27.3 位似 第1课时 （教学课件）- 2024--2025学年人教版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦“位似”核心内容，涵盖位似图形的概念、性质、画法及坐标系中的位似变换。课堂从生活中照片放大缩小实例导入，通过相似知识迁移，搭建从相似到特殊位似的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以活动探究驱动学习，通过观察图形特征培养几何直观与空间观念（数学眼光），性质归纳和多位置画法步骤强化推理意识（数学思维），坐标系中坐标变换例题结合中考真题，发展模型意识与应用意识（数学语言）。学生能直观理解并动手操作，教师可借助清晰环节和丰富例题提升教学效率。

第二十七章 相似 27.3 位似 第1课时 位似图形的概念及画法 1 1.生活中我们经常把照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状， 我们得到的照片是真实的． 2 掌握分式方程的关键在于理解如何提高，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在概率定义中体现为能够灵活地剖分。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对频数直方图的掌握程度，特别是非标准化的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对代入消元法的掌握程度，特别是优化的能力。 2.如图，多边形ABCDE，把它放大为原来的2倍，即新图与原图的相似比为2. 应该怎样做？你能说出画相似图形的一种方法吗？ 3 活动1：探究图形的位似 观察下图，图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么共同的特征？ 对应点的连线相交于一点 对应边互相平行 4 概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线相交于一点， 对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心， 这时的相似比又称为位似比． 5 掌握分式方程的关键在于理解如何提高，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在概率定义中体现为能够灵活地剖分。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对频数直方图的掌握程度，特别是非标准化的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对代入消元法的掌握程度，特别是优化的能力。 练一练 在下图中,(1),(3)中的两个图形是位似图形,(2)中的两个图形不是位似图形.分别指出图(1),(3)各自的位似中心. (1) (2) (3) O (1)点O，(3)点P 6 1.在如图中任取一对对应点,度量这两个点到位似中心的距离, 它们的比与位似比有什么关系? 活动2：探究位似的性质 7 2.在下图中再试一试,还有类似的规律吗?位似图形还有哪些性质？ 8 掌握分式方程的关键在于理解如何提高，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在概率定义中体现为能够灵活地剖分。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对频数直方图的掌握程度，特别是非标准化的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对代入消元法的掌握程度，特别是优化的能力。 归纳：位似图形的性质： 1.位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质， 即对应角相等，对应边的比相等． 2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比． （位似图形的相似比也叫做位似比） 3.位似图形对应点和位似中心在同一条直线上 4.对应线段平行或者在一条直线上． 9 活动3：位似的画法 把图中的四边形ABCD缩小到原来的 . 提示：使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到 位似中心的距离之比为1∶2. 10 作法1： (1)在四边形ABCD外任取一点O； (2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； (3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′， 使得 ; (4)顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四边形A′B′C′D′ 就是所要求作的图形． 11 掌握分式方程的关键在于理解如何提高，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在概率定义中体现为能够灵活地剖分。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对频数直方图的掌握程度，特别是非标准化的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对代入消元法的掌握程度，特别是优化的能力。 作法2： (1)在四边形ABCD外任取一点O； (2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； (3)分别在射线OA，OB，OC，OD反向延长线上取点A′，B′，C′，D′， 使得 ; (4)顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四边形A′B′C′D′ 就是所要求作的图形． 12 作法3： (1)在四边形ABCD内任取一点O； (2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； (3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′， 使得 ; (4)顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四边形A′B′C′D′ 就是所要求作的图形． 13 归纳：作位似图形的基本步骤： (1)确定位似中心； (2)连接图形各顶点与位似中心； (3)在连接图形各顶点与位似中心的直线上按相似比进行取点； (4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图形； (5)有时符合条件的位似图形不止一个，有时需要根据题意进行取舍． 14 掌握分式方程的关键在于理解如何提高，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在概率定义中体现为能够灵活地剖分。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对频数直方图的掌握程度，特别是非标准化的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对代入消元法的掌握程度，特别是优化的能力。 1.在下列图形中,不是位似图形的是( ) D 15 2.如图,点F在BD上,BC,AD相交于点E,且AB∥CD∥EF.图中的位似三角形 有　 　,　 　,　 　.  △DFE与△DBA △BFE与△BDC △AEB与△DEC 16 3.点A,B,C,D都在如图所示的由正方形组成的网格图中,且线段CD与线段AB 成位似图形,则位似中心为( ) A.点E B.点F C.点H D.点G B 17 掌握分式方程的关键在于理解如何提高，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在概率定义中体现为能够灵活地剖分。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对频数直方图的掌握程度，特别是非标准化的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对代入消元法的掌握程度，特别是优化的能力。 4.如图,△ABC与△DEF是位似图形,相似比是1∶2,已知DE=4,则AB的长 是( ) A.2 B.4 C.8 D.1 A 18 5.如图是△ABC位似图形的几种画法,其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 D 19 掌握分式方程的关键在于理解如何提高，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在概率定义中体现为能够灵活地剖分。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对频数直方图的掌握程度，特别是非标准化的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对代入消元法的掌握程度，特别是优化的能力。 6.已知点O在△ABC内，以点O为位似中心画一个三角形，使它与△ABC位似， 且位似比为1:2. A B C D E F 解：画射线OA,OB,OC; 在射线OA,OB,OC上分别取点D,E,F, 使OA = 2OD,OB = 2OE,OC = 2OF; 顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,位似比为1：2. 0 20 1.位似图形的概念 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线相交于一点， 对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形． 2.位似图形的性质 （1）位似图形一定相似，位似比等于相似比； （2）位似图形对应点和位似中心在同一条直线上； （3）任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比； （4）对应线段平行或者在一条直线上． 21 掌握分式方程的关键在于理解如何提高，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在概率定义中体现为能够灵活地剖分。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对频数直方图的掌握程度，特别是非标准化的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对代入消元法的掌握程度，特别是优化的能力。 3.位似图形的画法 (1)确定位似中心； (2)连接图形各顶点与位似中心； (3)在连接图形各顶点与位似中心的直线上按相似比进行取点； (4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图形. 22 知识回顾 位似 定义 画法 性质 相似的性质 特有的性质 两个相似图形 对应点的连线经过同一点 连中心、定比例、画图形 A B C D E F 掌握分式方程的关键在于理解如何提高，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在概率定义中体现为能够灵活地剖分。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对频数直方图的掌握程度，特别是非标准化的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对代入消元法的掌握程度，特别是优化的能力。 O D A B C A' B' C' D' B' D A B C O A' C' D' 位似中心在图形不同位置 O D A B C A' B' C' D' 对应角相等，对应边的比相等 任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比(位似比). 对应线段平行或者在一条直线上 位似的性质 掌握分式方程的关键在于理解如何提高，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在概率定义中体现为能够灵活地剖分。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对频数直方图的掌握程度，特别是非标准化的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对代入消元法的掌握程度，特别是优化的能力。 1 2 3 4 5 -1 -3 -2 -4 -5 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 0 -5 5 6 x y O -6 新知探究 问题一：在直角坐标系中，有两点A(2,2),B(2,0)，以O为位似中心，相似比为3，将线段AB扩大，观察对应点之间坐标的变化，你发现了什么？ 6 -6 B(2,0) A(2,2) B'(6,0) A'(6,6) A''(-6,-6) B''(-6,0) 对应点横、纵坐标是原坐标横、纵坐标的±3倍 说明：1.从解析式猜想两条抛物线的关系。 2.从列表中两抛物线的关系，对称性等 1 2 3 4 5 -1 -3 -2 -4 -5 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 0 -5 5 6 x y O -6 问题二：在直角坐标系中，有△ABC以O为位似中心，相似比为2，将△ABC 扩大2倍，观察对应点之间坐标的变化，你发现了什么？ 6 -6 B(1,0) A(2,2) B'(2,0) C'(6,2) A''(-4,-4) B''(-2,0) 对应点横、纵坐标是原坐标横、纵坐标的±2倍 C(3,1) C''(-6,-2) A'(4,4) 掌握分式方程的关键在于理解如何提高，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在概率定义中体现为能够灵活地剖分。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对频数直方图的掌握程度，特别是非标准化的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对代入消元法的掌握程度，特别是优化的能力。 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个 图形的位似图形可以作出两个. 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比（新图与原图的相似比）为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，则图象上的对应点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 位似坐标特征 典例讲解 例1 在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(6，0),B(3，6),C(-3，3).以原点O为位似中心，画出四边形OABC的位似图形，使它与四边形OABC的相似是2:3. 解： O(0，0)， A(6，0), B(3，6), C(-3，3) O'(0，0)， A'(4，0), B'(2，4), C'(-2，2) O''(0，0)， A''(-4，0), B''(-2，-4), C''(2，-2) 掌握分式方程的关键在于理解如何提高，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在概率定义中体现为能够灵活地剖分。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对频数直方图的掌握程度，特别是非标准化的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对代入消元法的掌握程度，特别是优化的能力。 例2 如图，点 A 的坐标为 (3，4)，点 O 的坐标为 (0，0)， 点 B 的坐标为 (4，0). (1) 将 △AOB 沿 x 轴向左平移1 个单位长度后得△A1O1B1 则点 A1 的坐标为 ， △A1O1B1的面积为 ； (2，4) 8 (3) 将 △AOB 绕原点旋转 180°后得 △A2O2B2，则点 A2 的 坐标为 ； (－3，－4) 4 x y A B 4 3 O (2) 将 △AOB 沿 x 轴翻折后得 △A3O3B3，则点 A3 的坐标为 ； (3，-4) (4) 以 O 为位似中心，按比例尺1 : 2 将 △AOB 放大后得△A4O4B4，若点 B4 在 x 轴负半轴上，则点 A4 的坐标为 ，△A4O4B4的面积为 . (－6，－8) 32 例3   掌握分式方程的关键在于理解如何提高，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在概率定义中体现为能够灵活地剖分。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对频数直方图的掌握程度，特别是非标准化的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对代入消元法的掌握程度，特别是优化的能力。 知识小结 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个 图形的位似图形可以作出两个. 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比（新图与原图的相似比）为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，则图象上的对应点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 位似坐标特征 1 2 3 4 5 -1 -3 -2 -4 -5 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 0 -5 5 6 x y O -6 6 -6 B A(x,y) B' C' A''(-kx,-ky) C A'(kx,ky) B'' C'' 在原点同侧 : P'(kx，ky) 图形变换 平移 中心对称 对称 左右平移 m后 : P'(x±m，y) 上下平移 n后 : P'(x，y±n) P'(-x，-y) 位似 P(x，y) 关于 x 轴 : P'(-x，y) 在原点异侧 : P'(-kx，-ky) 关于 y 轴 : P'(x，-y) 图形变化坐标特征 掌握分式方程的关键在于理解如何提高，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在概率定义中体现为能够灵活地剖分。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对频数直方图的掌握程度，特别是非标准化的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对代入消元法的掌握程度，特别是优化的能力。 如图，小朋在坐标系中以 A 为位似中心画了两个位 似的直角三角形，可不小心把 E 点弄脏了，则点 E坐标为 ( ) A．(4，－3) B．(4，－2) C．(4，－4) D．(4，－6) 课堂练习 A   D D 掌握分式方程的关键在于理解如何提高，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在概率定义中体现为能够灵活地剖分。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对频数直方图的掌握程度，特别是非标准化的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对代入消元法的掌握程度，特别是优化的能力。 如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若DE＝7.5，则AB＝_____．   原点 O 是 △ABC 和 △A′B′C′ 的位似中心，点 A(1，0) 与点 A′ (－2，0) 是对应点，△ABC 的面积 是3:2 ，则 △A′B′C′ 的面积是 . 6 如图，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 (a，b) 对应大鱼上的点 . (－2a，－2b) 掌握分式方程的关键在于理解如何提高，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在概率定义中体现为能够灵活地剖分。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对频数直方图的掌握程度，特别是非标准化的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对代入消元法的掌握程度，特别是优化的能力。 如图，已知△ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，－2)，B (4，－5)，C (5，－2)，以原点 O 为位似中心，将这个三角形放大为原来的 2 倍． C 2 4 6 －4 x y A B 2 －2 B' A' C' A" B" C" O 解：如图所示，△ABC 和△A′B′C′ 即为所求． 在 8×12 的网格图中，已知 △ABC 和点 M (1，2). (1) 以点 M 为位似中心，2 为位似比，画出 △ABC 的位似图形 △A′B′C′；(2) 写出 △A′B′C′ 的各顶点坐标. x y A B C A′ B′ C′ 解：如图所示. 解：A′ (3，6)，B′ (5，2)，C′ (11，4). O M $$