现在得到的函数是用自变量的一次式表示吗？ 是一个怎样的多项式？ 问题3 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队n有什么关系？m是n的函数吗？ 合作学习 问题4 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？y是x的函数吗？ y是x的一次函数吗？函数y是用含自变量x 的怎样的多项式表示的？你认为这个函数叫什么函数比较合适？说说你的理由. 合作学习 问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？ 填空： 这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 件,再经过一年后的产量是 件,即两年后的产量y= . 20(1+x) 20(1+x)2 20(1+x)2 答： y=20x2+40x+20； 此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数. 授人以渔 函数①②③有什么共同点? 函数都是用 自变量的二次整式表示的 y=6x2 y=20x2+40x+20 授人以渔 二次函数的定义： 一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项. 温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 总结归纳 1、将二次函数 化为一般式，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 。 2、二次函数 的二次项为 ，一次项为 ，常数项为 。 练习 二次函数定义的应用 二 例 这里y是x的函数。 (1) m取什么值时，此函数是正比例函数？ (2) m取什么值时，此函数是二次函数？ 典例精析 解： (1)依题意知： 解得： (2)依题意知： 解得： m=3. 已知函数 y=（m²﹣m）x²+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m=0， 解得m=0或m=1，又∵m﹣1≠0即m≠1； ∴当m=0时，这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义， 得：m2﹣m≠0，解得m1≠0，m2≠1； ∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数. 练习 自学检测二（8分钟） 1.下列函数中,哪些是二次函数？ (1）y=3(x-1)²+1 (3) s=3-2t² (5)y=(x+3)²-x² (6) v=10πr² （是） （是） （不是） （是） （不是） （不是） （不是） （不是） 二次函数 y=ax²+bx+c ①整式 ②自变量的最高次数为2 ③二次项系数不为0（a≠ 0） 易错点：化简后判断! 13 2、m 取何值时，函数 y= (m+1)xm2-2m-1 +(m-3)x+m 是二次函数？ 解：由题意得： m2—2m-1=2 m+1 ≠0 ∴m=3 3. 如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,则k的值一定是______ 0 （易错点： 忽略二次项的系数一定不为0） 4.y=m 是二次函数,则m的值一定是______ -2 课堂小结（3分钟） 1.二次函数 y=ax²+bx+c （a≠ 0） ①整式 ②自变量的最高次数为2 （化简后再判断!） ③二次项系数不为0 2.二次函数的一般形式： y=ax²+bx+c (a,b,c是常数,a≠0) 几种特殊形式: (1) y=ax² --------- (a≠0,b=0,c=0,). (2) y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0). (3) y=ax²+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0). 例4：扇形面积公式是 . （1）当 是常量时， 是 的什么函数？ 一次函数 （2）当 是常量时， 是 的什么函数？ 二次函数 ☆ 挑战自我 一次函数 一元一次方程 概念 图象 性质 解析式： 自变量取值范围：一切实数 实际应用 实际问题 二次函数 概念 实际问题 解析式： 自变量取值范围：一切实数 实际问题中，自变量取值范围一定是一切实数吗？ ☆ 感受生活，运用新知 例5：如图所示，一农民用 长的篱笆围成，一个一边靠墙(墙足够长)的长方形菜园，和墙垂直的一边长为 ,菜园的面积为 . （1）求 与 的函数关系式. （2）写出自变量 的取值范围. （3）当 时，求 的值. （4）当 时，求 的值. ☆ 感受生活，运用新知 （选做题）如图，正方形ABCD的边长为4cm,动点P、Q同时从A点出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（面积：cm2），求y与x（0<x<8且x≠4）之间的函数关系式。 D Q A P B C D A B C Q P 分析： （1）从0<x<8可知，点P的运动路径在正方形的边 和 上； （2）当P点在边AB上时，此时x的取值范围为 ，y= ； （3）当P点在BC边上时，此时x的取值范围为 ，y= 。 S△BCD-S△PCQ AB BC 0<X<4 4<X<8 S△ABD-S△APQ D Q A P B C D A B C Q P 当0<x<4时，y= , = , = 。 当4<x<8时，y= ， = ， = 。 综上可知：y= 解： S△ABD-S△APQ S△BCD-S△PCQ (0<X<4) (4<X<8) 1、 一般地，形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数,叫做二次函数，其中，x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2、函数的两边均为整式。 3.易错点 (1)二次函数要同时保证x的最高次数为2和二次项系数不为0； (2)容易漏掉二次项系数不为0. 板书设计 21 $$