7.3定义、命题、定理（教学课件） 2024--2025学年人教版七年级数学下册

7.3定义、命题、定理 第七章 相交线与平行线 1.理解命题的概念,会把一个命题写成“如果……,那么……”的形式,会区分命题的题设和结论. 2.掌握真命题和假命题的概念,会对一个真命题进行证明,会通过举反例判断一个命题是假命题. 任务一：理解命题的定义与组成 活动：分析下列句子，它们是哪种句式？ （1）熊猫没有翅膀；（2）对顶角相等；（3）连接A、B两点； （4）两条直线相交有几个交点？ （5）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； （6）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 问题1：上述句子有对一件事情进行判断吗？ 问题2：观察(5)(6)有什么共同的结构特征？ 像这样判断一件事情的语句，叫做命题. 新知学习 归纳 注意：只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题. 探究 观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？ (1) 如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等； (2) 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； (3) 如果一个数的平方等于 9，那么这个数是 3. 都是“如果……那么……”的形式. 归纳 命题由题设和结论两部分组成. 题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. 命题 题设 已知事项 结论 由已知事项推出的事项 任务二：掌握命题的分类与理解定理、证明的概念 活动：将下列语句写成命题的形式. (1)对顶角相等. (2)两直线平行，同旁内角互补. (3)两个互补的角是邻补角. (4)等式两边加同一个数，结果仍是等式. (5)经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. (6)一个数能被2整除的数也能被4整除. 问题1：你觉得上述命题都正确吗？为什么？ 问题2：写出语句(2)的推理过程. 如果题设成立时，结论一定成立，这样的命题叫做真命题； 如果题设成立时，结论不一定成立，这样的命题叫做假命题. 新知生成 注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套. 推理的过程叫证明 经过证明的真命题叫定理 证实其他命题的正确性 推 理 基本事实或公理 一些条件 + 每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明. 判断下列命题的真假. (1)如果两个数的和为0，这两个数互为相反数； (2)如果这两个角互补，两个角是邻补角； (1)真命题 (2)假命题(3)真命题(4)假命题 判断真假命题的一般步骤 第一步：判断是否为命题. 第二步：判断该命题说法是否正确，若正确则为真命题，若错误，则为假命题. (3)内错角相等，两直线平行. (4)相等的角是对顶角 小试牛刀 10 上面例题中的(1)和(3)，它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理可作为继续推理的依据. 1.补角的性质：同角或等角的补角相等. 2.余角的性质：同角或等角的余角相等. 3.对顶角的性质：对顶角相等. 4.…… 你还能想出一些学过的定理吗？ 11 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 如何证明 “在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”？ 12 例：已知直线b∥c，a⊥b，求证a⊥c. 证明： ∵ a⊥b(已知) ∴∠1=90°(垂直的定义) ∵b∥c(已知)， ∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等) ∴∠2=∠1=90°(等量代换) ∴ a⊥c(垂直的定义) 1 2 b c a 典型例题 （1）全等三角形的对应边相等. 如果两个三角形全等，那么它们的对应边就相等. （2）平行四边形的对边相等. 如果一个四边形是平行四边形，那么它的对边就相等. 1.把下面的命题都写成“如果……，那么……”的形式. 随堂练习 2.下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题，还是假命题. （1）你的作业做完了吗？ （2）同位角相等，两直线平行； （3）对顶角相等； （4）多边形的内角和等于180度； （5）过点P做线段MN的垂线. 不是 是 真命题 是 真命题 是 假命题 不是 探究新知 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明. 注意 2.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理. 1.证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等. 探究新知 证明命题：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条. 已知：b∥c， a⊥b ，求证：a⊥c． 题设 结论 a b c 1 2 探究新知 求证 a⊥c． 证明： ∵ a⊥b (已知)， ∴ ∠1=90° (垂直的定义). ∵ b∥c (已知)， ∴ ∠2=∠1=90° (等量代换). ∴ a⊥c (垂直的定义). ∴ ∠1=∠2 (两直线平行，同位角相等). a b c 1 2 问题　请同学们判断下列命题的真假，并思考如何判断命题的真假． 命题 相等的角是对顶角． （1）判断这个命题的真假． （2）这个命题题设和结论分别是什么？ 题设：两个角相等； 结论：这两个角互为对顶角． （3）我们知道假命题是在条件成立的前提下，结论不一定成立，你能否利用图形举例说明当两个角相等时它们不一定是对顶角的关系. 问题　请同学们判断下列两个命题的真假，并思考如何判断命题的真假． 命题 相等的角是对顶角． 1．下列命题是假命题的是（　　） A. 互补的两个角不能都是锐角 B. 两直线平行，同位角相等 C. 若a∥b，a∥c，则b∥c D. 同一平面内，若a⊥b，a⊥c，则b⊥c． 答案：D D．同一平面内，若a⊥b，a⊥c，则b∥c，故原命题为假命题， $$