四川省泸县第五中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

泸县五中高2023级高三上期开学考试 数 学 第I卷 选择题 58分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．已知命题p：，，则命题p的否定为 A．， B．， C．， D．， 3．设，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知，则 A． B． C． D． 5．等差数列的前项和为，若，则 A．18 B．24 C．12 D．32 6．直线被圆所截得的弦长为 A．1 B． C． D．2 7．的展开式中的系数为 A．252 B．162 C．126 D．36 8．在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为 A． B． C． D． 10．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，则 A．的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为16 D．为钝角 11．若，随机变量，，则 A． B．当时， C．当时， D．当p在变化时，的最大值为 第II卷 非选择题 92分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．某班共42人，其中20人喜爱篮球运动，25人喜爱乒乓球运动，12人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 . 13．若在上单调递减，则实数的最大值为 ． 14．过原点的直线与双曲线交于两点，且点在第二象限，过点作的垂线与交于点，过点作x轴的垂线与交于点，与直线交于点E，若则的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 为了研究高二学生数学和物理成绩的相关情况，学校在高二学生中采用随机抽样的方法抽取了150名学生，调查他们平时的数学与物理成绩情况，统计数据如下． 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 物理成绩优秀 55 20 75 物理成绩不优秀 30 45 75 合计 85 65 150 (1)依据列联表判断，能否有99.9%的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关？ (2)从调查的物理成绩不优秀的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取15人．若从这15人中随机抽取2人，记X为数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 16．（15分） 已知等比数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 17．（15分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且满足． (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若线段中点的纵坐标为1，求面积的最大值． 18．（17分） 如图，平面四边形中，点是线段上一点，，且，，，沿着将三角形折叠得到四棱锥，折叠后． (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的正切值； (3)若，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，证明：当球的半径最小时，点在平面内． 19．（17分） 已知函数． (1)求的极值点； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：． 第 2 页 共 17 页 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泸县五中高2023级高三上期开学考试 数学参考答案 一．单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A A C A B D 2． 多项选择提 题号 9 10 11 答案 BC ABD ACD 三．填空题 12．5 13． 14． 15．解：（1）由题意可知， 由查表可得，由于， 所以能有的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关． （2）由于物理成绩不优秀的学生中，数学成绩优秀与数学成绩不优秀的人数比为， 所以采用分层抽样的方法抽取的15人中，数学成绩优秀的有6人，数学成绩不优秀的有9人，可知可取0,1,2，                           ， 所以的分布列为 X 0 1 2 P 从而． 16．解：（1）由 ，得，两式相减，得：， ， 即，，，. （2），  ，   ① ② ①②，得： ，. 17．解：（1）因为在上，所以①． 由题意知，所以． 由，得，解得②． 由①②联立解得，所以的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，线段的中点的纵坐标为0，故直线的斜率存在． 设其方程为，联立消得． 由，得③． 如图，设，则． 所以，则． 所以，代入③得，所以． ，点到直线的距离， ， ．当时，最大，最大值为． 18．解：（1）在四边形中，因为，所以折叠后有，． 又，平面，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）由题意，又，故， 过点作交于，则，连接，， 因为平面平面，面面，平面， 且，所以平面． 因为平面，所以，同理， 因为，，，所以由余弦定理得， 所以， 因为，平面，平面，所以平面． 因为平面，所以，所以为二面角的平面角． 所以在中，， 所以平面与平面夹角的正切值为． （3）由（1）知平面平面， 设和的外心分别和， 因为、、、均在以为球心的球面上， 则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点， 过点作于，连接， 设，显然四边形为矩形， 所以． 在中，设（），由及余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径． 在中，，，，由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径． 所以，即， 所以，故当时，球的半径最小， 此时点与点重合，所以点在平面内． 19．解：（1）的定义域为，， 当时，，在上是增函数，故在上无极值点． 当时，令，则． 当时，，在上是增函数； 当时，，在上是减函数． 所以当时，取得极大值． 综上可知，当时，无极值点； 当时，有唯一极大值点． （2）由（1）可知，当时，，不恒成立，故只需考虑． 由（1）知，， 若恒成立，只需即可， 化简得，所以的取值范围是． （3）设， 当单调递增；当单调递减； 所以，所以，因为，所以， 则有，从而， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$